Existenz von wendepunkten

06.11.2008, 15:29

Florian L

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Existenz von wendepunkten

$\begin{eqnarray*} f(x)=x/(x-x^3) \end{eqnarray*}$

überprüfen sie die existenz von extrempunkten und wendepunkten, geben sie koordinaten an

taschenrechner gibt mir sehr viele unwahrscheinliche wendepunkte an --kann nicht stimmen

rechnung
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2x^3/((x-x^3)^2) \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} f''(x)=(u'v-uv')/2 \end{eqnarray*}$

u=2x^3
u'=6x^2
v=(x-x^3)^2
v'=2*(x-x^3)*(1-3x^2)

$\begin{eqnarray*} f'(x)=((6x^2)*(x-x^3)-(2x^3)*2*(x-x^3)*(1-3x^2))/(((x-x^3)^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=((6x^2*(x-x^3)-(4x^2-12x^4))/((x-x^3)^3) \end{eqnarray*}$

soweit so richtig?
ich hab mit anderen aus unserem kurs verglichen, aber es kamen bei jedem ein anderes ergebnis raus ..deswegen brauch ich eure hilfe!

06.11.2008, 15:35

Jacques

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Hallo,

Bei der ersten Ableitung sollte schon ein Fehler sein:

$\begin{eqnarray*} \left[ \frac{x}{x - x^3} \right]^{\prime} = \frac{\left[ x \right]^{\prime} \cdot (x - x^3) - x \cdot \left[ (x - x^3) \right]^{\prime}}{(x - x^3)^2} = \frac{x - x^3 - x \cdot (1 - 3x^2)}{(x - x^3)^2} \end{eqnarray*}$

06.11.2008, 15:39

Florian L

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$\begin{eqnarray*} f'(x)=(-2x^3)/((x-x^3)^2) \end{eqnarray*}$ ?

06.11.2008, 15:42

Jacques

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Nein, rechne doch mal:

$\begin{eqnarray*} x - x^3 - x \cdot (1 - 3x^2) = \ ? \end{eqnarray*}$

Wie sollte denn da das 3x² wegfallen? Und wie kommt man auf 2x³?

06.11.2008, 15:46

Florian L

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also ich stell mich irgendwie doof an, aber ich muss doch die klammer ausmultiplizieren
$\begin{eqnarray*} x*(1-3x^2) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} x-3x^3 \end{eqnarray*}$

06.11.2008, 15:48

Jacques

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Au weia, jetzt liege ich mal im Unrecht. Big Laugh

Big Laugh

Also +2x³ ist richtig, ich habe vergessen, die 3x² noch mit x zu multiplizieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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06.11.2008, 15:49

Florian L

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puuuh ..und ich hab schon an meinen mathewissen gezweifelt!

06.11.2008, 16:04

Jacques

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Zur zweiten Ableitung:

[Du solltest unbedingt die Brüche richtig aufschreiben, also mit \frac{a}{b}, sonst kann man die Ausdrücke trotz LaTeX praktisch nicht mehr lesen]

Der Zähler der zweiten Ableitung lautet

$\begin{eqnarray*} \left[ 2x^3 \right]^{\prime} \cdot (x - x^3)^2 - 2x^3 \cdot \left[ (x - x^3)^2 \right]^{\prime} = 6x^2 \cdot (x - x^3)^2 - 2x^3 \cdot (2(x-x^3) \cdot (1 - 3x^2)) = 6x^2 \cdot (x - x^3)^2 - 4x^3 (x - x^3)(1-3x^2) \end{eqnarray*}$

Im nächsten Schritt würde ich x - x³ ausklammern. Das lässt sich dann mit dem Nenner kürzen, der (x - x³)^4 lautet.

Du musst ja bei allen Rechnungen ja Folgendes beachten: Die Gleichung muss sich nachher auch noch lösen lassen!

06.11.2008, 16:13

joachim2610

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RE: Existenz von wendepunkten
Die erste Ableitung ist schon richtig.
Bei der zweiten Ableitung scheint mir die x^4 falsch zu sein.
Außerdem verstehe ich die Formel unter der ersten Ableitung nicht - wo kommt der Nenner 2 her?

Im Übrigen sollte man mal darüber nachdenken, ob man den Wert x=0 ausschließt und dann durch x kürzt.
Die Ableitungen werden dann viel einfacher.
Wenn man das nicht tut, wird sich weder die erste noch die zweite Ableitung an der Stelle x=0 anders verhalten, als wenn man kürzt.
In beiden Fällen hat man es dann mit (allerdings leicht zu behandenden) unbestimmmten Ausdrücken zu tun.

06.11.2008, 16:17

Florian L

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ok ich kriege jetzt:

$\begin{eqnarray*} [\frac{6x^2*(x-x^3)-4x^3*(1-3x^2)}{(x-x^3)^3} \end{eqnarray*}$

06.11.2008, 16:21

Florian L

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RE: Existenz von wendepunkten

Zitat:

Original von joachim2610

Im Übrigen sollte man mal darüber nachdenken, ob man den Wert x=0 ausschließt und dann durch x kürzt.
Die Ableitungen werden dann viel einfacher.
Wenn man das nicht tut, wird sich weder die erste noch die zweite Ableitung an der Stelle x=0 anders verhalten, als wenn man kürzt.
In beiden Fällen hat man es dann mit (allerdings leicht zu behandenden) unbestimmmten Ausdrücken zu tun.

aber erhalte ich dann nicht 0

06.11.2008, 16:22

Jacques

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Das habe ich auch. Freude

Freude

Dann löse die Klammern auf und vereinfache den Zähler.

// @ joachim2610: Könntest Du Deinen Lösungsweg erstmal zurückstellen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Denn parallel zu verschiedene Lösungswege zu gehen ist m. E. eher ungünstig...

06.11.2008, 16:23

joachim2610

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Warum fasst Du die Ausdrücke im Zähler nicht weiter zusammen?

06.11.2008, 16:26

Florian L

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$\begin{eqnarray*} =\frac{2x^3+6x^5}{(x-x^3)^3} \end{eqnarray*}$

06.11.2008, 16:28

Jacques

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Genau. Und jetzt klammerst Du so aus, dass Du die Nullstellen des Bruches (=Nullstellen des Zählers) berechnen kannst.

Wie lauten sie? Beachte dabei die Definitionsmenge!

06.11.2008, 16:30

Florian L

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$\begin{eqnarray*} 0=2x^3^+6x^5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =x^3*(2+6x^2) \end{eqnarray*}$
x1=0 - n.l. da db x nicht gleich 0
x2=imaginäre zahl

06.11.2008, 16:31

Florian L

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-> keine wendepunkte!

06.11.2008, 16:34

Jacques

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Du hättest sogar 2x³ ausklammern können.

Zitat:

Original von Florian L

x1=0 - n.l. da db x nicht gleich 0

Ich übersetze das mal als: x1 = 0 ist eine Scheinlösung, weil 0 nicht in der Definitionsmenge des Bruchs liegt.

Oder mit Abkürzungen: x1 = 0 S. L., da 0 n. E. von D. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Florian L

x2=imaginäre zahl

Sollt Ihr denn auch nicht-reelle Lösungen betrachten? Und kommt man damit überhaupt weiter in Bezug auf das hinreichende Kriterium für Wendestellen?

Ich würde eher kurz und knapp sagen: Der Graph hat keine Wendepunkte.

Aber bitte später nochmal nachrechnen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.11.2008, 16:37

Florian L

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also sowiet ich weiß werden bei uns keine nicht-reelen zahlen betrachtet
ansonsten hast du aber die lösung besser als ich ausgedrückt
achso und wir mussten den definitionsbereich angeben und der ist bei uns immer nur mit reelen zahlen verbunden
vielen dank!der flo

06.11.2008, 16:39

joachim2610

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RE: Existenz von wendepunkten

Zitat:

Original von Florian L

Zitat:

Original von joachim2610

Im Übrigen sollte man mal darüber nachdenken, ob man den Wert x=0 ausschließt und dann durch x kürzt.
Die Ableitungen werden dann viel einfacher.
Wenn man das nicht tut, wird sich weder die erste noch die zweite Ableitung an der Stelle x=0 anders verhalten, als wenn man kürzt.
In beiden Fällen hat man es dann mit (allerdings leicht zu behandenden) unbestimmmten Ausdrücken zu tun.

aber erhalte ich dann nicht 0

Wenn man nicht kürzt, erhält man an der Stelle x=0 für f(x), f'(x) und f''(x) unbestimmte Ausdrücke, d.h. die Funktion hat dort eine Definitionslücke, ähnlich, wie z.B. die Funktion y=sinx/x.
Nur die Ableitung strebt aber für x-->0 auch gegen Null.

Die gekürzte Funktion hat dort also einen Extremwert. Wenn f(x) dort aber gar nicht definiert ist? - Vielleicht ist das absichtlich so konstruiert.

Habt Ihr mal was über hebbare Unstetigkeiten gehört?

08.11.2008, 18:08

Florian L.

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RE: Existenz von wendepunkten
ne hab noch nichts von hebbaren unstetigkeiten gehört, ich muss auch zugeben, dass ich grundkurs bin und auf solche ausführlichen dinge gehen wir nicht ein

aber kann ich denn nun die aussage treffen, dass die funktion keine wendepunkte hat oder muss ich da auf joachims rat achten und den wert x=0 ausschließen?das wäre wichtig zu wissen!

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