Beweis

06.11.2008, 19:57

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Beweis

Hallo

Wink

Die Aufgabe:
Beweisen Sie bitte mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes, dass für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^{+}_{0} \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq2 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n\geq \frac{n^2}{4}x^2 \end{eqnarray*}$

Ich dachte, ich versuche es mit vollständiger Induktion.
Im Induktionsanfang habe ich bewiesen, dass die Ungleichung für n=2 wahr ist.

Für n+1 (Induktionsschritt) hätte ich dann folgendes dastehen:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1}\geq \frac{(n+1)^2}{4}x^2 \end{eqnarray*}$

Naja, und jetzt komme ich nicht mehr weiter. Wie ich das umformen oder den binomischen Lehrsatz einbauen soll... Erstaunt1

Erstaunt1

Vielleicht hat jemand eine Idee?

06.11.2008, 20:03

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Da steht nich umsonst dran: "Beweisen Sie mithilfe des binomischen Lehrsatzes..." Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also setze ein: $\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} a^kb^{n-k} \end{eqnarray*}$

06.11.2008, 20:05

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Duedi
Da steht nich umsonst dran: "Beweisen Sie mithilfe des binomischen Lehrsatzes..." Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also, nix mit vollständiger Induktion?^^

Zitat:

Original von Duedi
Also setze ein: $\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} a^kb^{n-k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} 1^kx^{n-k} \end{eqnarray*}$

Meinst du so irgendwie? verwirrt

verwirrt

06.11.2008, 20:07

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} 1^{n-k}x^{k} \end{eqnarray*}$ . So wirds schöner, aber richtig. Freude

Freude

06.11.2008, 20:20

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis
Ok, und jetzt setze ich die rechte Seite (also die Seite mit der Summenformel) gleich mit

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{4}x^2 \end{eqnarray*}$ bzw. größer-gleich... und versuche das dann zu beweisen?

06.11.2008, 20:22

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

genau

Anzeige

06.11.2008, 22:17

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, so wirklich weiter komme ich jetzt aber doch nicht...

Wir haben also:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} 1^{n-k}x^{k} \geq \frac{n^2}{4}x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix} 1^{n-0}x^{0} \geq \frac{n^2}{4}x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix} \geq \frac{n^2}{4}x^2 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ja auch immer 1.

Irgendwie hab ich was falsch gemacht... verwirrt

verwirrt

Wo liegt mein Fehler?

06.11.2008, 22:19

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf diesen Schritt?

Zitat:

Original von Svenja1986

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} 1^{n-k}x^{k} \geq \frac{n^2}{4}x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix} 1^{n-0}x^{0} \geq \frac{n^2}{4}x^2 \end{eqnarray*}$

06.11.2008, 22:20

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil da steht: k=0...

06.11.2008, 22:23

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber dann hast du in dieser Summe ja das k nicht mehr drin. das k ist ja nicht nur 0, sondern in jedem Summanden anders. (von 0 bis n)

06.11.2008, 22:25

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, stimmt Finger1

Finger1

Aber wie mache ich sonst weiter? unglücklich

unglücklich

06.11.2008, 22:28

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal lass diese Eins weg, denn $\begin{eqnarray*} 1^{n-k} \end{eqnarray*}$ ist immer 1.
Jetzt hast du also Folgendes zu beweisen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}x^k\geq\frac{n^2}{4}x^2 \end{eqnarray*}$ . Jetzt versuchs doch mal mit vollständiger Induktion und fange im Induktionsanfang mit n=0 an.

06.11.2008, 22:29

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Duedi
Jetzt versuchs doch mal mit vollständiger Induktion und fange im Induktionsanfang mit n=0 an.

Mit n=2, oder? Denn in der Aufgabenstellung steht ja was von $\begin{eqnarray*} n\geq2 \end{eqnarray*}$

06.11.2008, 22:34

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

ups ja natürlich, das hatte ich übersehen

06.11.2008, 22:42

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, gut

Big Laugh

Induktionsanfang mit n=2.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^2 \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}x^k\geq\frac{n^2}{4}x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^1 \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}x^0 + \sum_{k=1}^2 \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}x^1\geq\frac{1^2}{4}x^2+\frac{2^2}{4}x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 + 2x\geq\frac{1}{4}x^2+x^2 \end{eqnarray*}$

Sehr mysteriös... verwirrt

verwirrt

06.11.2008, 22:46

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Die zweite Zeile sagt mir, dass du wohl noch Probleme mit dem Summenzeichen hast.
Schreibe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^2\begin{pmatrix}2\\k\end{pmatrix}x^k \end{eqnarray*}$ einfach mal aus: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}x^0+\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}x^1 + \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}x^2 = 1+2x + x^2 \end{eqnarray*}$ . jetzt musst du prüfen, ob das größer oder gleich als $\begin{eqnarray*} \frac{4}{4}x^2 \end{eqnarray*}$ ist. Naja, das ist ersichtlich. Damit hast du den Induktionsanfang geschafft.

06.11.2008, 22:52

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Duedi
Die zweite Zeile sagt mir, dass du wohl noch Probleme mit dem Summenzeichen hast.

Ja, bin mir da teilweise unsicher...

Zitat:

Original von Duedi
Naja, das ist ersichtlich.

Ja, ist es smile

smile

Ich versuche dann mal den Induktionsschritt.
Muss ich da eine Indexverschiebung beachten?

06.11.2008, 22:55

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich das sehe, kann es leider Probleme mit dem Binomialkoeffizienten geben, du kannst also nicht einfach auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}n+1\\n+1\end{pmatrix}x^{n+1} \end{eqnarray*}$ dazuaddieren. Am besten, du schreibst dir die Summe einfach aus und schaust, wie sie sich verändert. (vielleicht gibt es aber auch noch eine einfachere Möglichkeit als mit der vollst. Induktion)

07.11.2008, 16:39

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Also irgendwie komme ich da leider absolut nicht weiter...
Kann mir vll nochmal jemand auf die Sprünge helfen?
Oder gibt es noch einen anderen Weg außer die vollst. Induktion?

Für Hilfe bin ich dankbar Gott

Gott

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »