k-transitive Gruppenwirkung

06.11.2008, 21:00

Sly

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k-transitive Gruppenwirkung

Ich hab Probleme, folgende Aussage zu zeigen:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe, die auf der Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ operiert. Sei $\begin{eqnarray*} k\geq 2, |X|>k \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} l\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq l\leq k-1 \end{eqnarray*}$ gelte: Für alle paarweise verschiedene $\begin{eqnarray*} x_1,\dots,x_l\in X \end{eqnarray*}$ ist der Durchschnitt der Stabilisatoren $\begin{eqnarray*} H = \bigcap_{i=1}^l G_{x_i} \end{eqnarray*}$ eine Gruppe, die $\begin{eqnarray*} (k-l)- \end{eqnarray*}$ transitiv auf $\begin{eqnarray*} X\setminus\{x_1,\dots,x_l\} \end{eqnarray*}$ operiert.

Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ operiert $\begin{eqnarray*} k- \end{eqnarray*}$ transitiv auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Ich stecke da irgendwie fest. Mein bisheriger Ansatz:

Seien $\begin{eqnarray*} x_1,\dots,x_k\in X \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} y_1,\dots,y_k\in X \end{eqnarray*}$ jeweils paarweise verschieden. Definiere die Mengen $\begin{eqnarray*} I=\{i | x_i=y_i\},\; M=\{x_i\}_{i\in I},\; n:= |I| \end{eqnarray*}$ .

Fall 1: $\begin{eqnarray*} n=k \end{eqnarray*}$ : Dann gilt automatisch $\begin{eqnarray*} x_i=y_i\quad\forall\; i=1,\dots,k \end{eqnarray*}$ . Wenn man das neutrale Element der Gruppe auf diesen Elementen operieren lässt, folgt insbesondere $\begin{eqnarray*} 1_G (x_i)=y_i \end{eqnarray*}$ für alle i.

Fall 2: $\begin{eqnarray*} 0<n<k \end{eqnarray*}$ : Dann operiert nach Voraussetzung die menge $\begin{eqnarray*} H=\bigcap_{i\in I} G_{x_i} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} X\setminus M \end{eqnarray*}$ , und zwar $\begin{eqnarray*} (k-n)- \end{eqnarray*}$ transitiv. Also gibt es ein $\begin{eqnarray*} h\in H \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} h(x_j)=y_j\quad\forall\; j\notin I \end{eqnarray*}$ . Da H aus dem Schnitt der Stabilisatoren der anderen $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ bestehen, folgt insbesondere auch $\begin{eqnarray*} h(x_i)=x_i=y_i\quad\forall\; i\in I \end{eqnarray*}$ , also gilt $\begin{eqnarray*} h(x_i)=y_i\quad\forall\; i=1,\dots,k \end{eqnarray*}$ .

Fall 3: $\begin{eqnarray*} I=\emptyset \end{eqnarray*}$ . Hier will ich ums Verrecken nicht weiterkommen. Meine bisherigen Ansätze zu diesem Fall haben sich als nicht allzu sinnvoll herausgestellt.

Kann mir bitte jemand behilflich sein? Würd mich freuen smile

smile

06.11.2008, 21:12

kiste

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Der Beweis sieht ziemlich kompliziert aus. Insbesondere bei z.B. Fall 2 darfst du nicht annehmen das alle x_j auf y_j abgebildet werden da ja x_j im Stabilisator sein kann(du hast dort übrigens eine Doppelbelegung der Variablen)
Du hast also deine z_i und y_i und willst ein g mit
$\begin{eqnarray*} g(z_1,\ldots,z_k) = (y_1,\ldots, y_k) \end{eqnarray*}$ .
Ich würde jetzt per Induktion anfangen:
Sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ das Element das stabilisiert wird. Als erstes weißt du das $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ transitiv operiert. Also findest du ein $\begin{eqnarray*} g_1\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g_1(z_1,\ldots, z_k) = (x,g_1z_2,\ldots, g_1z_k) \end{eqnarray*}$ . Jetzt gehe erst einmal den Weg rückwärts $\begin{eqnarray*} g_2(y_1,\ldots,y_k) = (x,g_2y_2,\ldots,g_2y_k) \end{eqnarray*}$ und benutze dann die k-1 fache Transitivität des Stabilisators.

Per Induktion folgt dann die Aussage

06.11.2008, 23:22

Sly

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Zitat:

Original von kiste
Der Beweis sieht ziemlich kompliziert aus. Insbesondere bei z.B. Fall 2 darfst du nicht annehmen das alle x_j auf y_j abgebildet werden da ja x_j im Stabilisator sein kann.

Den Einwand verstehe ich nicht ganz. Der Stabilisator ist doch eine Teilmenge von G, wieso sollte x_j im Stabilisator sein? Und warum annehmen? Ich habe es doch gezeigt in Fall 2 verwirrt

verwirrt

Zitat:

(du hast dort übrigens eine Doppelbelegung der Variablen)

inwiefern?

Zitat:

Du hast also deine z_i und y_i und willst ein g mit
$\begin{eqnarray*} g(z_1,\ldots,z_k) = (y_1,\ldots, y_k) \end{eqnarray*}$ .
Ich würde jetzt per Induktion anfangen:
Sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ das Element das stabilisiert wird. Als erstes weißt du das $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ transitiv operiert. Also findest du ein $\begin{eqnarray*} g_1\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g_1(z_1,\ldots, z_k) = (x,g_1z_2,\ldots, g_1z_k) \end{eqnarray*}$ . Jetzt gehe erst einmal den Weg rückwärts $\begin{eqnarray*} g_2(y_1,\ldots,y_k) = (x,g_2y_2,\ldots,g_2y_k) \end{eqnarray*}$ und benutze dann die k-1 fache Transitivität des Stabilisators.

Per Induktion folgt dann die Aussage

Okay, ich werde mich morgen mal daran versuchen...

/edit: Was meinst du mit "Sei x das Element, das stabilisiert wird"? Mit diesem Ausdruck kann ich leider nicht viel anfangen, erklär mal bitte ^^

06.11.2008, 23:35

kiste

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In der Aufgabenstellung sind $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots, x_l \end{eqnarray*}$ die zu stabilisierenden Elemente von H. Also $\begin{eqnarray*} H = \bigcap_{i=1}^l G_{x_i} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du k beliebige paarweise verschiedene Elemente(die du dann auch mit x_i benannt hast und bei mir deswegen konsequenterweise z_i benannt sind) in k beliebige paarweise verschiedene Elemente y_i mit einem Gruppenelement überführen.

Dein Beweis funktioniert jetzt nur falls $\begin{eqnarray*} \forall i\not\in I: z_i \not\in X \end{eqnarray*}$ ist, wobei ich $\begin{eqnarray*} X := \{x_1,\ldots,x_l\} \end{eqnarray*}$ definiere.

/edit: Mein Beweisansatz betrachtet nur den Fall l=1, und somit $\begin{eqnarray*} H = G_x \end{eqnarray*}$ . Mit "x das Element das stabilisiert wird" meine ich also das ich als H den Stabilisator von x betrachte

06.11.2008, 23:49

Sly

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Ah jetzt verstehe ich was du meinst. Aber den Einwand immer noch nicht 100%.

Lassen wir mal konsequent die Benennung mit den z_i.

Wenn wir $\begin{eqnarray*} I=\{i_1,\dots,i_n\} \end{eqnarray*}$ setzen, wobei diese Elemente geordnet sind, und setzen zudem $\begin{eqnarray*} x_j=z_{i_j} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq j\leq n \leq k-1 \end{eqnarray*}$ , so wende ich ja nur die Voraussetzung an (unter Beachtung, dass siese x_j insbesondere paarweise verschieden sind), dass $\begin{eqnarray*} H=\bigcup_{j=1}^n G_{x_j}\quad (k-n) \end{eqnarray*}$ -transitiv auf $\begin{eqnarray*} X\setminus\{x_1,\dots,x_n\} \end{eqnarray*}$ operiert.

Dann gilt ja sehr wohl $\begin{eqnarray*} \forall\; j\notin I: z_j\notin \{x_1,\dots,x_l\} = \{z_{i_1},\dots,z_{i_n}\}=\{z_i\}_{i\in I} \end{eqnarray*}$ definitionsgemäß, oder nicht? :confused:

Naja jedenfalls danke schonmal, ich werde morgen versuchen, den Vorschlag in die Tat umzusetzen...Jetzt ist es definitiv zu spät geworden ^^

07.11.2008, 00:02

kiste

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Zitat:

Original von Sly...dass $\begin{eqnarray*} H=\bigcup_{j=1}^n G_{x_j}\quad (k-n) \end{eqnarray*}$ -transitiv auf $\begin{eqnarray*} X\setminus\{x_1,\dots,x_n\} \end{eqnarray*}$ operiert.

Du willst aber $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ k-fach transitiv auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zeigen, nicht auf $\begin{eqnarray*} X\setminus\{x_1,\dots,x_n\} \end{eqnarray*}$ .

Ich denke ich verstehe deine Bezeichner momentan nicht genau was daran liegt das du sie vorhin mit der Doppeldeutigkeit definiert hast.

Das Problem an deinem Beweis ist ja:
Nimmst du z.B. $\begin{eqnarray*} z_1 = x_1 \end{eqnarray*}$ und willst dieses mit einem $\begin{eqnarray*} h\in H \end{eqnarray*}$ abbilden so kommt man nach Definition auf $\begin{eqnarray*} hz_1 = hx_1 = x_1 \end{eqnarray*}$ . Damit muss aber $\begin{eqnarray*} y_1 = x_1 \end{eqnarray*}$ sein womit keine beliebige Wahl von $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ , wie in der Definition von k-fach transitiv gefordert, möglich ist.

Dein Beweis hat insbesondere die Aussage dass G transitiv ist nicht benutzt Augenzwinkern

Augenzwinkern

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07.11.2008, 00:23

Sly

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Zitat:

Original von kiste
Du willst aber $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ k-fach transitiv auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zeigen, nicht auf $\begin{eqnarray*} X\setminus\{x_1,\dots,x_n\} \end{eqnarray*}$

Aber in DEM Fall folgere ich ersteres aus zweiterem.

Zitat:

Ich denke ich verstehe deine Bezeichner momentan nicht genau was daran liegt das du sie vorhin mit der Doppeldeutigkeit definiert hast.

Und ich verstehe immer noch nicht, wo etwas doppeldeutig war Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Das Problem an deinem Beweis ist ja:
Nimmst du z.B. $\begin{eqnarray*} z_1 = x_1 \end{eqnarray*}$ und willst dieses mit einem $\begin{eqnarray*} h\in H \end{eqnarray*}$ abbilden so kommt man nach Definition auf $\begin{eqnarray*} hz_1 = hx_1 = x_1 \end{eqnarray*}$ . Damit muss aber $\begin{eqnarray*} y_1 = x_1 \end{eqnarray*}$ sein womit keine beliebige Wahl von $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ , wie in der Definition von k-fach transitiv gefordert, möglich ist.

Es ist ja auch keine beliebige Wahl da, in dem Fall gilt definitionsgemäß doch $\begin{eqnarray*} x_i=y_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ , so habe ich die Indexmenge $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ja gerade definiert. Für $\begin{eqnarray*} j\notin I \end{eqnarray*}$ ist ja gerade wegen der paarweise Verschiedenheit jeweils $\begin{eqnarray*} x_j\in X\setminus M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_j\in X\setminus M \end{eqnarray*}$ . Also kann ich laut Voraussetzung ja gerade ein h in H picken, welches diese $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ auf die $\begin{eqnarray*} y_j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j\notin I \end{eqnarray*}$ abbildet, wie gewünscht. Und für die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ folgt es ja gerade aus der Definition von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$

P.S.: Hier sind die x'e genau wieder, wie in der ursprünglichen Bezeichnung, weil du im obigen Zitat so Bezug darauf genommen hast.

07.11.2008, 00:35

kiste

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Weißte was? Wir machen ein tolles Zahlenbeispiel Big Laugh

Big Laugh

Ich glaube wir kommen nicht weiter wenn wir über kryptische Zeichen und komische Mengen rumdiskutieren.

Ich wähle X={1,2,3}. Und als $\begin{eqnarray*} H = G_1 \end{eqnarray*}$ .
Nehmen wir weiterhin an das k=2 ist.
Die Forderungen sind zum Beispiel für die Gruppe $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Da wir 2-transitiv zeigen wollen müssen wir insbesondere also das Tupel $\begin{eqnarray*} (z_1,z_2) = (1,3) \end{eqnarray*}$ in das Tupel $\begin{eqnarray*} (y_1,y_2) = (2,3) \end{eqnarray*}$ überführen können. Jetzt ist also insbesondere $\begin{eqnarray*} y_2 = z_2 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} z_1 \neq y_1 \end{eqnarray*}$ .

Willst du jetzt ein $\begin{eqnarray*} h\in H \end{eqnarray*}$ nehmen das die Tupel in einander überführt so muss $\begin{eqnarray*} h(1,3) = (h(1),h(3)) = (2,3) \end{eqnarray*}$ gelten. Dies ist aber ein Widerspruch zur Definition von H, da h eigentlich 1 stabilisieren sollte.

07.11.2008, 07:16

Sly

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Nein, h soll doch gerade die 3 stabilisieren!

In diesem Fall ist ja $\begin{eqnarray*} I=\{2\} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} M=\{3\} \end{eqnarray*}$ . Nun wähle ich mir nach der Definition H als den Stabilisator von 3! Nun operiert nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} H\quad 1- \end{eqnarray*}$ transitiv auf $\begin{eqnarray*} \{1,2\} \end{eqnarray*}$ , also nehme ich mir $\begin{eqnarray*} h\in H \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h(1)=2 \end{eqnarray*}$ . Und da ja gerade nach Definition H die drei stabilisiert, gilt sowieso $\begin{eqnarray*} h(3)=3 \end{eqnarray*}$ , also stehts da.

07.11.2008, 09:16

kiste

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Du hast Recht geschockt

geschockt

, aber immerhin habe ich jetzt durch das Zahlenbeispiel deine Notation verstanden. Stimmt ich war leicht verwirrt da man es auch ohne das für alle x_1,...,x_l sondern nur mit es gibt.. zeigen kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

Okay macht den Beweis dann natürlich etwas einfacher wobei ich jedoch immer noch glaube das dein Beweis falsch ist. Big Laugh

Big Laugh

Das $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ ist doch fest. Wenn dein $\begin{eqnarray*} |I| \neq l \end{eqnarray*}$ ist dann sollte der Beweis nicht funktionieren(zumindest im Fall $\begin{eqnarray*} |I| \geq l \end{eqnarray*}$ sollte man das aber noch reparieren können). Nach Vorraussetzung brauchst du eben einen Stabilisator von $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ Elementen und das hast du nicht immer in deinem Beweis. Hab ich jetzt endlich einen Fehler in deinem Beweis gefunden? Big Laugh

Big Laugh

Naja so oder so: Meine Idee funktioniert auch in deinem Fall 3.

07.11.2008, 12:46

Sly

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Ach, jetz versteh ich so langsam. Auch DAS beruht auf einem Missverständnis. Mit "für l ... gelte" ist gemeint, für ALLE $\begin{eqnarray*} 1\leq l\leq k-1 \end{eqnarray*}$ . Hat auch unser Übungsgruppenleiter extra betont Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nichtsdestotrotz...ich werde mich mal an deinen Vorschlag versuchen, bis (hoffentlich) später dann

07.11.2008, 12:52

kiste

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Macht den Satz nur noch trivialer Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.11.2008, 13:22

Sly

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Das mag ja sein, hält mich aber keinesfalls davon ab, nen Hänger zu haben Big Laugh

Big Laugh

Also...nachdem ich grad ne Menge auf den Zettel geschmiert habe, musste ich feststellen, dass ich ein paar Sachen noch immer nicht ganz verstehe. Aber ich versuche mal meine Interpretation aufzuschreiben...ich hab nämlich das Gefühl, dass wir uns gegenseitig dauernd in Missverständnisse verwickeln aufgrund unterschiedlicher Ausdrucksweisen Hammer

Hammer

Also:

Ich soll mir also ein $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ nehmen und $\begin{eqnarray*} H=G_x \end{eqnarray*}$ betrachten. Verstehe ich das jetzt richtig, dass du wirklich keine Anforderungen an dieses x stellst?

Da G auf X transitiv operiert, nehme ich mir je $\begin{eqnarray*} g_1,g_2\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g_1(x_1)=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2(y_1)=x \end{eqnarray*}$ . Ab hier bin ich mir nicht mehr sicher über das genaue Ziel:
Es gilt ja insbesondere $\begin{eqnarray*} g_2^{-1}g_1(x_1)=y_1 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich, deiner Aussage zufolge, die $\begin{eqnarray*} (k-1) \end{eqnarray*}$ -Transitivität von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ausnutzen soll, meinst du also, ich soll ein $\begin{eqnarray*} h\in H \end{eqnarray*}$ sozusagen zwischen diese Elemente "schummeln", also $\begin{eqnarray*} g_2^{-1}hg_1 \end{eqnarray*}$ betrachten? Denn auch diese schickt ja $\begin{eqnarray*} x_1\mapsto y_1 \end{eqnarray*}$ .

Verstehe ich das also richtig, dass ich mir ein $\begin{eqnarray*} h\in H \end{eqnarray*}$ wählen soll, für das gilt $\begin{eqnarray*} h(g_1(x_j))=g_2(y_j) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j>1 \end{eqnarray*}$ ? Denn dann wäre ja $\begin{eqnarray*} g_2^{-1}hg_1 \end{eqnarray*}$ eine Abbildung wie gewünscht. Wolltest du wirklich darauf hinaus? Ich bin mir nämlich grad nicht sicher, ob das so überhaupt geht bzw. glaube es nicht wirklich verwirrt

verwirrt

07.11.2008, 17:06

kiste

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Genau das ist es schon. Wie du siehst sind die Vorraussetzungen mehr als übertrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das so konstruierte $\begin{eqnarray*} g_2^{-1}hg_1 \end{eqnarray*}$ erfüllt die gewünschte Eigenschaft und damit hast du die Aussage schon bewiesen. Wenn es nicht für alle l gewesen wäre hättest du jetzt noch eine Induktion dahinter setzen müssen aber so Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.11.2008, 20:59

Sly

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Hm...ich hab jetzt gerade in meinem Post versucht, meinen Einwand darauf zu formulieren...und beim Formulieren bemerkt, dass es ja doch immer geht Big Laugh

Big Laugh

Super! Ehrlich gesagt war ich bei diesem Ansatz schon früher, nur war ich irgendwie der Ansicht, ich dürfte mir mein h nicht so wählen... Hammer

Hammer

Gut! Vielen Dank, ich habs jetz verstanden und den Beweis hab ich auch Big Laugh

Big Laugh

P.S.: Die Algebra-Aufgaben sind ja echt hardcore... verwirrt

verwirrt

Ich hab sonst nie Probleme mit sehr formalen Fachbereichen/Vorlesungen, aber DAS stellt mich ja mal echt auf die Probe... xD

07.11.2008, 21:12

kiste

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Naja an dieser Aufgabe war meines Erachtens nur die Formulierung das wirklich schwere Big Laugh

Big Laugh

. Kannst ja mal deinen Übungsleiter fragen ob das Absicht ist.

Tatsächlich gilt sogar die stärkere Aussage:
$\begin{eqnarray*} G \text{ k-transitiv auf} X \Leftrightarrow G \text{ transitiv auf } X \land G_x \text{ ist }(k-1)-\text{transitiv auf } X\setminus \{x\} \end{eqnarray*}$

07.11.2008, 22:38

Sly

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Naja ich habe jetzt nicht die gesamte Aufgabe hingeschrieben...Man sollte tatsächlich die Äquivalenz zeigen. Aber die erste Richtung war eben einfach.

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