Mathematisch-physikalisches Gedankenexperiment

22.08.2006, 10:05

papahuhn

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Mathematisch-physikalisches Gedankenexperiment

Hallo zusammen,
bauen wir uns mal ein hypothetisches Geraet mit folgenden Bauteilen auf. Stromquelle, Schalter, das Intervall [0,1], ein Zeiger in diesem Intervall, ein Motor der an den Zeiger angeschlossen ist. Die Bauteile werden folgendermassen verbunden:
Stromquelle -- Schalter -- 0 -- Zeiger -- Motor -- Stromquelle.

Wir befinden uns in einer idealisierten Welt, in der der Strom/Motor instantan reagiert, keine Traegheit herrscht und das umgebende Medium unendlichen Widerstand besitzt; d.h.
genau dann wenn der Schalter geschlossen ist, und der Zeiger auf die 0 im Intervall zeigt, ist der Stromkreis geschlossen. Man darf sich den Rand des Intervalls als leitende Platte vorstellen.
Wenn der Motor Strom bekommt, bewegt er den Zeiger mit einer positiven Geschwindigkeit in Richtung 1. Da wir keine Traegheit haben, bewegen sich Zeiger und Motor ebenfalls gdw. Strom fliesst. Am Anfang des Versuchs sei der Schalter offen (aus) und der Zeiger stehe auf 0. Zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ wird der Schalter geschlossen. Worauf zeigt der Zeiger zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_0 + \operatorname \epsilon \end{eqnarray*}$ ?

22.08.2006, 10:20

AD

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Ich ahne dunkel, was du meinst: Dein Intervall ist ein regelbarer Widerstand zwischen $\begin{eqnarray*} R_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_1 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} R(x)=R_0+(R_1-R_0)x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ . Dann hat der Motor evtl. noch einen Innenwiderstand (den man aber auch in das $\begin{eqnarray*} R_0 \end{eqnarray*}$ packen kann) und du hast nicht eine Strom- sondern eher eine Spannungsquelle $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ . Der Motor bewegt nun mit einer Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v(t)\sim I(t) \end{eqnarray*}$ , also proportional zum fließenden Strom, dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Du interessierst dich nun für die Bewegungsgleichung $\begin{eqnarray*} x=x(t) \end{eqnarray*}$ .

Ist es das, was du meinst?

22.08.2006, 12:30

papahuhn

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Beim ersten Durchlesen deiner Antwort wollte ich schon aufschreien, dass du die Aufgabe physikalischer auffasst als mir lieb ist. Aber wenn ich es richtig verstanden habe, interessiert mich genau das. Nur die Widerstandsgleichung hatte ich anders im Sinn:
$\begin{eqnarray*} R(x) =\begin{cases}0& x=0 \\ \infty & x>0\end{cases} \end{eqnarray*}$

22.08.2006, 13:18

AD

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Dann schrei mal ruhig auf, denn dieses $\begin{eqnarray*} R(x) \end{eqnarray*}$ passt nun überhaupt nicht zu meiner Interpretation der Geschichte. Dann ist nämlich Stillstand im Punkt x=0. unglücklich

unglücklich

22.08.2006, 14:09

JochenX

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In meinen Augen und mit deiner idealen Welt befindet sich der Schalter nach Variante 1 für jedes Epsilon entweder auf dem Weg zur 1 oder er ruht bereits da.
Variante 2 kam mir gerade noch und setzt Variante 1 außer Kraft. Doof.

Hier meine Gedanken (V1):
Schalter wird geschlossen, Motor bekommt Strom und schickt den Zeiger los, dadurch wird allerdings sofort (immerhin hat der Zeiger ja ideale Breite 0) der Stromdurchfluss beendet (geht ja nach deinen eigenen Worten sofort, denn Strom fließt ja bei dir unendlich schnell). Also liegt das Experiment da, aber was macht der Zeiger?
In einer völlig idealisierten Umgebung führt er seine Bewegung solange er kann fort (Trägheit), bis er am Ende (1) anstößt und da liegen bleibt.

Allerdings kommt jetzt mein Verstand ins Spiel: die Beschleunigungszeit beträgt.... ja wieviel denn? 0? Zumindest wäre jede positive Zeitdauer zu groß.
Also beträgt die Beschleuigungszeit (und damit die Beschleunigung) 0, der Zeiger bewegt sich nicht, dann aber.....

Ergebnis meiner Bemühungen: das Experiment wird dir heftigst um die Ohren fliegen, da sich der Zeiger gleichzeitig in 0 und 1 (und überall dazwischen) befinden wird und damit eine Raumkrümmung erzeugt.

Allerdings könnte die Explosion auch an den überaus schnellen Elektronen liegen, die vom Licht (auf Grund Eifersucht) gemeuchelt werden.
Oder die Spannungsquelle war schadhaft - hast du noch Garantie?

22.08.2006, 14:40

AD

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@papahuhn

Vor allen Dingen wäre mal interessant, welchen idealisierten Zusammenhang zwischen Weg $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , von mir auch aus Geschwindgkeit $\begin{eqnarray*} \dot{x} \end{eqnarray*}$ oder Beschleunigung $\begin{eqnarray*} \ddot{x} \end{eqnarray*}$ und Strom $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ du zugrunde legst. Das ist bei realen Motoren nämlich ziemlich kompliziert:

http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichstrom...chstrommaschine

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22.08.2006, 14:42

papahuhn

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Dann schrei mal ruhig auf, denn dieses $\begin{eqnarray*} R(x) \end{eqnarray*}$ passt nun überhaupt nicht zu meiner Interpretation der Geschichte. Dann ist nämlich Stillstand im Punkt x=0. unglücklich

unglücklich

Wenn der Zeiger an x = 0 stehenbleibt, fliesst ueber einen kompletten Zeitraum Strom und treibt den Motor an. Da kann der Zeiger aber schlecht bei 0 stehenbleiben.
Mein Gedankengang zu dem Ganzen ist aehnlich konfus wie der von LOED.

Zitat:

In einer völlig idealisierten Umgebung führt er seine Bewegung solange er kann fort (Trägheit), bis er am Ende (1) anstößt und da liegen bleibt.

Traegheit habe ich ja ausgeschlossen und die Beschleunigung sei auch instantan.

22.08.2006, 14:57

AD

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Ich kann eigentlich nur auf meinen letzten Post verweisen. Wenn du keinerlei Vorstellung über diesen Zusammnhang $\begin{eqnarray*} x \leftrightarrow I \end{eqnarray*}$ hast, lässt sich auch nix machen.

EDIT:

Ich schlage vor, du beschreibst das Experiment nochmal vollkommen neu, und diesmal nach besten Wissen und Gewissen. Damit wenigstens eine Chance besteht, dass man das ganze begreift.

Ein Motor, der einen Zeiger auf ein Intervall [0,1] antreibt, und Motor und Zeiger (!) sind in Reihe in einem Stromkreis geschaltet ... das klingt für mich nur konfus. Die gegenwärtige Modellbeschreibung ist ein einziges Ärgernis.

22.08.2006, 18:09

papahuhn

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Ueber meine vorgegebene Widerstandsfunktion sollte sich eigentlich folgendes ergeben: $\begin{eqnarray*} \dot x(t) = \begin{cases}v&t=t_0\\0&t>t_0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ fuer z.B. $\begin{eqnarray*} v=\frac m {sec} \end{eqnarray*}$ .

Zur Sicherheit versuche ich das Experiment neu und etwas abgewandelt zu beschreiben.

Wir haben eine Spannungsquelle, einen Schalter, ein Elektroauto und eine stromleitende Metallwand.

Das Auto stellen wir so vor die Metallwand, dass es von ihr wegfaehrt, wenn es Strom bekommt, und verbinden die Bauteile folgendermassen:

Pluspol Spannungsquelle -- (offener) Schalter -- Metallwand -- Pluspol Elektroauto
und
Minuspol Spannungsquelle -- Minuspol Elektroauto.

Die Unterscheidung zwischen Plus- und Minuspol ist eigentlich irrelevant. Wichtig ist: Am Anfang hat ein Pol des Elektroautos nur deshalb Kontakt mit der Metallwand, weil wir es dort abgestellt haben. Wenn man es dort wegbewegt, wird die Verbindung gekappt.
Die Frage ist nun, was passiert mit dem Auto, wenn man den offenen Schalter und damit den Stromkreis schliesst. Natuerlich wird wieder eine idealisierte Welt angenommen.

Oder ganz einfach formuliert: Was passiert, wenn eine Maschine versucht ihren eigenen Stecker zu ziehen?

22.08.2006, 18:43

AD

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Wie oben schon gesagt: Das Auto bleibt zunmittelbar stehen.

Das Problem ist, dass

$\begin{eqnarray*} \dot x(t) = \begin{cases}v&t=t_0\\0&t>t_0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

den gewohnten physikalischen Tatsachen der Massenträgheit widerspricht: Im Nullzeitpunkt wirkt hier eine unendlich große Bremskraft, sowas gibt es in der Realität nicht.

22.08.2006, 18:55

papahuhn

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Ich bestreite ja gar nicht, dass das wohl unrealistisch ist. Aber wenn wir die Widerstandsgleichung genommen haetten, die du vorgeschlagen hast, wuerden wir die Traegheit beim Loesen auch komplett vernachlasessigen.

Warum bleibt das Auto deiner Meinung nach stehen? Wenn es bei geschlossenem Schalter stehenbleibt, dann fliesst doch Strom und die Raeder bewegen sich die ganze Zeit.

22.08.2006, 19:00

AD

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Dein Problem ist, dass du die Massenträgheit nicht aus deinem Kopf kriegst: Zu jedem Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ist die Geschwindigkeit Null, also wie soll sich da das Auto weiterbewegen???

Reale Systeme haben keine Geschwindigkeitssprünge, ich sage nur $\begin{eqnarray*} F=m\dot{v}=m\ddot{x} \end{eqnarray*}$ .

23.08.2006, 20:21

papahuhn

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Ach, jetzt versteh ich das Problem. Ich hab nicht das hingeschrieben, das ich gemeint habe. Eigentlich habe ich folgende Beziehung angedacht:
$\begin{eqnarray*} \dot x(x) = \begin{cases}v&x=0\\0&x>0\end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich weiss nicht, ob obige Gleichung ganz koscher ist. Gemeint ist, dass die Geschwindigkeit von der Position, nicht von der Zeit abhaengig sein soll. Denn bei x = 0 fliesst Strom, sonst nicht.

23.08.2006, 20:29

AD

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Ok, dann wandle ich meine letzte Antwort nur geringfügig ab:

An jeder Position $\begin{eqnarray*} x=\epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ist die Geschwindigkeit Null, also wie soll sich da das Auto von dort weiterbewegen?

Auch hier bleibt das Auto also sofort stehen. Wenn man schon ein Bild braucht, dann eine massive, starre, unendlich schwere Mauer an Position x=0. Da kannst du dagegen fahren, wie du willst, du kommst nicht weiter...

23.08.2006, 20:55

papahuhn

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Zitat:

Original von Arthur Dent
An jeder Position $\begin{eqnarray*} x=\epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ist die Geschwindigkeit Null, also wie soll sich da das Auto von dort weiterbewegen?

Das Argument sehe ich ein. Aber was ist an meinem Argument auszusetzen?

Du sagst, dass das Auto zu jedem Zeitpunkt t an der Position x = 0 verbleibt. Laut Bewegungsgleichung hat das Auto dann die Geschwindigkeit v ueber einen Zeitraum $\begin{eqnarray*} t-t_0 \end{eqnarray*}$ . Die Position sollte also $\begin{eqnarray*} v*(t-t_0) > 0 \end{eqnarray*}$ sein.

23.08.2006, 21:41

AD

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Ok, nach nochmaligen Nachdenken folgendes: Der physikalische Hintergrund ist sowieso absurd, also betrachten wir das auf rein abstrakter mathematischer Ebene. Du willst die DGL

$\begin{eqnarray*} \dot{x} = v_0\cdot 1_{(-\infty,0]}(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_0>0 \end{eqnarray*}$ (*)

betrachten. Die hat aber nur die konstanten Lösungen $\begin{eqnarray*} x(t)=c \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ . Für Anfangswerte $\begin{eqnarray*} x(0)\leq 0 \end{eqnarray*}$ besitzt diese DGL schlicht keine klassische Lösung, da eine Nichtdifferenzierbarkeit zu dem Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x(t)=0 \end{eqnarray*}$ auftritt.

Nun kann man noch nach schwachen Lösungen suchen. Für die ist dann aber die Ableitung (*) nur noch für Lebesgue-fast alle Punkte erfüllt bzw. überhaupt existent, darunter zählt dann auch der Punkt $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

05.09.2006, 18:52

papahuhn

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Ok, danke schön!

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