Automorphismus

07.11.2008, 18:13

Uri3

Automorphismus

Abend,

ich habe folgendes Problem:

Sei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Wurzel von $\begin{eqnarray*} f(x) \in \mathbb{Q}[x] \end{eqnarray*}$ . Man betrachtet $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(a) \end{eqnarray*}$ .
Man zeige, dass ein Automorphismus $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(a) \end{eqnarray*}$ , der $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ fixiert, eindeutig durch $\begin{eqnarray*} g(a) \end{eqnarray*}$ bestimmt ist.

Vermutlich braucht man nur ein Argument (gibt nur 1 Punkt auf die Aufgabe) - nur welches? Also g eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist ja die Identität. Auch weiß ich nicht, wie ich verwende, dass a eine Wurzel (irgend-)eines Polynoms aus Q ist.

07.11.2008, 22:18

Uri3

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Hat niemand eine Idee - ich komme nämlich irgendwie nicht weiter.

Ich habe gefunden, dass $\begin{eqnarray*} g(a) \end{eqnarray*}$ dann auch eine Wurzel von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist. Aber davon kann ich ja nicht ausgehen.

07.11.2008, 22:45

Mathespezialschüler

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Wie ist denn $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a) \end{eqnarray*}$ definiert? Und was bedeutet es, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ein Körperhomomorphismus ist?

08.11.2008, 10:08

Uri3

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$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(a) \end{eqnarray*}$ ist der kleinste Körper, der $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ enthält.
Für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} g(\alpha x + y) = \alpha g(x) + g(y) \quad \forall_{\alpha \in \mathbb{Q}, x,y \in \mathbb{Q}(a)} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} g(1) = 1, g(0) = 0, g|_{\mathbb{Q}} = id_{\mathbb{Q}} \end{eqnarray*}$ .

Tut mir leid, mir ist immer noch nicht klar, warum g eindeutig bestimmt ist. traurig

08.11.2008, 14:42

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Uri3
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(a) \end{eqnarray*}$ ist der kleinste Körper, der $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ enthält.

Richtig, und der ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a)=\{r+sa\ |\ r,s\in\mathbb Q\} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Uri3
Für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} g(\alpha x + y) = \alpha g(x) + g(y) \quad \forall_{\alpha \in \mathbb{Q}, x,y \in \mathbb{Q}(a)} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} g(1) = 1, g(0) = 0, g|_{\mathbb{Q}} = id_{\mathbb{Q}} \end{eqnarray*}$ .

Ok, das ist anscheinend ein Körperhomomorphismus, wenn man die Körper als Vektorräume und nicht als Ringe auffasst. Aber das reicht auch.

Sei $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb Q(a) \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gibt es $\begin{eqnarray*} r,s\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=r+sa \end{eqnarray*}$ . Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} g(x)=g(r+sa)=g(r)+sg(a) \end{eqnarray*}$ .

Was ist $\begin{eqnarray*} g(r) \end{eqnarray*}$ ? Siehst du nun, warum $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} g(a) \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt ist?

08.11.2008, 16:19

therisen

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Richtig, und der ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a)=\{r+sa\ |\ r,s\in\mathbb Q\} \end{eqnarray*}$ .

Das gilt nur für Zahlkörper vom Grad 2. Es genügt zu wissen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a)=\mathbb Q[a] \end{eqnarray*}$ ist, d.h. zu jedem $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb Q(a) \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} h\in\mathbb Q[X] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=h(a) \end{eqnarray*}$ .

08.11.2008, 18:08

Uri3

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$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(a) = \mathbb{Q}[a] \end{eqnarray*}$ gilt nach einem Satz, falls $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ algebraisch über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist - was nach Konstruktion ja erfüllt ist.

Dann: $\begin{eqnarray*} g(x) = g(h(a)) \end{eqnarray*}$ für ein bel. $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Q}(a) \end{eqnarray*}$
Und da g homomorph ist und h ein Polynom kann man g "auseinanderziehen" und hat die Behauptung. Liege ich damit richtig?

08.11.2008, 18:50

therisen

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Ja.

08.11.2008, 19:13

Mathespezialschüler

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Entschuldigung für den Fehler, Uri3. Und danke für die Berichtigung, Michi.

09.11.2008, 21:59

cice

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Hi zusammen Augenzwinkern

Ich hätte mal ein ganz ähnliche Frage, allerdings sozusagen 'umgekehrt':

Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \zeta \mapsto \zeta^i, \quad 1 < i \leq p-1 \end{eqnarray*}$ definiert einen Automorphismus von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\zeta) \end{eqnarray*}$ . Dabei soll $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ eine p-te Einheitswurzel und p eine Primzahl sein.

Also ich habe natürlich schon gelesen, dass das etwas mit Kreisteilungskörpern und so zu tun hat. Das hatten wir aber noch nicht - kann man es auch so lösen?

Ich muss ja zeigen, dass die induzierte Abbildung additiv und multiplikativ ist. Aber wie genau weiss ich nicht.

Bisher erhalte ich nur so Sachen wie $\begin{eqnarray*} f(1) = f(\zeta^p) = \zeta^{pi} = 1 \end{eqnarray*}$ , das bringt mich aber nicht weiter, oder?

Schonmal vielen Dank!

Viele Grüße,
cice

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