Rang-Übungen

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08.11.2008, 23:21	El mathematico	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang-Übungen Hallo miteinander! Folgende Aufgabe beschäftigt mich: [attach]9135[/attach] a) hier hätte ich gedacht, dass wenn y_i,j = 0 ist, dass dann der Rang(Y) ebenfalls = 0 ist. Falls y_i,j = a_i,j oder b_i-n,j-n ist, dann ist der Rang(Y) = 1. Oke..ich habe aber bemerkt, dass all diese Annahmen nicht stimmen können, denn es könnte ja sein, dass die anderen "Werte" nicht = 0 sind, und somit der Rang > 0 ist. Könnte hier bitte jemand behilflich sein? b) Da X ja aus a_i,j und b_i-n,j-n "besteht", wäre dies eigentlich nachvollziehbar. Mathematisch gesehen ist diese Argumentation allerdings alles andere als zulässig - oder? (--> auch hier wäre ich um Tipps sehr dankbar! ) c) Diese Entscheidung kann ich natürlich erst treffen, wenn ich a) und b) gelöst habe... Herzlichen Dank für die Hilfestellungen!
09.11.2008, 16:35	El mathematico	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang-Übungen oder wie sähe es aus, wenn man den gausschen Algorithmus anwenden wüde? ...wäre dies ein Lösungsweg? Vielen Dank für die Tipps!
09.11.2008, 18:10	Meret	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, wir sitzen gerade an derselben Aufgabe, El mathematico! ...ich würde mich also genauso über Hilfe freuen, wie dies El mathematico tut..
09.11.2008, 18:14	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wartezeit Gebt Euch dochmal kleine n und n' vor. Wie würden dann die Matrizen aussehen? Wie würdet ihr dann vorgehen?
09.11.2008, 19:03	Meret	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, wenn z.B. n= 1 ist und n' ebenfalls = 1, so sähe die Matrix von Y so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} . & . \\ . & . \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (der Punkt soll hier einfach als Platzhalter dienen) A sähe dann so aus: $\begin{eqnarray} (a_{i,j}) und B: (b_{i,j}) \end{eqnarray}$ Wenn nun weder a noch b = 0 ist, so wäre rang(Y) = 2 sein. Ist a = 0 und b nicht gleich 0 oder b = 0 und a nicht gleich 0, dänn wäre rang(Y) = 1. Wären a und b = 0, so wäre rang(Y) ebenfalls = 0. Aber wie kann ich das verallgemeineren bzw. wie kann zeigen, dass dies stimmt? (falls es überhaupt stimmt)
09.11.2008, 19:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
bei 2 Variablen ist es wohl nicht geschickt sie gleich zu wählen oder? Ich dachte so an 3 und 5.
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09.11.2008, 20:13	Meret	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, für n= 3 und n' = 5 würde gelten: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & .\\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} . & . & . \\ . & . & . \\ . & . & . \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & .\\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun, eigentlich wäre es ja offensichtlich, dass rang(Y) = rang(A) + rang(B) ist, weil weder eine Splate noch eine Zeile jemals 0 sein kann (siehe Gegebenes und Definitionen auf dem Aufgabenblatt). Kommt diese Argumentation durch?
09.11.2008, 21:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum trägst du da nur Punkte . ein? Wo stehen die 0,a und b?
09.11.2008, 22:18	Meret	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eben mein Problem...von wo weiss ich, wo eine 0 steht, wo a und b ? Klar, in der i-ten Zeile und j-ten Splate ist a_i,j, aber vo wo weiss ich wo das liegt? Genauso bei b
09.11.2008, 22:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
i ist die Zeile, j die Spalte.
09.11.2008, 22:39	Meret	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja dann würde einfach gelten (z.B bei A): $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Wie zeige ich nun, dass rang(Y) wirklich rang(A) + rang(B) ist?
09.11.2008, 23:16	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. So sieht A aus. Wie B und wie Y? BTW, stellt Aufgaben hier nicht als Bilder ein. Benutzt latex. Ich habe nun keine Lust/Zeit ständig hin und herzuklicken. So dauert das hier eben länger.
09.11.2008, 23:30	Meret	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid - habe dieselbe Aufgabe wie El mathematico - da habe ich gedacht könne ich gleich von hier profitieren. B dassselbe, einfach mit "b" und bis $\begin{eqnarray} b_{5,5} \end{eqnarray}$ Y alles mit y, bis $\begin{eqnarray} y_{8,8} \end{eqnarray}$ "weil y_{1,1} bis y_{3,3} für die a's gilt und y_{4,1} bis y_{8,8} für die b's" ...ich denke, dass man den obigen Satz nicht so formulieren sollte. Leider weiss ich aber nicht, wie ich es sonst tun sollte
09.11.2008, 23:46	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst gerne mitmachen, wenn du an der gleihen Aufgae hängst. Die Kritik richtet sich an Euch beide. Was ist hieran so schwer... Sei n=3 und n'=5. n+n' = 8 und die Matrizen haben die Gesalt: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{pmatrix},~ B = \begin{pmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3} & b_{1,4} & b_{1,5} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3} & b_{2,4} & b_{2,5}\\ b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3} & b_{3,4} & b_{3,5} \\ b_{4,1} & b_{4,2} & b_{4,3} & b_{4,4} & b_{4,5} \\ b_{5,1} & b_{5,2} & b_{5,3} & b_{5,4} & b_{5,5} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} &0&0&0&0&0 \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} &0&0&0&0&0\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0& b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3} & b_{1,4} & b_{1,5} \\ 0&0&0& b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3} & b_{2,4} & b_{2,5}\\ 0&0&0& b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3} & b_{3,4} & b_{3,5} \\ 0&0&0& b_{4,1} & b_{4,2} & b_{4,3} & b_{4,4} & b_{4,5} \\0&0&0& b_{5,1} & b_{5,2} & b_{5,3} & b_{5,4} & b_{5,5} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Somit steht hier eine Blockmatrix. Und hättet ihr Euch das mal so notiert, .... Die von den ersten 3 Zeilen und letzten 5 Zeilen erzeugten Unterräume besitzen nur den Nullvektor als Schnitt. Nun brauchen wir folgenden Satz http://de.wikipedia.org/wiki/Dimensionsformel Der Rang einer Matrix ist gerade die Dimension ihres Bildraums.
10.11.2008, 00:11	Meret	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank! Das heisst, der rang(Y) = 8 , oder?
10.11.2008, 00:13	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, dass heißt was behauptet wurde. rang(Y) = rang(A) + rang(B)
10.11.2008, 00:17	Meret	Auf diesen Beitrag antworten »
äää verd***... ja, logo...hab immernoch meine 8 im Kopf gehbat, sorry! Das heisst, da wir die Dimensionsformel benutzt haben, dass dies im Allgemeinen richtig ist, oder? (also das wäre Frage c), ob rang(X) = rang(A) + rang(B) im Allgemeinen stimme)
10.11.2008, 00:20	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Geh schlafen. X ist doch eine ganz andere Matrix. Male diese Dir morgen mal so auf, wie ich hier Y gemalt habe. Dann reden wir weiter.
10.11.2008, 00:35	Meret	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm..hängt es damit zusammen, dass unter x_i,j die Variante c_i,j-n steht?
10.11.2008, 00:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe nun eine Aufgabe hingeschrieben, du weißt nun, wie du die weiteren hier einstellen sollst. Ich quittiere für heute den Dienst.

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