Nachweis eines Vektorraumes

09.11.2008, 14:43

Wintersun

Nachweis eines Vektorraumes

Hallo, ich brauche mal wieder eure Hilfe. Also, es geht um folgendes:

Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine beliebige Menge und $\begin{eqnarray*} V:={f:M\rightarrow \mathbb R} \end{eqnarray*}$ die Menge der Abbildungen von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ seien die Addition und die Multiplikation mit Skalaren punktweise erklärt durch

$\begin{eqnarray*} f + g : M \rightarrow \mathbb R, \quad (f+g)(x) := f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot f : M \rightarrow \mathbb R, \quad (\lambda \cdot f)(x) := \lambda \cdot f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit diesen Verknüpfungen ein Vektorraum ist.

Wahrscheinlich ist jetzt folgendes nachzuprüfen:

- Kommutativität der Addition

- Assoziativität der Addition

- Existenz einer eindeutigen Ergänzung

- Assoziativgesetz der Multiplikation mit einem Skalar

- Distributivgesetz von beiden Seiten

- Definition der $\begin{eqnarray*} \vec{1} \end{eqnarray*}$

Auch wenn die Frage jetzt dumm und vllt. auch peinlich ist ... wie gehe ich bei der Abarbeitung dieser to-do Liste vor? Wie überprüfe ich zum Beispiel die Kommutativität der Addtion? traurig

09.11.2008, 15:19

Mazze

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Zitat:

Wahrscheinlich ist jetzt folgendes nachzuprüfen:

Die VR-Axiome nachrechnen!

Zitat:

Wie überprüfe ich zum Beispiel die Kommutativität der Addtion?

Du zeigst

$\begin{eqnarray*} f + g = g + f \end{eqnarray*}$

Ich geb Dir mal den Anfang vor :

Sei $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f + g)(x) = \underbrace{f(x) + g(x)}_{\text{ reelle Zahlen !}} = ... \end{eqnarray*}$

Du bekommst dann eine Aussage das (f + g)(x) = (g + f)(x) für alle x in M und damit dann f + g = g + f.

09.11.2008, 16:06

Wintersun

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Danke für deinen Hinweis.

Es gilt per Definition: $\begin{eqnarray*} (f+g)(x) = f(x) + g(x) \quad \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, +) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe ist, gilt auch $\begin{eqnarray*} f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f)(x) \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt dann, dass $\begin{eqnarray*} f + g = g + f \end{eqnarray*}$ .

Kann man das so stehen lassen?

09.11.2008, 16:36

Mazze

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Zitat:

Kann man das so stehen lassen?

Ich würde noch den Zusatz $\begin{eqnarray*} \forall x \in M \end{eqnarray*}$ hinzufügen, ansonsten ist es ok so.

09.11.2008, 17:02

Wintersun

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Ok, danke. Axiom 2 hätten wir ja dann schon mal.

Mal schauen, wie das bei Axiom 1 aussieht ... Augenzwinkern

Also, zu zeigen ist ja: ( $\begin{eqnarray*} f + g) + h = f + (g + h) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (f+g)(x) + h(x) = f(x) + (g+h)(x) \end{eqnarray*}$ .

Es ist: $\begin{eqnarray*} (f+g) + h = (f+g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x) \end{eqnarray*}$ , da ja $\begin{eqnarray*} (f+g)(x) := f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$ .

Außerdem gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) + (g +h)(x) = f(x) + g(x) + h(x) \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} (f+g)+h = f+(g+h) \end{eqnarray*}$ , also die Assoziativität.

Ist das so okei?

09.11.2008, 17:09

Mazze

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (f+g) + h = (f+g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x) \end{eqnarray*}$

Die Gleichung macht keinen Sinn. Links hast Du Funktionen und Rechts Zahlen. Die Grundsätzliche Idee ist aber ansich ok. Nochmal zum Prinzip :

Zwei Funktion g und h auf einem Definitionsbereich D sind gleich wenn $\begin{eqnarray*} g(x) = h(x) ~ \forall x \in D \end{eqnarray*}$ gilt. Du willst zeigen dass gilt

$\begin{eqnarray*} (f + g) + h = f + (g + h) \end{eqnarray*}$

. Also zeigst Du

$\begin{eqnarray*} (f + g)(x) + h(x) = f(x) + (g + h)(x) ~ \forall x \in M \end{eqnarray*}$

Du fängst Deinen Beweis also an mit , sei $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} (f + g)(x) + h(x) = ... \end{eqnarray*}$

09.11.2008, 17:54

Wintersun

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Ok, ich schreib's mal so auf:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} (f+g)(x) + (h)(x) = f(x) + g(x) + h(x) \underset{\text{Def. Addition}}{=} f(x) + (g+h)(x) \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} (f+g)+h = f + (g+h) \end{eqnarray*}$ .

Nun stimmt's, oder?

09.11.2008, 18:05

Mazze

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Zitat:

Nun stimmt's, oder?

Ja !

09.11.2008, 20:46

Wintersun

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Vielen Dank für deine Hilfe.

Könntest du mir noch einen Ansatz geben, wie ich die anderen 6 Axiome nachweisen/nachrechnen kann?

(Das ist jetzt keine Arbeitsverweigerung meinerseits, ich würd ja gern selbst auf die Ideen kommen, aber ich kann's einfach nich ... traurig

)

10.11.2008, 14:41

Mazze

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Das ist immer das gleiche. Ein $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ wählen und die bekannten Regeln der reellen Zahlen verwenden. Die 1 ist natürlich $\begin{eqnarray*} f(x) = 1 ~ \forall x \in M \end{eqnarray*}$ .

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