Komplexe Zahlen: Darstellung in Polarform

09.11.2008, 16:25

extasic

Komplexe Zahlen: Darstellung in Polarform

Hallo,

ich brüte nun seit Tagen vor den komplexen Zahlen. Eigentlich konnte ich der Vorlesung gut folgen, aber nachdem ich eine Woche im KH lag habe ich einen absoluten Aussetzer.

Meine Aufgabe: Komplexe Zahlen in die Polarform bringen und dann damit rechnen. Ich habe hier die Suche benutzt, meine Bücher geschwälgt (leider ist es dort nicht behandelt) und mir überall im Internet beispiele angeschaut, trotzdem komme ich nicht so ganz dahinter.

Beispielaufgabe: a = -2 + 2i

Was ich gemacht habe:

1.
$\begin{eqnarray*} \mid z \mid = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} cos \phi = \frac {Re(z)} {\mid z \mid} = \frac{(-2)} {2}= -1 \Rightarrow \phi = cos^{-1} ( \frac {Re(z)} {\mid z \mid} ) = -1 = 180° \end{eqnarray*}$

3.
$\begin{eqnarray*} a = ( \sqrt{8} ; 180° ) \end{eqnarray*}$

Doch sicher bin ich mir damit nicht. Auch wird für das Rechnen (wir sollen die Zahlen multiplizieren und dividieren) wird noch eine andere Polardarstellung mit "e" benötigt, oder?

Vielen Dank im Voraus für eure Mühe!!

09.11.2008, 18:41

extasic

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RE: Komplexe Zahlen: Darstellung in Polarform
keiner eine Idee? traurig

09.11.2008, 19:57

Mazze

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Einen kleinen Fehler hast Du gemacht :

Polardarstellung der komplexenzahl z = a + bi :

$\begin{eqnarray*} \tilde{z} = |z| e^{i\phi} \end{eqnarray*}$

|z| ist richtig allerdings ist $\begin{eqnarray*} Re(z) = |z|\cos(\phi) \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} \frac{-2}{\sqrt{8}} = \cos(\phi) \Rightarrow \phi = \arccos\left(\frac{-2}{\sqrt{8}}\right) = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

edit :

Ich sehe grade , das Du sogar die richtige Formel benutzt hast, allerdings einen falschen Wert eingetragen hast Augenzwinkern

09.11.2008, 20:04

extasic

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Danke für Deine Antwort!

Aber eines verstehe ich nicht: Wie kommst Du auf $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ ?
Und wie sieht nun das Ergebnis aus? Und woher kommt das "e"?

Irgendwie fehlt mir noch der letzte "Kick"..

09.11.2008, 20:11

Mazze

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Zitat:

Und wie sieht nun das Ergebnis aus? Und woher kommt das "e"?

Willst Du eine Herleitung warum für $\begin{eqnarray*} z = a + bi, ~ \tilde{z} = |z|*e^{i\phi} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Re(z) = |z|*\cos(\phi) \end{eqnarray*}$ ist ?

Das hier

$\begin{eqnarray*} |z|e^{i\phi} \end{eqnarray*}$

ist die Polardarstellung einer komplexen Zahl.

Zitat:

Wie kommst Du auf $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{-2}{\sqrt{8}} \end{eqnarray*}$

ganz einfach Augenzwinkern

edit :

Kleine Korrektur : ich meinte $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}\pi \end{eqnarray*}$ nicht pi/4.

09.11.2008, 20:16

extasic

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Zitat:

Original von Mazze
$\begin{eqnarray*} \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{-2}{\sqrt{8}} \end{eqnarray*}$

Das ist es, was ist nicht verstehe Augenzwinkern

Also, ich kann nur die Werte in den Taschenrechner eingeben und bekomme ein krummes Ergebnis. Wie bist Du auf $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ gekommen?

09.11.2008, 20:18

Mazze

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Wie gesagt, ich hab es nochmal editiert, ich meinte 3/4 pi. Ich hab auch 3/4 pi ausgerechnet nur die 3 vergessen.

09.11.2008, 20:37

extasic

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sorry, aber mich verständlich ausdrücken ist leider nicht meine Stärke...

ich meine WIE hast Du es ausgerechnet, also WIE bist Du auf $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}\pi \end{eqnarray*}$ gekommen?

10.11.2008, 10:00

klarsoweit

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Meine Güte! unglücklich

Wenn $\begin{eqnarray*} \cos(\phi) = \frac{-2}{\sqrt{8}} = -\frac{1}{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$ , dann ist eben $\begin{eqnarray*} \phi = \frac{3}{4}\pi \end{eqnarray*}$ . Das sollte man schon in der Schule gelernt haben.

Zur Erinnerung: wenn man den Punkt P mit Abstand 1 und Winkel $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}\pi = 135° \end{eqnarray*}$ ins Koordinatensystem zeichnet, dann hat man ein gleichschenkliges Dreieck mit den Punkten (0, 0), (x_P, y_P) und (x_p, 0), wobei y_p = -x_p ist. Jetzt noch etwas Pythagoras und wir erhalten $\begin{eqnarray*} y_P = \frac{1}{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \cos(\phi) = x_P = -\frac{1}{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$

10.11.2008, 10:27

extasic

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oh, Danke - das macht Sinn..

Noch eine andere grundsätzliche Frage zu der Polarform, wahrscheinlich genauso ein Denkfehler wie mit den Winkelsätzen:

Wenn ich den Winkel ermitteln möchte kann ich ja auf die Definitionen

$\begin{eqnarray*} cos \phi = \frac{Realanteil}{|z|} => \phi = arccos \frac{Realanteil}{|z|} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} tan \phi = \frac{Imaginaeranteil}{Realanteil} => \phi = arctan \frac{Imaginaeranteil}{Realanteil} \end{eqnarray*}$

zurückgreifen. Doch bei der Zahl z = -4 - 3i kommt für Tangenz und Cosinus als Winkel etwas anderes heraus.

Was mache ich falsch?

10.11.2008, 10:45

klarsoweit

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Das hängt nun mal an den arcus-Funktionen. Alle Welt denkt, das sind die Umkehrfunktionen der entsprechenden trigonometrischen Funktionen. Weit gefehlt. Man muß schön beachten, auf welchem Intervall man sich bewegt. Z. B. ist arccos eine Funktion, die das Intervall [-1, 1] auf [0, pi] abbildet. Ist der Imaginärteil positiv, dann klappt die Formel $\begin{eqnarray*} \phi = arccos \frac{Re(z)}{|z|} \end{eqnarray*}$ . Ist der Imaginärteil negativ, dann mußt du die Formel $\begin{eqnarray*} \phi = 2 \pi - arccos \frac{Re(z)}{|z|} \end{eqnarray*}$ nehmen.

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