Untervektorräume

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Bernd Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorräume
Es seien K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Weiter seien U und W Untervektorräume von V. Zeigen Sie:

Die Vereinigung von U und W ist genau dann ein Untervektorraum von V, wenn U c W oder W c U gilt.

Ich weiß leider nicht einmal, wie man anfangen solllte, das zu zeigen. ):
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Die eine Richtung ist sehr einfach.

Denn aus folgt .


Die andere Richtung kann man mit einem Widerspruch zeigen:

Sei ein Untervektorraum von . Angenommen es ist weder noch .

Dann gibt es ein , das nicht in W ist und ein , das nicht in U ist. Nach Vorraussetzung ist . Führe dies zu einem Widerspruch.
Bernd Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist toll, vielen Dank. Jetzt habe ich das verstanden.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du den Beweis denn jetzt zu Ende geführt? Dann stell ihn bitte noch hier rein.
moxl Auf diesen Beitrag antworten »

Das Beispiel würde mich auch interessieren. smile


Wie macht man denn so einen Gegenbeweis? Man kann doch nicht einfach irgendein w oder u nehmen...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann zeigen, dass entweder oder gilt. Widerspruch!

Man nimmt übrigens nicht irgendein w oder u, sondern es existieren u und w mit der Eigenschaft, die ich beschrieben habe. Und die nimmt man sich dann.
 
 
moxl Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich jetzt ein u nehmen will, dass in U aber nicht in W ist, wie beschreibe ich das dann?

Sei ; nicht in W hinzuschreiben, wird ja nicht reichen. :/

Mir ist unklar, wie man das ausdrückt...also, dass es Element u ist und wie ich dann daraus den Widerspruchsbeweis mache.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

wie macht man denn diesen beweis hier zu ende
moxl Auf diesen Beitrag antworten »

würde ich auch gerne wissen. :/
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man immer nur "wie gehts weiter", "ich versteh das nicht" liest, wird man nicht gerade motiviert, weiterzuhelfen unglücklich

Vor allem, wenn man das Gefühl hat, dass gar nicht mitgedacht wird.

Zitat:
Original von tmo
Die andere Richtung kann man mit einem Widerspruch zeigen:

Sei ein Untervektorraum von . Angenommen es ist weder noch .

Dann gibt es ein , das nicht in W ist und ein , das nicht in U ist. Nach Vorraussetzung ist . Führe dies zu einem Widerspruch.


Könnt ihr/Kannst du das denn nachvollziehen? Worauf will ich hier eigentlich hinaus?

Warum überhaupt das hier?
Zitat:
Sei ein Untervektorraum von . Angenommen es ist weder noch .



Beantwortet mal diese Fragen, dann gehts hier weiter.
krümi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tmo
soweit war ich auch gekommen in meiner Idee, aber genau nach deinem Ansatz hakts...
da U nicht in W und W nicht in U liegt, kann ich doch trotzdem eine Summe in der Vereinigung haben... verwirrt
Wohin also mit meinem Widerspruch?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal meine Frage: Warum gilt überhaupt ?

Woraus folgt das?
krümi Auf diesen Beitrag antworten »

na, da die Vereingung doch ein Vektorraum sein soll, gilt nach den Vorauss. für Vektorräume doch u+w Element Vektorraum, also hier der Vereinigung...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Also gilt . Was bedeutet das denn für bzw. ?
krümi Auf diesen Beitrag antworten »

ich habs (glaub ich):

aber nicht W
daher d.h
oder
also Widerspruch....
stimmts?


edit tmo: Latex verbessert.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist richtig, dass oder folgt.

Gehen wir einfach mal o.B.d.A aus, dass gilt. Warum genau das ein Widerspruch ist, gilt es aber noch zu begründen. Denk mal an inverse Elemente...
krümi Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal danke, da üb ich wohl noch'n bißchen... Freude
äh, ich hab doch vorher angenommen, dass w nicht
reicht das nicht?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vektorraumaxiome sagen nur .

Du willst hier aber nutzen. Das gilt zwar, bedarf aber eines Beweises. Und dazu brauch man noch ein weiteres Vektorraumaxiom. Das habe ich schon genannt.
krümi Auf diesen Beitrag antworten »

HÄ? verwirrt mir ist grad nicht klar, worauf Du hinaus willst... unglücklich
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ist dir nicht klar, warum du diese Aussage hier ausgenutzt hast?
Zitat:
Original von tmo
Du willst hier aber nutzen.


Oder ist dir nicht klar, wie du die beweisen sollst?
krümi Auf diesen Beitrag antworten »

mir ist nicht klar, WARUM ich das beweisen soll:
lt Annahme gilt:
w liegt NICHT in U, aber die Summe aus w+u liegt in U, da die Operation abgeschlossen sein muss, also liegt doch hier ein Widerspruch...

PS: gibts eine Verneinung im Fomeleditor, oder bin ich einfach nur zu blöd, damit umzugehen??
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von krümi
w liegt NICHT in U, aber die Summe aus w+u liegt in U, da die Operation abgeschlossen sein muss, also liegt doch hier ein Widerspruch...


Das würde ich als Korrektor nicht akzeptieren. Da fehlt der Beweis. Du behauptest einfach das wär ein Widerspruch, begründest das aber nicht.

Du weißt 3 Sachen




Nun musst du beweisen, dass dies ein Widerspruch ist. Beweisen bedeutet bei so elementaren Sachen über Vektorräume, dass du es direkt aus den Axiomen folgerst.
krümi Auf diesen Beitrag antworten »

du meinst ich solle dieses Axion noch (sogesehen "umgedreht") anführen:
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein du sollst die Vektorraumaxiome benutzen um zu beweisen, dass die Gültigkeit der drei Aussagen



ein Widerspruch ist.

Die Idee ist, dass dass additiv inverse zu u in U ist:
krümi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Die Idee ist, dass dass additiv inverse zu u in U ist:


und dann? irgendwie kann ich deiner Idee nicht folgen...
setz ich dann w := -u? das hilft mir doch nicht weiter... verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte ....
krümi Auf diesen Beitrag antworten »

aahh, muss in U liegen, da aber u+ (-u) =e, muss auch w in U liegen... ???
sowas in der Richtung... steh grad auf dem Schlauch...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von krümi
aahh, muss in U liegen, da aber u+ (-u) =e, muss auch w in U liegen... ???


Genau. Und genau das ist der Widerspruch, da wir ja wissen.
krümi Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, danke für Deine Geduld... Freude
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

also heisst es dann ein vektorraum ist die vereinigungsmenge zwischen zwei echten untervekträumen???

meine frage ist dann gibt es einen vektoraum, der die vereinigungsmenge zwischen drei echten untervektorräumen ist
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von energyfull
also heisst es dann ein vektorraum ist die vereinigungsmenge zwischen zwei echten untervekträumen???

Ordne mal deine Gedanken und frage dann nochmal. Ich bin mir nämlich irgendwie sicher, dass das nicht das ist, was du wissen willst.

Die Antwort auf deine Fragen würde nämlich lauten:
Nein.
Z.b. gibt es keine endliche Anzahl echter Untervektorräume des , die vereinigt den ergeben.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

aha ok, also geht das nicht ,

ein vektorraum ist nicht vereinigungsmenge von 2 untervektorräumne.

wie geht das denn jetzt mit der vereinigungsmenge bei drei echten untervektorräumen, gibt es dazu ein vektorraum
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von energyfull
ein vektorraum ist nicht vereinigungsmenge von 2 untervektorräumne.

Und plötzlich ist das Wort "echt" weg...Es ist schwer auf deine Fragen zu antworten, wenn du dich nicht klar ausdrückst unglücklich
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

jep, sorry

können sie mir das jetzt erklären wie ich das für die vereinigungsmenge von 3 untervektorräumen mache
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