Lin. unabhängig/vollst. Induktion

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rewe Auf diesen Beitrag antworten »
Lin. unabhängig/vollst. Induktion
Guten abend!

Ich soll beweisen, dass die Funktionen im R-Vektorraum aller Funktionen R ---> R linear unabhängig sind (mit )

Ich will das natürlich durch vollständige Induktion beweisen, nur habe ich jetzt Schwierigkeiten damit, die Induktionsvoraussetzung bzw. überhaupt den Induktionsanfang aufzustellen.

Ich habe jetzt schließlich keine Gleichung o.ä. gegeben.

Kann ich jetzt z.B. ein nehmen und dann den Anfang so machen:




?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn es hier zunächst überflüssig erscheint, könnte man ein passendes Skalarprodukt definieren, z.B.

.

Für kann man dann nämlich rasch nachweisen

.

Damit kann man dann

Zitat:
sind linear unabhängig

per vollständiger Induktion über elegant nachweisen.
rewe Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, also, darauf wäre ich selbst wohl nie gekommen.

Man soll hier also vollständige Induktion nach n machen?

Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Geht auch ohne Skalarprodukt:
- Induktionsvor.: sind l.u.
- Angenommen
- Wenn wir nun f zwei mal ableiten, erhalten wir eine weitere Linearkombination der Funktionen , die Null wird. Mit diesen beiden Gleichungen ist es möglich die Induktionsannahme zum Widerspruch zu führen.
rewe Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also ist



meine erste Gleichung und zu der zweiten Gleichung komme ich, wenn ich



zweimal ableite.


Aber wie kann ich so eine Gleichung ableiten? Sie besitzt ja n-Elemente?!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst nicht nach x ableiten?
 
 
rewe Auf diesen Beitrag antworten »



?

is ja nur eine Konstante und bleibt erhalten.
rewe Auf diesen Beitrag antworten »

Die zweite Ableitung wäre dann ja mit -sin(x) ...

Aber wie würde ich dann mit diesen zwei Gleichungen die Annahme zum Widerspruch führen?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde Dir hier nicht alles vorkauen, ein wenig Eigenanteil ist schon vonnöten.
PS: Die Ableitung von sin(nx) ist NICHT cos(nx)!
rewe Auf diesen Beitrag antworten »



rewe Auf diesen Beitrag antworten »

Habe jetzt übrigens abgeleitet, die erste Gleichung mit n^2 multipliziert und dann diese Gleichung mit der 2. Ableitung addiert, sodass ein Glied wegsubtrahiert wurde.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, es fällt sin(nx) weg und Du erhältst eine Gleichung der Form

Nun musst Du nur noch argumentieren, warum die nicht alle gleich Null sind und es ergibt sich ein Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung.
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