Lineare Unabhängigkeit ...

10.11.2008, 17:25

Christina2

Lineare Unabhängigkeit ...

... von Funktionen. Da mache ich mir das Leben scheinbar unnötig schwer.

Bsp: f(x) = x² und g(x) = x seien gegeben.

Dann muss es ja heißen:

$\begin{eqnarray*} f(x) * \lambda_1 + g(x) * \lambda_2 = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} x^2 * \lambda_1 + x * \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt bricht für mich eine Welt auseinander, weil der Tutor sagt, man solle einfach für x etwas Beliebiges einsetzen.

Ich zeige mal, was er gemacht hat:

$\begin{eqnarray*} x^2 * \lambda_1 + x * \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x * \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x * \lambda_1 = - \lambda_2 \end{eqnarray*}$

Jetzt setzt er für x einmal 1 und einmal 2 ein.

Also:

$\begin{eqnarray*} 1 * \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 * \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Gut, das gilt dann für x = 1 und x = 2, aber wer sagt mir, dass das dann auch für x = 3283682 und x = 792472047 gilt? Es kann doch nicht reichen, dass ich da einfach zwei Werte einsetze und das genügt? Nach logischem Überlegen ist die Funktion von $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ doch sogar linear abhängig.

10.11.2008, 17:28

Christina2

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Sorry, von $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ war gemeint.

10.11.2008, 17:30

Christina2

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Argh, stimmt auch nicht. x1 = 0 und x2 = 1 waren gemeint. LOL Hammer

10.11.2008, 17:30

tmo

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Die Implikation ist die Folgende:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 f(x)+\lambda_2 g(x) = 0 ~ \forall x \in \mathbb R ~~ \Rightarrow ~~\lambda_1 f(1)+\lambda_2 g(1) = 0 \land \lambda_1f(2)+\lambda_2g(2) = 0 ~~ \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2=0 \end{eqnarray*}$

Insgesamt folgt daraus die lineare Unabhängigkeit.

10.11.2008, 17:47

Christina2

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Zitat:

Original von tmo
Die Implikation ist die Folgende:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 f(x)+\lambda_2 g(x) = 0 ~ \forall x \in \mathbb R ~~ \Rightarrow ~~\lambda_1 f(1)+\lambda_2 g(1) = 0 \land \lambda_1f(2)+\lambda_2g(2) = 0 ~~ \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2=0 \end{eqnarray*}$

Insgesamt folgt daraus die lineare Unabhängigkeit.

Inwiefern hat es mich weitergebracht, das Ganze jetzt mit Quantoren auszudrücken? Ich habe ein grundlegendes Verständnisproblem. Wenn ich z. B. habe $\begin{eqnarray*} 0 = (x-1) * \lambda \end{eqnarray*}$ , kann ich doch nicht einfach für x = 5 einsetzen und behaupten, $\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich nämlich für x = 1 einsetze, ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ wieder beliebig. Das ist meine Denkweise. Ich kann doch nicht nur EIN beliebiges x wählen und dann behaupten, $\begin{eqnarray*} \lambda = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

10.11.2008, 17:54

tmo

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Die Gleichung soll doch für ALLE x gelten. Also insbesondere auch für $\begin{eqnarray*} x = 5 \end{eqnarray*}$ .

D.h. da es für alle x gilt, folgert man, dass es auch für x = 5 gilt. Daraus folgert man dann $\begin{eqnarray*} \lambda =0 \end{eqnarray*}$ .

10.11.2008, 18:45

Christina2

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Das Ganze macht Sinn für mich, wenn man $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \neq 1 \end{eqnarray*}$ für die Aufgabe aus dem Eingangsposting voraussetzt. Sonst wäre auch $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ möglich und somit eine lineare Abhängigkeit gegeben. Die Frage ist jetzt noch, ob man dann bei drei Funktionen drei verschiedene x-Werte zu überprüfen hat.

11.11.2008, 20:55

schmouk

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Kann man das nicht so sehen:

$\begin{eqnarray*} 1\cdot\lambda_1+\lambda_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\cdot\lambda_1+\lambda_2=0 \end{eqnarray*}$

wenn du jetzt sagst:

$\begin{eqnarray*} 1\cdot\lambda_1=-\lambda_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\cdot\lambda_1=-\lambda_2 \end{eqnarray*}$

dann

$\begin{eqnarray*} 1\cdot\lambda_1=2\cdot\lambda_1 \end{eqnarray*}$

dann kann $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ ja praktisch nur 0 sein egal für welches x. ob nun 2, 6, oder 8700000000. oder? bin auch kein Profi aber is doch so, oder nich?

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