Darstellung von 100 u. 1000 mit aufeinanderfolgenden Zahlen

11.11.2008, 15:19

wurstpelle

Darstellung von 100 u. 1000 mit aufeinanderfolgenden Zahlen

Hallo, ich habe hier mal eine Frage zu diesem Thema und hoffe ich bin hier im richtigen Forum!
Meine Freundin muss ein Vortrag im Studium in Mathe machen und muss erklären bzw begründen wie das nachfolgende funktioniert!

100 lässt sich als summe von 5 aufeinanderfolgenden zahlen darstellen (18+19+20+21+22) und als summe von 8 aufeinanderfolgenden zahlen (9+10+11+12+13+14+15+16) aber wie kommt man darauf?

1000 lässt sich als summe von 5 aufeinanderfolgenden zahlen darstellen (198+199+200+201+202) und als summe von 16 aufeinanderfolgenden zahlen (55+56+57+...+69+70) und als summe von 25 aufeinanderfolgenden Zahlen (28+29+30+...+51+52) aber wie kommt man darauf?

Es wäre halt wichtig zu wissen wie man auf sowas kommt. Gibt es da noch eine andere Begründung außer ausprobieren ?

Vielen Dank schonmal!

11.11.2008, 15:47

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Man denkt einfach ein wenig über die bekannte Summenformel

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

nach: Durch Differenzbildung folgt für $\begin{eqnarray*} m<n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=m+1}^n k = \sum_{k=1}^n k - \sum_{k=1}^m k = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m+1)}{2} = \frac{(n-m)(n+m+1)}{2} \qquad (*) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n-m) \end{eqnarray*}$ ist auch die Anzahl der Summanden in der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=m+1}^n k \end{eqnarray*}$ .

------------------

Betrachten wir nun Summe 1000: Dann folgt aus (*) notwendig $\begin{eqnarray*} (n-m)(n+m+1) = 2000 = 2^4\cdot 5^3 \end{eqnarray*}$ .

Dann muss die Summandenanzahl $\begin{eqnarray*} n-m \end{eqnarray*}$ ein Teiler von 2000 sein und außerdem dürfen nicht beide Faktoren $\begin{eqnarray*} n-m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n+m+1 \end{eqnarray*}$ gerade sein. Schließlich muss auch noch $\begin{eqnarray*} n-m < n+m+1 \end{eqnarray*}$ sein.

Diese Bedingungen führen dann zwangsläufig dazu, dass für die Summandenanzahl $\begin{eqnarray*} n-m \end{eqnarray*}$ nur die Varianten $\begin{eqnarray*} 1,5,16,25 \end{eqnarray*}$ übrigbleiben:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|r|r||r|r|}\hline n-m & n+m+1 & m+1 & n\\ \hline\hline 1 & 2000 & 1000 & 1000\\ \hline 5 & 400 & 199 & 202\\ \hline 16 & 125 & 55 & 70\\ \hline 25 & 80 & 28 & 52\\ \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

Dabei werden der erste Summand $\begin{eqnarray*} m+1 \end{eqnarray*}$ und der letzte Summand $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus den ersten beiden Spalten ermittelt, und zwar gemäß

$\begin{eqnarray*} m+1 = \frac{(n+m+1)-(n-m)+1}{2},\quad n = \frac{(n+m+1)+(n-m)-1}{2} \end{eqnarray*}$ .

11.11.2008, 22:08

wurstpelle

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danke schon mal!

aber mir ist immer noch nicht ganz klar, wie ich auch überhaupt auf 1,5,16,25 komme, wenn ich nur weiß, dass 1000 sich aus der summe von aufeinanderfolgenden Zahlen darstellen lassen soll.

und wie kommst du auf die formel für m+1 und n ganz unten?

12.11.2008, 05:35

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Mach mal die Augen auf, steht alles da:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Dann muss die Summandenanzahl $\begin{eqnarray*} n-m \end{eqnarray*}$ ein Teiler von 2000 sein und außerdem dürfen nicht beide Faktoren $\begin{eqnarray*} n-m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n+m+1 \end{eqnarray*}$ gerade sein. Schließlich muss auch noch $\begin{eqnarray*} n-m < n+m+1 \end{eqnarray*}$ sein.

Insgesamt gibt es folgende positiven Teiler von 2000 :

1 , 2 , 4 , 5 , 8 , 10 , 16 , 20 , 25 , 40 , 50 , 80 , 100 , 125 , 200 , 250 , 400 , 500 , 1000 , 2000

Alle Teiler ab 50 fallen weg, da ja $\begin{eqnarray*} n-m < n+m+1 \end{eqnarray*}$ sein muss.

Die Teiler 2 , 4 , 8 , 10 , 20 , 40 fallen auch weg, da hier der andere Faktor $\begin{eqnarray*} n+m+1 = \frac{2000}{n-m} \end{eqnarray*}$ ebenfalls gerade wäre, was mit ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} n,m \end{eqnarray*}$ nicht machbar ist.

Es bleiben also 1 , 5 , 16 , 25 übrig.

Und auch zur zweiten Frage steht schon alles notwendige da:

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} m+1 = \frac{(n+m+1)-(n-m)+1}{2},\quad n = \frac{(n+m+1)+(n-m)-1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Das ist die einfache Auflösung des 2x2-linearen Gleichungssystems

$\begin{eqnarray*} f_1 &=& n-m\\ f_2 &=& n+m+1 \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} f_1,f_2 \end{eqnarray*}$ die beiden Faktoren der Produktzerlegung der 2000 sind. Also bitte mal ein wenig mitdenken!!!

05.11.2010, 15:13

mesutsamuel

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Tabelle - falscher eintrag
hallo AD,

vielen dank für die summenformel -
schön was du hier gerechnet hast. war sehr hilfreich.
es sollten mehr leute solch´ sinn ergebenden eintragungen
unternehmen, dann wäre das internet gleich ein weng angenehmer Freude

aber kann es sein, dass du einen kleinen schreibfehler in der tabelle
hast?

und zwar die zahl in der zweiten zeile für die die var. n lautet wie folgt : 201 und
nicht 202...

lg

mesut

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