Übungen zu Vektorräumen

11.11.2008, 20:23

schmouk

Übungen zu Vektorräumen

Hallo,

ich brauche mal wieder Hilfe. Hier ein paar Überlegungen zu meinen Übungen:

2. Seien U, W Unterräume eines K-Vektorraumes V.
Zeige: Ist $\begin{eqnarray*} U \bigcup W \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von V, so ist $\begin{eqnarray*} U \subseteq W \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} W \subseteq U \end{eqnarray*}$ .

Also ich glaube das ist so, dass per Definition der Nullvektor zum Unterraum gehören muss. Also ist der "minimale" Unterraum von V der UR {0} und der "maximale" Unterraum eben V. Mal so salop ausgedrückt. Klar wenn das so ist, 2 wahr. Aber das reicht ja noch nicht. Vor allem muss ja dann auch folgendes stimmen: Der Unterraum muss ja auch "lückenlos" sein. Aber diese "lücklosigkeit" ist dadurch garantiert, dass V über einen Körper definiert wurde, der ja lückenlos sein muss um Körper zu sein. Richtig?

Aber einen Beweisansatz? Ich hab keinen Schimmer.

_____________________________________________________

Also nochmal eine kleine Zusatzfrage: Wie sieht überhaupt so ein Vektorraum aus. Über die tausend Definition krieg ich grad keine Vorstellung davon.

Aber im Grund ist es doch ich habe einen Körper R und definiere den K-Vektorraum V... nein schon nicht schlüssig.
Das Tripe (V,+,*) ist der Vektorraum und die Operation + ist definiert als V x V -> V und * als *: K x V -> V
Aber welche sind denn die Elemente in V? etwa R^2? Also 2-Tupel mit (a aus R, b aus R) ?

Ja, das müsste es ja sein.

Und die Menge V ist $\begin{eqnarray*} V=\{0,v_1=(v_{11},v_{12},v_{13}),v_2=(v_{21},v_{22},v_{23}),...,v_n=(v_{n1},v_{n2},v_{n3})\} \end{eqnarray*}$ richtig?

Dass man die Vektoren in der Schule so übereinander geschrieben ist nur Form- und wieder Definitionssache!?

Doppelpost zusammengefügt. Verwende bitte den EDIT-Button. mY+

Okay Engel

12.11.2008, 09:36

klarsoweit

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RE: Übungen zu Vektorräumen
Meine Güte, was für ein Chaos. unglücklich

Du fragst, aus welchen Elementen der Vektorraum besteht. Wenn nichts konkretes gesagt wurde, dann kann man das auch nicht im Detail wissen. Das können Elemente aus R² sein. Oder aus R³. Oder aus R^n. Oder der Vektorraum besteht aus der Menge aller Polynomfunktionen. Oder der Vektorraum besteht aus der Menge aller stetigen Funktionen von R --> R. Oder ...

Das einzige, was mit der Angabe "Vektorraum" feststeht, sind gewisse per Definition festgelegte Eigenschaften. Und das sind nicht tausend, sondern allenfalls 2 Handvoll.

12.11.2008, 17:34

schmouk

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Ja, is auch gut so. Also, und ich werde mich bemühen strukturierter zu fragen, ist es nicht so, dass ein Vektor unbedingt ein n-Tupel ist. Oder wird die Funktion auch als eine Art n-Tupel betrachtet?

Zeige: Ist $\begin{eqnarray*} U\bigcup W \end{eqnarray*}$ ein Uterraum von V, so ist $\begin{eqnarray*} U \subseteq W \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} W \subseteq U \end{eqnarray*}$ .

Das ist doch Falsch. W wenn ich zeige, dass ich in V zwei Unterräume habe und es existiert ein $\begin{eqnarray*} w\not\in U \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} u\not\in W \end{eqnarray*}$ , dann habe ich doch gezeigt, dass U keine Teilmenge von W und W keine von U und also auch nicht U=W. Aber: W und U Unterraum von V und auch W vereinigt U ist Unterraum von V.

Oder.

Aufgabe 5 ist da so ein Beispiel für dein Posting:
Sei n aus N.
Beweise, dass die Funktionen sinx, sin2x, sin3x,...,sin nx im R-Vektorraum aller Funktionen R-> R linear unabhängig sind.

Was soll das? Wie kann ein Vektor eine Sinusfunktion sein?

schmouk.

12.11.2008, 17:43

tmo

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Zitat:

Original von schmouk
Das ist doch Falsch. W wenn ich zeige, dass ich in V zwei Unterräume habe und es existiert ein $\begin{eqnarray*} w\not\in U \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} u\not\in W \end{eqnarray*}$ , dann habe ich doch gezeigt, dass U keine Teilmenge von W und W keine von U und also auch nicht U=W. Aber: W und U Unterraum von V und auch W vereinigt U ist Unterraum von V.

Hää? Ich erkenne da keine Begründung warum der Satz falsch sein sollte.

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=380734

12.11.2008, 18:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von schmouk
Was soll das? Wie kann ein Vektor eine Sinusfunktion sein?

Du mußt dich mal davon lösen, daß Vektoren irgendwelche n_Tupel sind. OK, das hat man in der Schule verbockt und jetzt kommt davon nicht mehr weg.

Vektoren können alles mögliche sein. Eben irgendwelche Objekte, die die Vektorraum-Eigenschaften erfüllen. Beispielsweise - ich erwähnte es oben schon - ist die Menge der stetigen Funktionen von R -> R ein Vektorraum. Du kannst es leicht nachprüfen.

12.11.2008, 19:05

schmouk

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In dem Jänich Skript steht auch, es könnten praktisch Kugelschreiber und Elefanten sein, sofern Kugelschreiber und Elefanten die Eigenschaften des ersetzten Elements annehmen.

@tmo:
Fall1: U echte Teilemenge von M
Fall2: U = M
Fall3: M echte Teilmenge von U

Wenn ein u aus U nicht in M: Fall1 und 2 können nicht sein.
Wenn dann auch noch ein m aus M nicht in U, kann auch Fall3 nicht sein.
Das U vereinigt M dennoch UR von V: Warum nicht?

Stimmt doch, oder nicht?

EDIT:

Die Frage ist dann ob noch gilt m+u Element von M vereinigt U.
Aber warum nicht?

12.11.2008, 23:04

tmo

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Was soll den hier M sein? verwirrt

Ich bezweifle, dass du so zum Ziel kommst.

13.11.2008, 10:58

klarsoweit

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RE: Übungen zu Vektorräumen
Bleiben wir doch mal bei den Bezeichnungen U und W. Angenommen es ist $\begin{eqnarray*} U \not\subseteq W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \not\subseteq U \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es ein u aus U, das nicht in W liegt, und ein w aus W, das nicht in U liegt. u und w sind aber in jedem Fall Elemente von $\begin{eqnarray*} U \bigcup W \end{eqnarray*}$ .

Was kannst du nun über u+w sagen?

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