Beweis: IR über IQ überabzählbar unendl. erzeugt

26.08.2006, 18:16

Jen-ny

Beweis: IR über IQ überabzählbar unendl. erzeugt

Hallo

,

ich soll beweisen, daß $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ betrachtet als Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ überabzählbar unendlich erzeugt wird.

Leider weiß ich nicht so recht, wie ich das mache. Ich kann mir das zwar "bildlich" vorstellen:
Seien $\begin{eqnarray*} q_1, q_2 \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann setzt man $\begin{eqnarray*} r_1 = q_1 \cdot v, \quad r_2 = q_2 \cdot v \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ überabählbar gilt: $\begin{eqnarray*} \exists_{r_0 \in \mathbb{R}}: r_1 < r_0 < r_2 \end{eqnarray*}$ .
Aber das scheint mir wenig überzeugend und gerade mal zum Veranschaulichen geeignet.

Ich meine, daß R über Q unendlich erzeugt wird ist schon wegen der irrationalen Zahlen klar. Aber wie zeige ich die Überabzählbarkeit?

LG,
Jenny

26.08.2006, 18:19

Jen-ny

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Es soll natürlich $\begin{eqnarray*} r_1 = q_1 \cdot r, \quad r_2 = q_2 \cdot r \end{eqnarray*}$ heißen. Habe bei v an Vektor gedacht Augenzwinkern

26.08.2006, 18:21

JochenX

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Ich sag jetzt mal ganz frech "ganz einfach".

Allgemeines Grundwissen: Q abzählbar, IR überabzählbar.
Sei jetzt X eine abzählbare Teilmenge von IR. Beweise einfach, dass <X> dann abzählbar bleibt.

Überlege dir mal, wie du das zeigen kannst, da doch <X> die Menge aller (endlichen!) Summen von Elementen der Form q*x (q aus Q, x aus x).

26.08.2006, 19:24

Jen-ny

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Hmm. Also die Idee ist mir schonmal klar Augenzwinkern

Aber das ist wieder so ein Fall der mir anschaulich klar ist, aber formal Schwierigkeiten bereitet.

Annahme: Sei $\begin{eqnarray*} X \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine abzählbare Menge, für welche gilt $\begin{eqnarray*} <X> = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Dann müßte gelten $\begin{eqnarray*} <X> = \{ \sum_{i=0}^{n < \infty} q_i x_i | q \in \mathbb{Q}, x \in X \} = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , also jedes $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist darstellbar als (endliche) Linearkombination der $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ .
Da aber $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ abzählbar ist, ist auch <X> als Summe/Produkt abzählbarer Mengen selbst abzählbar (mit der Cantor-Diagonalisierung erhält man, daß eine Bijektion zwischen <X> und IN existiert). Widerspruch, da $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ überabzählbar.

Irgendwie kommt mir das ein wenig holprig vor.

LG,
Jenny

26.08.2006, 19:36

JochenX

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Die Begründung der Abzählbarkeit würde ich anders machen:
zerlege <X> in abzählbar viele Mengen M0, M1, M2,... usf.
in Mi liegen genau diejenigen Summen die aus n Summanden bestehen.

Natürlich sind die Mi nicht paarweise disjunkt, aber das ist ja egal, weil ja...

Jedes Mi ist abzählbar, weil....., also auch <X>.

Das wäre meine Idee!

14.10.2006, 21:08

m1ra

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RE: Beweis: IR über IQ überabzählbar unendl. erzeugt
Habe gerade das gleiche Problem - wie sieht denn eine Basis für den Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ aus?

14.10.2006, 23:33

JochenX

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RE: Beweis: IR über IQ überabzählbar unendl. erzeugt

Zitat:

Original von m1ra
Habe gerade das gleiche Problem - wie sieht denn eine Basis für den Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ aus?

die kannst du nicht konstruktiv angeben

darum geht es hier ja zum Glück auch nicht

14.10.2006, 23:42

Lazarus

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RE: Beweis: IR über IQ überabzählbar unendl. erzeugt

Zitat:

Original von Jen-ny
[...]
Ich meine, daß R über Q unendlich erzeugt wird ist schon wegen der irrationalen Zahlen klar. Aber wie zeige ich die Überabzählbarkeit?
[...]

Tut mir leid wenn ich so pedantisch bin, aber um genau zu sein liegt die Überabzählbarkeit ja nichtmal an den irrationalen zahlen, sondern lediglich an den Transzendenten Zahlen, da man die Algebraischen noch schön abzählen kann.

15.10.2006, 00:00

JochenX

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RE: Beweis: IR über IQ überabzählbar unendl. erzeugt

Zitat:

Original von Lazarus

Zitat:

Original von Jen-ny
[...]
Ich meine, daß R über Q unendlich erzeugt wird ist schon wegen der irrationalen Zahlen klar. Aber wie zeige ich die Überabzählbarkeit?
[...]

Trotzdem ist auch der algebraische Abschluss von Q in R NICHT endlich (aber abzählbar, aber eben nicht endlich und mehr sagt Jen-ny ja nicht) erzeugt über Q (afaik). Gegenpedantie. smile

Die Aussage ist ansonsten natürlich trotzdem nicht sonderlich ..... da gebe ich dir Recht.

15.10.2006, 00:07

Lazarus

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Ja Jochen.
Ich wollte das nur hinzugefügt haben weil ich irrationale Zahlen und Überabzählbar in einer Zeile gelesen habe Augenzwinkern

Über endlichkeit hab ich aber auch nichts gesagt Teufel

(Oberpedantist)

So nun ists aber auch mal wieder genug Augenzwinkern

schönen Abend wünsch ich dir (und jedem anderen Leser auch Augenzwinkern

) noch !

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