Skalarprodukt mit Legendre Polynomen

Neue Frage »

Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt mit Legendre Polynomen
Hallo,

hier ist eine weitere Aufgabe, zu der ich allerdings noch keinen Ansatz habe verwirrt

Jemand eine Idee ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt mit Legendre Polynomen
Bitte nicht nur Bilder einstellen. Jetzt muss man das abtippen. geschockt Schauen wir uns an, was du zeigen sollst:



Wir können nun ja eine Funktion h als Produkt von f und g definieren. Dann steht da.

(*)

h hat den Maximalgrad



In (*) steht also im Grunde eine Quadraturformel. Welche maximale Ordnung kann so eine Formel haben? Bei Euch dann wohl 2n (ihr beginnt mit 1,...,n).

Nun gilt es wohl noch etwas über die Gewichte b in Erfahrung zu bringen. Die Ordnung einer QF kannst du ja wider mit der MonomBasis testen.

Mehr Ideen habe ich gerade nicht. Schläfer
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas munterer
So, es könnte imho noch einfacher gehen. (Ich wähle meine Bezeichungen.) Schauen wir uns die QF mit den Legenderepolynomen an. Wir wissen, dass sie maximale Ordnung (2n+2) hat, also Polyome vom Maximalgrad 2n+1 exakt integriert werden. Der allg. Ansatz war:



Angepasse auf die Legendre-Polynome ergibt sich:



Die Quadraturformel lautet:



Dabei sind die (n+1) Nullstellen des Legendrepolynoms vom Grad (n+1). Eine Art die Gewichte einer QF zu berechnen war es, das zu den Knoten gehörige Interpolationspolynom zu integrieren. Damit erhilt man eine interpolatorische QF. Dabei ergaben sich die Gewichte als Integrale der Lagrangepolynome:



Die Legendre QF ist von maximaler Ordnung, insbondere interpolatorisch. Somit steht nichts wirklich neues in der Aufgabe. Imho soll ein anderer Blickwinkel gezeigt werden. Wir haben die Legendre-QF. Das Skalaprodukt bzgl. dem die Legendre Polynome senkrecht aufeinander stehen lautet:

(*)

Seien f und g nun Polynome. Dann kann man ein Polynom h wie folgt definieren:



Welchen Maximalgrad hat h?



Für r+s=2n-1 können wir also das Skalarprodukt mit der Legendre-QF berechnen. Nun wollen wir r=s wählen, damit sie aus dem gleichen Raum stammen. Es folgt:





Somit können wir für mittes L-QF das Skalarprodukt (*) berechnen.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für deine (wie so oft) ausführliche Antwort smile

Wenn ich das richtig verstanden habe läuft ja im Prinzip alles auf diesen (auch in der Vorlesung schon behandelten) Zusammenhang hinaus:




beschreibt eine Quadraturformel, die genau dann exakt (und nicht nur annähernd) für alle Polynome vom Grad ist, wenn mit i=1,...,s die Nullstellen des s-ten Orthogonalpolynoms bezüglich des gewichteten L²-Skalarprodukts über (a,b) sind.

Setzt man die Integrationsgrezen entsprechend ein und ersetzt auch f durch das Produkt h zweier Polynome gleichen Grades mit h=f*g (Gewichtsfunktion bei Legendre Polynomen ist immer 1), wobei auch s der ANzahl der Knoten bzw der Anzahl der Nullstellen des Orthogonalpolynoms entspricht, folgt durch deinen geposteten Zusammenhang mit den Ordnungen am Schluss deines Beitrages tatsächlich die Gleichheit des obigen Zusammenhangs.

Habe ich das richtig verstanden ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Würde ich nun mal so meinen. Bin mal gespannt, was dein Prof zum Hintergrund dieser Aufgabe sagt. Also was soll sie uns an neuem Wissen bringen (mein Tipp -> Skalaprodukt mit QF berechnen).

Wink
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde dich auf dem laufenden halten Augenzwinkern
Ich komme morgen erst spät wieder, also werde ich entweder noch nachts oder dann am Freitag die Ergebnisse posten.

Schönen Abend bzw gute Nacht Wink
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Super. Danke. Und so langsam kann es "gute Nacht" heißen Big Laugh

Wink
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

So, bin heute doch nochmal vor dem Training nach Hause gekommen, also schreib ich jetzt schonmal etwas zur Besprechung der AUfgabe:

Ich kam leider auch etwas zu spät (den Bahnen sei Dank) aber was ich noch so mitbekommen bzw mitgeschrieben habe deckt sich größten Teils mit dem was wir bzw du hier erarbeitet hast.

Der Professor meinte es gäbe hier zwei Herangehensweisen, er will aber nur die kürze - also die auch hier geschilderte - Vorgehensweise erläutern.
Bei der anderen Methode sprach er Transfomationen an, was die Sache aber recht kompliziert machen würde. Viel mehr wurde dazu nicht gesagt.

Wieviele Punkte das dann im Endeffekt gibt werde ich dann nächste Woche noch editieren smile

Vielen Dank jedenfalls bis dahin Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Freut mich zu hören!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »