Abbildung der Potenzmengen einer Funktion, Injektivität/Surjektivität

12.11.2008, 07:47

rajsato

Abbildung der Potenzmengen einer Funktion, Injektivität/Surjektivität

Es seien A,B Mengen und f:A-->B eine Abbildung. Wir betrachten die Abbildung g:P(B)-->P(A), N --> f^-1(N)

Zeigen Sie:

Es ist f genau dann injektiv, wenn g surjektiv ist.

Dabei soll P für die Potenzmenge stehen.

Wie gehe ich hier vor?

12.11.2008, 07:50

rajsato

Auf diesen Beitrag antworten »

Also was ich auf jeden Fall weiss ist, dass wenn die komplette Potenzmenge von A durch die Surjektion getroffen wird, müssen insbesondere alle a aus A im Urbildbereich von P(B) liegen (da für alle a gilt: {a} Teilmenge von P(A) Sonst hab ich noch nicht recht den Durchblick

12.11.2008, 10:12

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Schauen wir uns mal eine Richtung an:
- g sei jetzt surjektiv und wir wollen zeigen, dass f injektiv ist
- Dazu seien wie immer $\begin{eqnarray*} x,y\in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y)=:\alpha \end{eqnarray*}$ und wir wollen zeigen, dass daraus x=y folgt.
- wie Du bereits bemerktest ist $\begin{eqnarray*} \{x\}\in \mathcal{P}(A) \end{eqnarray*}$ (Element, nicht Teilmenge!)
- Laut Surjektivität von g, gibt es nun ein $\begin{eqnarray*} U\in \mathcal{P}(B) \end{eqnarray*}$ (, also $\begin{eqnarray*} U\subseteq{}B \end{eqnarray*}$ ), mit $\begin{eqnarray*} g(U)=\{x\} \end{eqnarray*}$

Mit dem was oben steht und der Definition von g müsstest Du jetzt x=y zeigen können

12.11.2008, 11:52

rajsato

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal! Ich seh nur noch nicht so recht wie ich jetzt die 'Ausgangsfunktion' f da reingebastelt bekomme.
Also hinbekommen habe ich wohl schonmal das $\begin{eqnarray*} u_1 = \alpha = u_2 \end{eqnarray*}$ habe jetzt aber noch nicht den Durchblick wie mich das weiterbringen soll.

12.11.2008, 12:10

rajsato

Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

Ich mache folgendes:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(u_1)={x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(u_2)={y} \end{eqnarray*}$

Darauf wende ich jeweils die Funktion f an und erhalte mit der Definition von Alpha

$\begin{eqnarray*} u_1 = \alpha = u_2 \end{eqnarray*}$ (*)

Da kommt die erste Frage: Darf ich überhaupt annehmen dass

$\begin{eqnarray*} f({x})=f({y}) \end{eqnarray*}$ ,

wenn gegeben dass

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$

Wenn also (*) gelten würde, könnte man die u jeweils wieder in f^-1 einsetzen und bekäme

$\begin{eqnarray*} {x}={y} \end{eqnarray*}$ Was nach Extensionaltiätsaxiom gleichbedeutend wäre zu x=y.

edit: Bei den ersten beiden und dem viertem Ausdruck sollten jeweils geschweifte Klammern um x und y sein.

12.11.2008, 12:25

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von rajsato
Ich mache folgendes:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(u_1)=\{x\} \end{eqnarray*}$ (geschweifte Klammern mit \{)
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(u_2)=\{y\} \end{eqnarray*}$

Was wird das und woher kommen die $\begin{eqnarray*} u_i \end{eqnarray*}$ ? Das ist nicht nachvollziehbar.

Du hast $\begin{eqnarray*} g(U)=\{x\} \end{eqnarray*}$ , also per Definition von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \{x\}=g(U)=f^-(U) \end{eqnarray*}$

Wenn Du nun zeigen kannst, dass y in $\begin{eqnarray*} f^-(U) \end{eqnarray*}$ liegt, bist Du fertig.

PS: $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ gibt es hier nicht! Mache Dich zuerst mit dem Unterschied zwischen Umkehrfunktion und Urbild vertraut!
(Insofern ist auch die Definition von g falsch. Richtig ist $\begin{eqnarray*} g:N \rightarrow f^-(N) \end{eqnarray*}$ )

12.11.2008, 12:55

rajsato

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich checks nicht :-( Irgendwie fehlt mir da das f für Injektivität das müsste doch irgendwo vorkommen?

14.11.2008, 14:18

rajsato

Auf diesen Beitrag antworten »

Habt ihr mich schon aufgegeben :-/?

14.11.2008, 14:36

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Reksilat
Schauen wir uns mal eine Richtung an:
- g sei jetzt surjektiv und wir wollen zeigen, dass f injektiv ist
- Dazu seien wie immer $\begin{eqnarray*} x,y\in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y)=:\alpha \end{eqnarray*}$ und wir wollen zeigen, dass daraus x=y folgt.
- wie Du bereits bemerktest ist $\begin{eqnarray*} \{x\}\in \mathcal{P}(A) \end{eqnarray*}$ (Element, nicht Teilmenge!)
- Laut Surjektivität von g, gibt es nun ein $\begin{eqnarray*} U\in \mathcal{P}(B) \end{eqnarray*}$ (, also $\begin{eqnarray*} U\subseteq{}B \end{eqnarray*}$ ), mit $\begin{eqnarray*} g(U)=\{x\} \end{eqnarray*}$

Mit dem was oben steht und der Definition von g müsstest Du jetzt x=y zeigen können

Hier gibt Dich keiner auf, aber ich zum Beispiel erwarte hier, dass Du Dich mit dem beschäftigst, was ich schreibe. Das ist bisher nicht ersichtlich.

14.11.2008, 20:48

rajsato

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay dann erstmal die grundlegende Frage:

Kann ich sagen das $\begin{eqnarray*} f^-1(x)=f^-1([x]) \end{eqnarray*}$ ?

Statt der eckigen sollten da geschweifte Klammern stehen.

Also ist es ein Unterschied ob ich die Urbildmenge des Elementes x habe oder die Urbildmenge der Menge die das Element x enthält? Also rein intuitiv ist es ja klar, nur man sagt ja auch x != {x}.

14.11.2008, 21:04

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Also $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ schreibt sich f^{-1}, geschweifte Klammern schreibt man mit \{ und \}.

Weiter: Von $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ zu sprechen ist nur dann sinnvoll, wenn es eine Umkehrfunktion gibt und diese existiert hier nunmal nicht. Die Urbildmenge schreibt sich $\begin{eqnarray*} f^-(\{x\}) \end{eqnarray*}$ und wenn Du $\begin{eqnarray*} f^-(x) \end{eqnarray*}$ schreiben möchtest ist das imho auch kein Problem, solange man weiß, was gemeint ist.

14.11.2008, 21:42

rajsato

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wenn Du nun zeigen kannst, dass y in u liegt, bist Du fertig.

Also:

Seien $\begin{eqnarray*} a_1, a_2 \in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\{a_1\})=f(\{a_2\}) \end{eqnarray*}$

Wir wissen { $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ } $\begin{eqnarray*} \in \mathcal P(A) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \exists u \in \mathcal P(B): g(u)={a_1} \end{eqnarray*}$

Das bedeutet also, dass {a1} im Urbildbereich von u liegt. Was aber wiederrum bedeutet das {a1} auf u abgebildet wird. Dann wird nach Annahme auch {a2} auf u abgebildet (ich nehme mal an die Frage von eben macht keinen Unterschied). Hilft mir das jetzt irgendwie weiter?

14.11.2008, 21:50

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Reksilat
- g sei jetzt surjektiv und wir wollen zeigen, dass f injektiv ist
- Dazu seien wie immer $\begin{eqnarray*} x,y\in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ und wir wollen zeigen, dass daraus x=y folgt.
- wie Du bereits bemerktest ist $\begin{eqnarray*} \{x\}\in \mathcal{P}(A) \end{eqnarray*}$ (Element, nicht Teilmenge!)
- Laut Surjektivität von g, gibt es nun ein $\begin{eqnarray*} U\in \mathcal{P}(B) \end{eqnarray*}$ (, also $\begin{eqnarray*} U\subseteq{}B \end{eqnarray*}$ ), mit $\begin{eqnarray*} g(U)=\{x\} \end{eqnarray*}$
- Du hast $\begin{eqnarray*} g(U)=\{x\} \end{eqnarray*}$ , also per Definition von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \{x\}=g(U)=f^-(U) \end{eqnarray*}$

Wenn Du nun zeigen kannst, dass y in $\begin{eqnarray*} f^-(U) \end{eqnarray*}$ liegt, bist Du fertig.

Es ist Dir wohl piepegal was ich schreibe? Es gibt drei Möglichkeiten:
a) Du schaust Dir an, was ich schreibe und versuchst damit zu arbeiten
b) Du verstehst nicht was ich schreibe und sagst wo im einzelnen die Probleme liegen
c) Du machst weiter wie bisher und ich klinke mich aus

14.11.2008, 22:07

rajsato

Auf diesen Beitrag antworten »

So also ich glaube ich habe schonmal mein erstes Problem gelöst: Ich war verwirrt, weil ich dachte die Urbildmenge von U könnte ja auch mehr als ein Objekt enthalten, hatte aber nicht dran gedacht das g ja nur auf ein Element abbilden darf, also die Urbildmenge von U nur das eine Element enthält. Ich überleg dann eben noch weiter mal sehen ob ich jetzt mal drauf komme.

Also rein logisch ist es ja klar.

Wegen $\begin{eqnarray*} \{x\} = f^-(U) \end{eqnarray*}$ weiss ich ja gleichzeitig, dass x auf U abbildet. Und nach Annahme f(x)=f(y) bildet ja dann auch y auf U ab. Ist das so richtig und wenn ja wie drück ich das mathematisch aus? Und noch ein Problem ist das ich ganz zum Schluss raushabe {x}={y} nicht x=y.

14.11.2008, 22:46

rajsato

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche hier übrigens die Hinweise zu verwerten ;-)

Neue Frage »

Antworten »

Abbildung der Potenzmengen einer Funktion, Injektivität/Surjektivität

Verwandte Themen