Kurvendiskussion einer Trigonometriefunktion |
| 02.06.2004, 13:59 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Kurvendiskussion einer Trigonometriefunktion Für reelle x sei 1. Bestimmen Sie die Monotoniebereiche von f und die Hoch-, Tief- und Sattelpunkte des Graphen. Welche Symmetrieeigenschaft hat der Graph?? 2. Die unendlich vielen Hoch-, und Tiefpunkte vom Graphen liegen je auf Parabeln, die spiegelbildlich zur x-Achse liegen. Welche Gleichungen haben die beiden Parabeln? 3. Wie kann man aus dem Bisherigen schließen, dass f keine globalen Extrema hat? Also bei 1. ist ein Problem. Ich hab Achsensymmetrie zur y-Achse festgestellt, das is klar. Die Extrema sind auch einfach, aber bei den Wendepunkten komm ich noch nich weiter. Am besten mal mein Ansatz für die Ableitungen: Kandidaten: und Bei 0 is eine Extremstelle (habe ich mit Überprüfen des Vorzeichens der Umgebeung (oder wie das heißt) rausbekommen, folgt aber auch aus Achsensymmetrie). Aber wie ihr seht, bei den anderen Wendepunkten komme ich nicht weiter. Und die Monotoniebereiche sind ja mit den Extrema klar. Aber wie schreib ich das auf (, denn sie wechselt ja unendlich oft)? Zu 2. Warum sollen die Parabeln symmetrisch zur x-Achse sein? Müssten sie nicht symmetrisch zur y-Achse sein?? Das folgt doch daraus, dass der Graph selbst symmetrisch zur y-Achse ist oder? Ihr könnt euch dazu auch mal mit dem Funktionsplotter die Funktion im Intervall von -100 bis 100 zeichnen lassen, dann sieht man das. Leider kann ich das mit Intervallen noch nicht einfügen. (PS: Wie geht das?) Zu 3. komme ich dann nachdem sich hoffentlich 2. geklärt hat. Danke für alle Tipps! 
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| 02.06.2004, 14:19 | m00xi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier mal ein Bild der Kurve, vielleicht hilft das und schafft ein paar Antworten. |
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| 02.06.2004, 14:32 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab mal gerechnet: Die Tiefpunkte sind (0 | 2), (2k*pi | 2-(2k)^2*pi^2) Die Hochpunkte sind ((2k+1)*pi | - 2 + (2k+1)^2*pi^2). Daran sieht man schon, dass die entstehenden Parabeln symmetrisch zur y-Achse sind. Also war das mit dem "x-Achse" bestimmt nur ein Tippfehler. EDIT: Hab einen Vorzeichenfehler gehabt bzw. ein Minus nicht abgetippt. Ist aber nun korrigiert. |
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| 02.06.2004, 14:43 | m00xi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das habe ich auch noch rausbekommen, aber mein geringes Wissen reicht irgendwie nicht aus, um daraus jetzt die Parameter für die allgemein Parabelform herzuleiten 
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| 02.06.2004, 14:45 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaube nicht, dass das mit der x-Achse ein Tippfehler ist. Schaut man sich den Graphen, den m00xi geplottet hat, an, sieht man, dass die Extrema im positiven x-Bereich eine Parabel symmetrisch zur x-Achse bilden und dasselbe im negativen x-Bereich. Diese 2 Parablen sind dann zueinander symmetrisch bzgl. y-Achse. 
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| 02.06.2004, 14:49 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach so ist das gemeint. Ja das klingt logisch. Es ist also nicht die Symmetrie der Parabeln gemeint, sondern nur dass -(eineParabel) = (andereParabel). Und das kommt auch raus: Parabel fuer die Hochpunkte: y = x^2 - 2 Parabel fuer die Tiefpunkte: y = -x^2 + 2 |
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| 02.06.2004, 14:51 | m00xi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm das verstehe ich nicht so recht. Klar, jede Parabel der beiden ist symmetrich zur Y-Achse, die Parabeln untereinander allerdings nicht, auch wenn es den Anschein machen könnte. Ich halte es deshalb auch für einen Tippfehler. |
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| 02.06.2004, 14:53 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt hab ich mich doch eher durch MSS Erklaerungen im Starterposting verwirren lassen. Die Aufgabenstellung ist ansich naemlich recht eindeutig formuliert. Da wird nie etwas von Symmetrie gesagt, sondern dass die 2 Parabeln Spiegelbilder bzgl. der x-Achse voneinander sind. .oO(Ich sollte mal wieder lesen ueben) |
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| 02.06.2004, 14:56 | m00xi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, jetzt ist es mir auch klar. Wie errechnet man denn anhand einiger vorgegebener Punkte die Parameter der Parabelform? Einfach durch Lösen eines LGS oder geht das auch irgendwie eleganter? |
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| 02.06.2004, 15:07 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, was ist denn der Unterschied zwischen Symmetrie und spiegelbildlich?? @m00xi Wenn du weißt, wie du die Parabeln herleitest, bitte nicht posten, ich wills selbst rausbekommen. Dazu ne Frage: Kann man jetzt zu zwei Punkten einfach die Funktionswerte ausrechnen und dann aus den zwei Punkten die Parabelgleichung bestimmen?? Wär für mich nicht "allgemein" genug, also ich mein, ich finde, es ist ne komische Methode. Kann man da nicht einfach irgendwie die Hochpunkte und ne Gleichung der Form y = ax² + c gleichsetzen um die Parabelgleichung rauszubekommen?? Und warum sollen das denn verschobene bzw. gespiegelte Normalparabeln sein? edit: @Irrlicht Hast du da nicht nen Vorzeichenfehler bei den Funktionswerten für die Hochpunkte?? 2nd edit ( 
): Ok, is schon korrigiert. Übrigens wart ihr mir grad ein wenig schnell. Ich wollte anfangen das mit dem Vorzeichenfehler zu schreiben, war auch schon fast fertig und dann warens auf einmal 6 neue Beiträge. :P |
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| 02.06.2004, 15:09 | m00xi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@MSS: genau das Frage ich mich auch grad, ich finds auch ziemlich unorthodox und bescheuert das so zu machen, mit dem Einsetzen, zumal es bei mir irgendwie nicht funktioniert :-) Hanno an Irrlicht, bitte um Hilfe 
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| 02.06.2004, 15:14 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich erklaers in der allgemeinsten Form. Fuer die Hochpunkte bekommen wir die Koordinaten (x(k) | y(k)) raus. Damit will ich die Abhaengigkeit der Koordinaten vom k-Wert ausdruecken. Die Kurve, auf der die Punkte liegt, errechnet sich nun, indem man x = x(k) nach k aufloest und in y = y(k) einsetzt. Man erhaelt y in Abhaengigkeit von x: y = y(x). In unserem Fall ist das besonders einfach, weil 2k*pi und (2k+1)*pi in den y-Koordinaten direkt vorkommen und man gleich Einsetzen kann. |
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| 02.06.2004, 15:35 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin irgendwie grad dabei, genau über dieses System nachzudenken, da ich sowas noch nich gehört hab, glaube ich zumindest. Bei den Hochpunkten komme ich übrigens noch nicht auf die Parabel.
Wenn du dir den Graph mal genauer ansiehst, dann siehst du, dass das nicht sein kann, denn deine Parabel wäre "nach oben hin" rechtsgekrümmt, während die Hochpunkte in die gleiche Richtung linksgekrümmt sind. |
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| 02.06.2004, 15:39 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@MSS: Danke für den Hinweis. Habe mich verschaut und schon anhand unzähliger Versuche eine Parabel der Form x = ay²+b zu erstellen, dieses erkannt. 
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| 02.06.2004, 16:17 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das habe ich, bevor ich das hier gepostet habe, auch versucht. Wenn es diese gegeben hätte, dann hätte man da auch folgendermaßen drauf kommen können: Berechne zu zwei Extrempunkten die x- und y-Werte. Mit zwei Punkten kann man eine Gleichung einer Parabel der Form x=ay²+b herleiten. Aber in diesem Fall geht das ja sowieso nicht. @Irrlicht Das müsste doch auch bei den Parabeln gehen, die wie jetzt haben oder?? |
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| 02.06.2004, 16:19 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Ich hab die beiden Parabeln oben gepostet. Ihr solltet auf dasselbe kommen. Wenn nicht, hat sich einer von uns verrechnet. (Ich lass es zur Sicherheit auch nochmal SirJective rechnen
) |
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| 02.06.2004, 16:35 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nene, nicht nötig, bin jetzt auch drauf gekommen. Na dann nochmal zurück zum Anfang *g*
Da komm ich, wie gesagt, nicht weiter. Ich bin mir zwar ziemlich sicher bei den Ableitungen, aber es kann ja jemand das nochmal überprüfen.
Wie heißt denn das eigentlich? Und wie hätte ich denn mit dem Funktionsplotter vom Matheboard einen Graphen mit einem angegeben Intervall einfügen können?? Ich weiß, dass das geht, ich habs nämlich schonmal irgendwo bei jemandem gelesen. |
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| 02.06.2004, 17:07 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
soo: (plot=xBeginn:xEnde,yBeginn:yEnde)Funktion(/plot) Beispiel: (plot=0:1,-1:1)x*x-0.5(/plot) runde Klammern durch eckige[] ersetzen ausgeführt:
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| 02.06.2004, 17:08 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es freut mich, daß meine Aufgabe hier so Anklang findet (wenn ich mich einmal ganz unbescheiden als Autor outen darf). Aber in der Aufgabenstellung habe ich bewußt nicht verlangt, die Wendepunkte zu bestimmen, weil das auf rechnerische Schwierigkeiten stößt. Wenn man es denn doch tun wollte, führt eine leichte Umformung (abgesehen vom Faktor x) auf die Gleichung tan x = -½·x. Also könnte man die x-Werte graphisch bestimmen, indem man den Tangens-Graphen mit der Geraden y = -½·x schneidet. Andernfalls bleibt nur ein Näherungsverfahren, z.B. das Newton-Verfahren, übrig. |
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| 02.06.2004, 17:37 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Leopold Stimmt, habe Sattelpunkte als Wendepunkte gelesen. Nach Sattelpunkten hast du aber trotzdem gefragt, auch wenn es die nicht gibt, war wohl die Falle für f'(0)=0 und f''(0)=0 *g*. Hättest du denn für das Aufstellen der Parabel mithilfe des Berechnens zweier Punkte und anschließendem Gleichungssystem auch alle Punkte gegeben? *g* PS: Übrigens, ich war mir fast sicher, dass du mir die Aufgaben geschickt hast, ich hatte es auch schonmal rausbekommen, weiß nur nicht mehr wie. edit: Jetzt kann ich auch zu 3. kommen: Also ich hab mir erstmal überlegt, die liegen ja aller auf der Parabel, die geht ins Unendliche (1). Die x-Werte der Extrempunkte sind ja pi*k, wobei k eine ganze Zahl ist. D.h. aber wenn x gegen unendlich geht, gibt es auch immer weiter Extrempunkte. Aus (1) folgt dann, dass es keine globalen Extrema gibt, da auch die y-Werte der Extrempunkte mit x gegen unendlich immer größer werden. Is vielleicht ein wenig schlecht ausformuliert, aber kann man das so gelten lassen? |
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| 02.06.2004, 17:43 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also daß Schüler überall Fallen vermuten! Und diese Aufgabe würde ich niemals in einer Klausur stellen. Ist für den Normalbegabten viel zu schwer (vor allem für mich als Korrektor im nachhinein eine Qual!). |
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| 02.06.2004, 17:56 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hättest du denn trotzdem alle Punkte gegeben, wenn es eine Aufgabe gewesen wäre? Und die dritte Aufgabe ist ja voll gemein
. Da gibts 1 irrationale Extremstelle und einen irrationalen Wendepunkt! Kann man 11.te Klasse schon ein Näherungsverfahren?edit: Übrigens hast du geschrieben, dass man auf tan x= -(1/2)x kommt, ich dachte, du meinst die ganze Funktion der 2. Ableitung und nicht nur die gleich 0 gesetzte, was ja eigentlich sinnlos ist, da ja das f''(x) weg ist, aber egal. PS: Wie machst du den Bruch ohne Mimetex?? |
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| 03.06.2004, 15:12 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
zu 2 ... , die spiegelbildlich zur x-Achse liegen. Welche Gleichungen haben die beiden Parabeln? arbeitet der Plotter falsch, oder was ist das ... ?? |
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| 03.06.2004, 15:33 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
*g* Entweder das oder ich arbeite falsch, wuerde ich sagen.
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| 03.06.2004, 16:09 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso soll der Plotter falsch arbeiten?? Is da irgendwas nich in Ordnung?? |
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| 03.06.2004, 16:12 | m00xi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm ich habe das mit den Parabelerrechnungen noch nicht begriffen irgendwie :-/ |
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| 03.06.2004, 16:17 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meinst du das?? Warum das klappt, is mir klar, denn du hast ja x-Werte für die Hochpunkte (in einer Gleichung). Die stellst du nach k um und dann setzt du das in die allgemeine Formel für die Hochpunkte, die ja für alle Hochpunkte gilt, ein. Somit bekommst du eine Funktion, die alle diese Punkte enthält und das kann nur die eine sein, da du ja unendlich viele Punkte hast (auch wenn du nur zwei hättest und du würdest das so allgemein machen, ginge es). Hast du das so einigermaßen verstanden? |
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| 03.06.2004, 16:28 | m00xi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also: Was mir klar ist, ist, dass die Hochpunkte auf jedem Punkt (x|y(x)) für liegen und die Tiefpunkte bei So, das kann ich nun nach k auflösen, ist ja kein Problem. Und nun? Jetzt soll ich das in y(k) einsetzen. y(k) ist deine Gleichung von ganz zu Beginn oder irgendeine Parabelfunktion? Ich blicke da noch nicht durch. Danke für deine Hilfe |
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| 03.06.2004, 16:42 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na ja, nach dem Plot liegen die doch sichtbar nicht alle auf zwei verschiedenen Parabeln ... ?? . |
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| 03.06.2004, 17:22 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Poff Bei Maple liegen sie auf genau 2 Parabeln. Ich wuerde sagen, der Plotter ist ein wenig ungenau. Aber das macht ja nicht viel, schliesslich sollen Bildchen nur veranschaulichen und nichts beweisen.
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| 03.06.2004, 17:38 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
'Gut', das wollte ich hören ... Natürlich nicht wirklich gut, denn soo schlimm dürfte das NICHT ausfallen, da sind ja richtige Unterschwingungen zu sehen und bei größeren Auflösungen stimmts nämlich AUCH nicht ... sonst habe ich mich NICHT um dieses Sache gekümmert nichts berechnet, auch nichts Berechnetes angeschaut, sondern nur geplottet, wollte mal sehen wie sich das hier macht ... :-oo
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| 03.06.2004, 22:10 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
y(k) sind die y-Werte der Hoch- und Tiefpunkte und die errechnen sich, indem man für x in die Funktionsgleichung 2*pi*k bzw. (2*k+1)*pi einsetzt.
Verstanden?? |
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