Vereinigungsmenge

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energyfull Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigungsmenge
hallo ihr lieben,

könntet ihr mir einen beispiel geben ob ein vektorraum die vereinigungsmenge von zwei echten untervektorräumen sein kann.

und ob es ein vektorraum gibt, der die vereinigungsmenge von drei echten untervektorräumen ist??


damit ich mir das veranschaulichen kann
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Man hat zb. dass die direkte Summe seiner beiden Koordinatenachsen ist.
In dem Sinne ist das schon die Vereinigung davon.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber das problem ist das ich das mathematisch zeigen möchte, wie kann ich das machen
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn die direkte Summe definiert?
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

he wie jetzt


--- Doppelpost zusammengefügt! (DS) ---

Wenn alle Elemente des Unterraums U1 im Unterraum U2 liegen, ergibt die Vereinigungsmenge U2, also einen Untervektorraum


ist das die bedingung für die vereinigung von zwei echten vektoren,

wenn ja wie könnte man das beweisen
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie scheint diese Frage in Mode gekommen zu sein. verwirrt

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=380734
 
 
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

ein vektorraum die vereinigungsmenge von zwei echten untervektorräumen sein kann



ist das jetzt auch hierauf bezogen
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Les dir den Thread doch durch, dann beantwortet sich das von alleine.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe mir das durchgelesen und versucht zu verstehen, wie soll man den beweis denn jetzt weiterführen,


--- Doppelpost zusammengefügt! (DS) ---

so habe das jetzt mit der vereinigungsmenge von zwei untervektorräumen verstanden, also es gibt keinen vektorraum der die vereinigungsmenge von zwei untervektorräumen ist


aber wie schaut es denn mit drei untervektorräumen aus, gibt es einen vektorraum der die vereinigungsmenge von drei untervektorräumen ist.

ich vermute ja, aber ich kann keinen beispiel dafür angeben oder einen beweis führen und bitte deshalb um tipps
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst auch beliebig viele haben:
Nimm mit einer Basis . Dann ist sicher für jedes Basisvektor [also der Span des Vektors ] ein Untervektorraum von .

Dann hat man


Der Beweis ist aber ziemlich trivial, nur bischen die Definition der direkten Summe aufschreiben.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin irgendwie verwirrt, wir sagen das ein vektorraum nicht die vereinigungsmnege von zwei untervektorräumen sein kann


aber jetzt sagen wir es gibt ein vektorraum, der die vereinigungsmenge von drei untervektorräumen ist

das verwirrt mich jetzt
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest präziser sein:

Meinst du die Vereinigung im Sinne der Mengentheorie oder die direkte Summe?
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

die aufagbe lautet:

wir bezeichnen einen Untervektorraum U C V (teilmenge) als echten Untervektorraum falls U V

gibt es einen vektorraum, der die vereinigungsmenge von drei echten untervektorräumen ist???
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Das beantwortet meine Frage nicht.
Das Wort "Vereinigung" bezeichnet eher die mengentheoretische Vereinigung.
Falls dies gemeint ist, dann lautet die Frage ob es einen Vektorraum gibt der die Vereinugungsmenge von drei Mengen ist, wobei jeweils ein Untervektorraum von sein soll.
Das heisst es ist gefragt, ob man ein Vektorraum so finden kann, dass .

Ist aber die direkte Summe gemeint, dann lautet die Frage ob man einen Vektorraum finden kann so, dass mit auch hier wieder Untervektorräume von .

Im ersten Fall würde ich mal vermuten, dass die Antwort nein ist, im letzten ist die Antwort aber klar ja.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe mir das auch so änlich überlegt

also V=

dann habe ich angenommen:

c ist keine teilmenge von aber widrrum ist das auch keine teilmeneg von c

c ist in aber nicht in

dann haben wir noch ein x das in ist aber nicht in

dann ist x+c in

wenn x+c in U3 ist, dann gilt:
(c+x)-c=x
also x in U3 ist dann ein widerspruch

gilt jetzt U1 ist teilmenge von U2 oder U2 ist teilmenge von U3

also kann man sagen das es einen vektorraum gibt, der die vereinigungsmenge von 3 untervektorräumen ist
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Also das was du schreibst verstehe ich nicht.

Versuch es doch erstmal intuitiv zu überlegen:
Nehmen wir mal und die Unterräume
, und , wobei Basisvektoren von sind.
Dann ist die Menge gegeben durch
, also genau die erste Koordinatenachse.
Ähnlich ist die Menge genau die zweite Koordinatenachse.
Das heisst ist die Menge aller Punkte in so, dass der Punkt auf einer der beiden Koordinatenachsen liegt.
Insbesondere ist jeder Punkt , der nicht auf den Koordinatenachsen liegt, nicht in der Vereinigung enthalten.

Im wäre zb. eine Koordinatenachse und eine Ebene durch den Ursprung.
Auch dann liegt keiner der Punkte, der nicht gerade in der Ebene oder auf der Koordinatenachse liegt, in der Vereinigung.

Diese Idee kannst du nun auf den allgemeinen Fall übertragen. Nutze dazu, dass man in jedem Vektorraum eine Basis wählen kann.
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