Untervektorräume von Polynomen

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TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorräume von Polynomen
Hallo alle miteinander! Ich soll Folgendes zeigen:

Durch die folgenden Bedingungen an Polynome werden Untervektorräume von definiert:

1) p(0)=0
2) p(2x)=4p(x)
3) p(-x)=p(x)
4) p(-x)=-p(x)

Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorräume von Polynomen
Betrachte jeweils den Raum der Polynome, die die aufgeführte Eigenschaft besitzen. Zeige dann, daß es sich um einen Untervektorraum handelt.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du es mir an einem Beispiel erklären?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorräume von Polynomen
Wo ist denn das Problem? Was muß man denn bei einem Untervektorraum zeigen?
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Dass alle Linearkombinationen von Vektoren in diesem Raum auch wieder im selben Raum enthalten sind.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Das läßt sich in 2 Bedingungen zusammenfassen:

1) u, v Element von U ==> u + v Element von U

2) lambda aus K, u Element von U ==> lambda * u Element von U

Dann fange mal mit dem Raum der Polynome, wo p(0) = 0 ist, an.
 
 
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich zwei Polynome, die jeweils keine additive Konstante haben, zusammenzähle, hat dieses Polynom auch keine additive Konstante und erfüllt somit die Bedingung. Und die Multiplikation wirkt sich ja nur auf die Koeffizienten aus. Aber ich weiß nicht, wie ich das hinschreiben soll.

















klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich genau so, wie du es gesagt hast:

Seien u und v 2 Polynome aus U. Dann gilt: (u+v)(0) = u(0) + v(0) = 0 + 0 = 0
Also ist u+v auch Element von U.

Analog kannst das schreiben für lambda * u.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, wenn es natürlich auch kürzer geht Big Laugh



Bei 2) dann:





So, oder wie?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TommyAngelo




Einen kleinen Schritt hast du vergessen:



TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Reicht das aus, oder soll ich noch zeigen, für welche Polynome dies gilt? Im zweiten Fall gilt es ja nur für Polynome der Form ax².

Wenn ich mir die Aufgabenstellung durchlese, steht ja da: Durch die folgenden Bedingungen... definiert

Wahrscheinlich reicht das dann aus, ok danke

Kann man im letzten Schritt noch folgendes machen:

?

Ich bin mir mit der Vorgehensweise noch nicht ganz im Klaren. Könntest du mir vielleicht ein Gegenbeispiel zeigen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TommyAngelo
Wahrscheinlich reicht das dann aus, ok danke

Ja.

Zitat:
Original von TommyAngelo
Kann man im letzten Schritt noch folgendes machen:

?

Nicht nötig. Es ist zu zeigen, daß ist. Und das war gemacht.

Zitat:
Original von TommyAngelo
Ich bin mir mit der Vorgehensweise noch nicht ganz im Klaren. Könntest du mir vielleicht ein Gegenbeispiel zeigen?

Nimm Polynome mit der Eigenschaft p(0)=1. smile
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, alles klar, vielen Dank
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