Isomorphismus

13.11.2008, 18:04

belllaaa

Isomorphismus

Hallo ich hoffe Ihr könnt mir bei der Aufgabe weiterhelfen...

Gegeben seien die Gruppen G = (R\{-1},*) mit der Verknüpfung x*y := xy+x+y und
H = (R\{0}, *).
Hier soll man einen Isomorphismus phi: G -> H angeben...

traurig

13.11.2008, 18:27

tigerbine

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RE: Isomorphismus
bei H das gleiche *? oder ein anderes?

Wie sehen bei den Gruppen neutrales und Inverse elemente aus?

13.11.2008, 18:31

belllaaa

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RE: Isomorphismus
Heyyy bei H ist es ein mal-zeichen...

13.11.2008, 18:32

tigerbine

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RE: Isomorphismus
Also "normale" Multiplikation.?

Zitat:

Wie sehen bei den Gruppen neutrales und Inverse elemente aus?

13.11.2008, 18:43

belllaaa

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jaa normale Multiplikation...

13.11.2008, 18:48

tigerbine

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RE: Isomorphismus

Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Wie sehen bei den Gruppen neutrales und Inverse elemente aus?

13.11.2008, 20:39

Reksilat

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RE: Isomorphismus
@tigerbine: Ich weiß es! smile

@belllaaa: Ich glaube Du musst erstmal zeigen, dass Du Dir auch Gedanken gemacht hast.
(Und bitte die Tastatur immer nur ganz kurz antipppppen)

13.11.2008, 20:40

belllaaa

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RE: Isomorphismus
das neutrale element ist 0,aber inverses element weiß ich jetzt nicht genau...

13.11.2008, 20:48

tigerbine

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RE: Isomorphismus
Bei wem? Bei Gruppe 2 ist das doch gar nicht drinnen. isomorphismen sind strukturerhaltene Abbildungen. Und bevor wir eine aufstellen, sollten wir eben erstmal die Struktur kennen.

Reksilat? Alkohol? verwirrt

13.11.2008, 21:52

Reksilat

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RE: Isomorphismus
@belllllllaaaaaaaaaa:
Ich hoffe mal, dass Du die Struktur von H kennst und beziehe mich auf G:
Sei $\begin{eqnarray*} y\in G \end{eqnarray*}$ , also z.B y=5. Womit muss ich y "multiplizieren" um auf das neutrale Element (wie Du schon richtig erkanntest: 0) zu kommen? Also 5*x=5x+5+x = 0 => x=?
Nun versuchen wir das ganze auf die Allgemeinheit anzuwenden und erhalten zu jedem Element in G ein Inverses.

Wenn Du das geschafft hast bleibt noch ein weiteres Gruppenaxiom nachzuprüfen.

@tigerbine: Scotch - und nur der beste! Wusste nicht das Alkohol im Board verboten ist. Big Laugh

13.11.2008, 21:55

tigerbine

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RE: Isomorphismus
Lol. Ne alk ist nicht verboten. Kannte den aber nicht Prost

G haben wir hier auch erst vor kurzer Zeit behandelt. Also auch mal in die Boardsuche schauen und etwas mehr Eigeninitiative. Augenzwinkern

15.11.2008, 12:49

Svenja1986

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Hallo

Die gleiche Aufgabe habe ich auch hier liegen und komme leider auch nicht so recht weiter unglücklich

Also G haben wir ja letztens behandelt.
Da war das neutrale Element 0 und das inverse Element: $\begin{eqnarray*} y=-\frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$ .

Bei der Gruppe H ist das neutrale Element 1.
Nur bei dem inversen Element habe ich Probleme. Mit was kann ich multiplizieren, damt das neutrale Element 1 rauskommt? verwirrt

15.11.2008, 13:02

Reksilat

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H sind die stinknormalen reellen Zahlen mit der ganz gewöhnlichen Plutimikation. Also zwei mal zwei ist vier usw.

Womit muss ich jetzt z.B. 5 multiplizieren um auf 1 zu kommen?

15.11.2008, 13:30

Svenja1986

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mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ .

Also, ist das inverse Element $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ .

Und wie geht das jetzt mit dem Isomorphismus?

15.11.2008, 13:37

Reksilat

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Du musst eine bijektive Abbildung f von H nach G finden, für die gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x* y)=f(x)\star f(y) \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} \star \end{eqnarray*}$ habe ich jetzt mal die Multiplikation in G bezeichnet, also $\begin{eqnarray*} x\star y=xy+x+y \end{eqnarray*}$

15.11.2008, 16:03

Svenja1986

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Hab da jetzt ne ganze Zeit dran gesessen und überlegt, aber ich finde da keien bijektive Abbildung. Wie kann man das denn machen? Irgendwie mit den inversen Elementen? verwirrt

15.11.2008, 16:50

Reksilat

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Fangen wir mal an:
1. Was ist $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ ?
2. Was ist $\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ ? (Ausgedrückt mithilfe von f(x))

15.11.2008, 16:55

Svenja1986

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Zitat:

Original von Reksilat
Fangen wir mal an:
1. Was ist $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ ?

Das ist das neutrale Element von H eingesetzt in f(x).
Da müsste dann x rauskommen. Also: $\begin{eqnarray*} f(1)=x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Reksilat
2. Was ist $\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ ? (Ausgedrückt mithilfe von f(x))

So, das ist inverse Element von H eingesetzt in f(x).
Da müsste 1 rauskommen. Also: $\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{x})=1 \end{eqnarray*}$ .

Habe ich das richtig verstanden?

15.11.2008, 17:03

Reksilat

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x ist eine frei wählbare Variable, wie soll f(1)=x sein? f(1) ist ein Element in G und zwar ist das fest und kann nicht von irgendwelchen Variablen abhängen. Beim zweiten Punkt genau das gleiche.

15.11.2008, 17:39

Svenja1986

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Kannst du mir mal einen Tipp geben? Ich weiß echt nicht, wie man das macht...

15.11.2008, 20:12

Svenja1986

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Also, in unserem Skript haben wir mal folgendes aufgeschrieben:

Sei f ein Homomorphismus.
Dann
(1) $\begin{eqnarray*} f(e_G)=e_H \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} \forall a \in G: f(a^{-1})= f(a)^{-1} \end{eqnarray*}$
(3) f Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f^{-1}: H \rightarrow G \end{eqnarray*}$ Isomorphismus

Also (1) heißt ja, dass, wenn man das neutrale Element von G in die Funktion einsetzt, das neutrale Element von H rauskommt.
Also hier: $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$

(2) wäre hier:
$\begin{eqnarray*} f(-\frac{x}{x+1})=f(x)^{-1} \end{eqnarray*}$

Mit (3) kann ich nicht wirklich was anfangen...

15.11.2008, 20:43

Reksilat

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So weit so gut. Freude

(3) sagt im übrigen, dass es egal ist, ob wir einen Isomorphismus von H nach G oder von G nach H finden und deshalb suchen wir ab jetzt einen Isomorphismus
$\begin{eqnarray*} f:H\rightarrow G \end{eqnarray*}$ (ist halt erstmal einfacher)

für den gilt dann $\begin{eqnarray*} f(1)=0 \end{eqnarray*}$ (1) und
$\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{x})=-\frac{f(x)}{f(x)+1} \end{eqnarray*}$ (2)
wobei wir das zweite nicht unbedingt benötigen.

Natürlich muss für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in H \end{eqnarray*}$ gelten:
$\begin{eqnarray*} f(x*y)=f(x)\star f(y) \end{eqnarray*}$

Nun wählen wir als Ansatz, dass f eine gebrochen rationale Funktion ist
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} \end{eqnarray*}$
Nun muss man ein wenig herumprobieren, um g und h so zu wählen, dass die obigen Eigenschaften erfüllt sind. Es sind beides wirklich ganz einfache lineare Funktionen.
Tipp: h(x) darf natürlich auf ganz H nicht null werden, die einzige mögliche Nullstelle dieser Funktion kann dann also auch nur die einzige relle Zahl sein die nicht in H liegt.

So, ich bin fürs erste weg vom Rechner Prost

15.11.2008, 22:24

Svenja1986

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Also, ich habe jetzt folgende gebrochen rationale Funktion raus:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{-x+1}{x} \end{eqnarray*}$ .

Da passt auch mit den Verknüpfungen alles. Tanzen

In der Aufgabe steht ja aber, dass wir einen Isomorphismus von G nach H bilden sollen.

Das heißt, es muss gelten:

$\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$

Habe mir jetzt wieder einen Ansatz mit einer gebrochen rationalen Funktion überlegt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{h(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ , wobei g(x) auf ganz G nicht 1 werden darf.
Also habe ich mir überlegt, dass für g(x) was dastehen muss, wie (x-1) oder (-x+1).
Naja und an diesem Punkt komme ich irgendwie nicht weiter. Weil ich ja jetzt für x 0 einsetze, steht ja im Nenner entweder 1 oder -1. Also, muss im Zähler auch 1 bzw. -1 stehen, nachdem 0 eingesetzt wurde... Da habe ich noch nichts passendes gefunden, was dann auch mit den Verknüpfungen hinhaut verwirrt

16.11.2008, 11:38

Reksilat

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Der Isomorphismus ist richtig! Freude

Wir haben also einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} f:H\rightarrow G \end{eqnarray*}$ und wir wollen einen in die andere Richtung finden. Nun hast Du weiter oben aus Deinem Script Punkt (3) zitiert, der Dir ganz leicht den gewünschten Isomorphismus von G nach H liefert, Du musst nur die Umkehrfunktion von f finden.

PS: Deine Überlegungen diesbezüglich waren beinahe richtig, nur darf g(x) hier auf ganz G nicht null werden, was bedeutet, dass g(x) eher die Form x+1 hat (G=R\{-1})

16.11.2008, 11:48

Svenja1986

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Die Umkehrfunktion von f(x) ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

Und das ist der Isomorphismus von G nach H Big Laugh

16.11.2008, 11:52

Reksilat

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Bravo!

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Isomorphismus

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