Gruppe, Untergruppe, Verknüpfung, Wohldefiniertheit

Neue Frage »

13.11.2008, 18:12

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Gruppe, Untergruppe, Verknüpfung, Wohldefiniertheit

Hallo

Bei folgender Aufgabe finde ich irgendwie überhaupt keinen richtigen Ansatz und stehe total aufm Schlauch traurig

:

Sei G eine abelsche Gruppe und $\begin{eqnarray*} H\subset G \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe.
Es wurde bereits gezeigt, dass

$\begin{eqnarray*} xRy := xy^-1 \in H \end{eqnarray*}$

eine Äquivalenzrelation auf G erklärt.
Bezeichne mit G/H die Menge der Äquivalenzklassen $\begin{eqnarray*} R_{x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in G \end{eqnarray*}$ .
Auf dieser Menge lässt sich eine Verknüpfung wie folgt definieren: Für $\begin{eqnarray*} x,y \in G \end{eqnarray*}$ sei
$\begin{eqnarray*} R_{x} \star R_{y} := R_{xy} \end{eqnarray*}$ .
(1) Zeigen Sie, dass diese Verknüpfung wohldefiniert ist: Für $\begin{eqnarray*} x, x', y, y' \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} xRx' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} yRy' \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (xy)R(x'y') \end{eqnarray*}$ .

(2) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} (G/H, \star) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe ist.

Also unter dieser Verknüpfung hier kann ich mir nicht wirklich was vorstellen. Und wie ich das mit diesem "wohldefiniert" zeigen soll, weiß ich auch nicht unglücklich

13.11.2008, 21:28

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gruppe, Untergruppe, Verknüpfung, Wohldefiniertheit
Dass Du Dir unter der Verknüpfung nichts vorstellen kannst, ist nicht so schlimm. Zum Grundverständnis ist es erstmal unerheblich, dass G eine Gruppe ist.

Also: Es werden ja Äquivalenzklassen miteinander verknüpft und diese Äquivalenzklassen sind hier nur durch einen Repräsentanten gegeben. Wenn jetzt also $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ Äquivalent sind, so sind natürlich auch die Äquivalenzklassen gleich:
$\begin{eqnarray*} xRx' \Rightarrow R_x=R_{x'} \end{eqnarray*}$

Ein Problem tritt nun auf, da wir die Verknüpfung zweier Äquivalenzklassen nur mithilfe jeweils eines Repräsentanten defnieren; wir müssen aber gewährleisten, dass auch bei anderen Repräsentanten das gleiche Ergebnis rauskommt. Also:
Wenn $\begin{eqnarray*} R_x=R_{x'} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_y=R_{y'} \end{eqnarray*}$ ist, so muss auch bei der Multiplikation immer das gleiche rauskommen.

Zu zeigen ist also:
$\begin{eqnarray*} R_x\star R_y=R_{x'}\star R_{y'} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} R_{xy}=R_{x'y'} \end{eqnarray*}$
Und das ist das, was unter (1) auch steht.

14.11.2008, 08:00

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gruppe, Untergruppe, Verknüpfung, Wohldefiniertheit

Zitat:

Original von Reksilat
Wenn $\begin{eqnarray*} R_x=R_{x'} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R_y=R_{y'} \end{eqnarray*}$ ist, so muss auch bei der Multiplikation immer das gleiche rauskommen.

Warum gerade Multiplikation?

Zitat:

Original von Reksilat
Zu zeigen ist also:
$\begin{eqnarray*} R_x\star R_y=R_{x'}\star R_{y'} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} R_{xy}=R_{x'y'} \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich das am besten?

14.11.2008, 11:32

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gruppe, Untergruppe, Verknüpfung, Wohldefiniertheit

Zitat:

Original von Svenja1986
Warum gerade Multiplikation?

Mit der Multiplikation meine ich hier $\begin{eqnarray*} \star \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie zeige ich das am besten?

Wie gesagt, steht in der Aufgabenstellung bei (1). Du musst nur die Definition der Äquivalenzrelation anwenden.

15.11.2008, 12:34

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gruppe, Untergruppe, Verknüpfung, Wohldefiniertheit

Zitat:

Original von Reksilat
Du musst nur die Definition der Äquivalenzrelation anwenden.

Also zeigen, dass die Relation symmetrisch, reflexiv und transitiv ist?

15.11.2008, 12:42

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gruppe, Untergruppe, Verknüpfung, Wohldefiniertheit
Nein. Dass R eine Äquvalenzrelation ist, wurde ja bereits vorausgesetzt (hast Du doch selbst geschrieben).

Du sollst zeigen, dass das folgende gilt:

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} x, x', y, y' \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} xRx' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} yRy' \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (xy)R(x'y') \end{eqnarray*}$ .

Und dazu verwendest Du halt die Definition von R

15.11.2008, 13:03

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok...

Die Definiton wäre ja für

$\begin{eqnarray*} xRx' \end{eqnarray*}$ die folgende:

$\begin{eqnarray*} R\subset X \times X' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X \times X' := \{(x,x')| (x\in X) \land (x' \in X')\} \end{eqnarray*}$ .

Oder?
Und für $\begin{eqnarray*} yRy' \end{eqnarray*}$ dann analog...

Aber wie ich dann weiter mache....? verwirrt

15.11.2008, 13:17

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Quatsch!

Was soll $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sein? Das Dazuerfinden neuer Variablen ist kein Schritt zur Lösung, es steht alles da, was Du benötigst.

Es ist $\begin{eqnarray*} xRx' \end{eqnarray*}$ gdw. $\begin{eqnarray*} xx'^{-1}\in H \end{eqnarray*}$
So wurde R definiert. Und damit arbeiten wir jetzt!

15.11.2008, 13:34

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} xx'^{-1} \in H \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} yy'^{-1} \in H \end{eqnarray*}$

Ich kann die beiden aber jetzt nicht einfach multiplizieren, oder?

15.11.2008, 13:45

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso weinen hier immer gleich alle? traurig

Überlege was Du zeigen willst und schau Dir an was Du bereits weißt. Die Frage ist nicht, ob Du etwas multiplizieren kannst, sondern ob es sinnvoll ist dies zu tun.

15.11.2008, 13:52

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} xx'^{-1} \in H \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} yy'^{-1} \in H \end{eqnarray*}$

Für mich wäre die Multiplikation sinnvoll.

$\begin{eqnarray*} (xx'^{-1})\cdot(yy'^{-1}) \end{eqnarray*}$

Das könnte man umformen zu:

$\begin{eqnarray*} xy\cdot(x'^{-1}y'^{-1}) \end{eqnarray*}$

Und die Potenz könnte man dann noch ausklammern:

$\begin{eqnarray*} xy\cdot(x'y')^{-1} \end{eqnarray*}$

Und dann würde folgendes dastehen:

$\begin{eqnarray*} (xy)R(x'y'):=xy\cdot(x'y')^{-1} \end{eqnarray*}$
Dann wäre doch alles gezeigt, oder? Big Laugh

15.11.2008, 14:04

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Na also.

Du solltest vielleicht noch erwähnen, dass Du hier zweimal die Kommutativität ausnutzt. Zuerst beim Umformen und dann beim Ausklammern der Inversion. (Potenz würde ich hier nicht sagen) Allgemein gilt schließlich $\begin{eqnarray*} (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Svenja1986
Und dann würde folgendes dastehen:

$\begin{eqnarray*} (xy)R(x'y'):=xy\cdot(x'y')^{-1} \end{eqnarray*}$

Das ist ja durch die Definition bekannt. Am Ende sollte soetwas dastehen:
$\begin{eqnarray*} xRx' \,\rm{und}\, yRy'\Rightarrow\ldots \Rightarrow (xy)R(x'y') \end{eqnarray*}$

15.11.2008, 14:10

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

VIELEN DANK schonmal Gott

Bräuchte aber nochmal Hilfe für die 2.

G/H bezeichnet doch die Quotientenmenge, oder?

Was heißt das genau?

15.11.2008, 14:38

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

G/H ist die Faktorgruppe von G nach H. Normalerweise mit der gleichen Verknüpfung wie G versehen - hier werden die Elemente der Faktorgruppe aber auch mit $\begin{eqnarray*} \star \end{eqnarray*}$ zu einer Gruppe.

15.11.2008, 15:55

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, das verstehe ich nicht ganz. Wie sieht denn G/H aus?

15.11.2008, 15:59

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

In meinem Posting ist ein Link. Wenn Du etwas nicht verstehst, so musst Du mir sagen was das ist. ich kann Dir hier nicht die komplette Gruppentheorie erklären.

15.11.2008, 16:10

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mir schon klar.

Ich mein jetzt einfach speziell hier in diesem Fall, wie da G/H aussieht.
Oder geht das nicht so einfach?
Also, welche Eigenschaften hat diese G/H hier?

15.11.2008, 17:16

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

G/H ist eine Gruppe, in diesem Fall betrachten wir es aber nur als Menge.
$\begin{eqnarray*} G/H=\{xH|x\in G\} \end{eqnarray*}$
Dazu haben wir eine Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \star \end{eqnarray*}$ , die auf den Äquivalenzklassen von R definiert ist und wir müssen erstmal der Frage nachgehen, warum wir überhaupt zwei Elemente der Faktorgruppe mit $\begin{eqnarray*} \star \end{eqnarray*}$ verknüpfen können.

Man sieht: $\begin{eqnarray*} R_x=\{y\in G|yRx\}=\{y\in G| yx^{-1}\in H\}=\{y\in G|y\in xH\}=xH \end{eqnarray*}$
also sind die Äquivalentzklassen von R gerade die Nebenklassen von H in G und es ist insofern sinnvoll zwei Nebenklassen zu verknüpfen.

Was ist nun $\begin{eqnarray*} xH\star yH \end{eqnarray*}$ und warum?

15.11.2008, 17:46

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Reksilat
Was ist nun $\begin{eqnarray*} xH\star yH \end{eqnarray*}$ und warum?

$\begin{eqnarray*} (x\star y)H \end{eqnarray*}$

Richtig? Aber warum kann ich dir nicht sagen... unglücklich

15.11.2008, 18:12

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Du rätst ja nur! $\begin{eqnarray*} x\star y \end{eqnarray*}$ ergibt keinen Sinn, da $\begin{eqnarray*} \star \end{eqnarray*}$ nicht für einzelne Elemente definiert ist. (xy)H ist richtig, aber das zu zeigen ist so einfach (es steht wirklich alles schon da), dass Du anscheinend nicht verstehst, worum es hier überhaupt geht. Nimm Dir Zeit und überlege alles in Ruhe. (Und nimm Dir immer nur ein Thema vor.)

15.11.2008, 19:07

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gruppe, Untergruppe, Verknüpfung, Wohldefiniertheit
Ups

Also, nochmal ganz langsam smile

Definition:
H ist ein Normalteiler in G und G/H damit selbst eine Gruppe.
Wenn G abelsch ist, dann ist auch immer G/H abelsch.
Umgekehrt gilt das i. A. nicht.

So, in der Aufgabe steht ja:

Zitat:

Sei G eine abelsche Gruppe

Ok, das muss jetzt halt irgendwie trotzdem noch gezeigt werden.

$\begin{eqnarray*} xH \star yH = (xy)H \end{eqnarray*}$

Und: $\begin{eqnarray*} yH \star xH = (yx)H \end{eqnarray*}$

Wäre das ausreichend?

15.11.2008, 22:25

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man das so lassen oder habe ich mir es zu einfach gemacht?

16.11.2008, 11:28

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das reicht nicht aus. Natürlich ist G/H eine abelsche Gruppe, aber bezüglich der Multiplikation * von G. Wir wollen aber auf der Menge G/H eine neue Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \star \end{eqnarray*}$ definieren und zeigen, dass auch damit G/H zu einer abelschen Gruppe wird. Dazu ist nun mal zuerst zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \star \end{eqnarray*}$ eine Verknüpfung $\begin{eqnarray*} G/H\times G/H \rightarrow G/H \end{eqnarray*}$ ist.

Warum ich das jetzt zum dritten Mal schreiben muss ist mir nicht klar. Wenn Du etwas nicht verstehst, dann frag'. böse

16.11.2008, 11:35

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ja schon gefragt Ups

Kann mir unter dieser Faktorgruppe nicht wirklich was vorstellen. Dazu haben wir auch im Skript nichts aufgeschrieben. Klar, kann ich auf Wikipedia etc. nachlesen, aber das bringt mich alles irgendwie nicht weiter. Weiß halt einfach nicht so recht, wie ich mit dieser Faktorgruppe umgehen soll bzw. was sie macht.

Und somit weiß ich auch nicht, wie ich zeigen kann, dass $\begin{eqnarray*} \star \end{eqnarray*}$ eine Verknüpfung

$\begin{eqnarray*} G/H \times G/H \rightarrow G/H \end{eqnarray*}$ ist. unglücklich

16.11.2008, 11:50

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich bei einer Aufgabe helfen soll, so muss ich zumindest annehmen dürfen, dass man in den Grundlagen mit dem Thema vertraut ist. Wenn ich hier erst nach und nach herausbekomme, was Du zu diesem Thema bereits weißt, so ist das keine gute Arbeitsgrundlage.

Es ist nicht schlimm, wenn Du bei diesem Thema Probleme hast, aber es ist einfach zu aufwändig das hier zu erklären.

16.11.2008, 12:08

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Trotzdem danke für deine Bemühungen.

Neue Frage »

Antworten »

Gruppe, Untergruppe, Verknüpfung, Wohldefiniertheit

Verwandte Themen