Real- und Imaginärteil, sowie Betrag und Argument

13.11.2008, 18:16

Svenja1986

Real- und Imaginärteil, sowie Betrag und Argument

Hey

Ich benötige mal einen Tipp für folgende Aufgabe:

Bitte bestimmen Sie Real- und Imaginärteil sowie Betrag und Argument der komplexen Zahl:

$\begin{eqnarray*} z=(1+i)^n-(1-i)^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ (Fallunterscheidung!).

Liege ich schon mal richtig mit meiner Annahme, dass die Fallunterscheidung von geraden und ungeraden n stattfinden soll?

Wenn ja, wie gehe ich dann vor?

Vielen Dank für Hilfe Tanzen

13.11.2008, 18:56

mYthos

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Die Exponentialdarstellung sollte es bringen ...

mY+

13.11.2008, 19:06

tmo

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Oder $\begin{eqnarray*} \left( \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right)^2 = i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left( \frac{1-i}{\sqrt{2}} \right)^2 = -i \end{eqnarray*}$ ausnutzen.

Daraus folgt schon mal

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right)^8 = \left( \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right)^8 = 1 \end{eqnarray*}$ , d.h. es kommt zu höchstens 8 Fallunterscheidungen.

13.11.2008, 19:30

Svenja1986

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Zitat:

Original von tmo
$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right)^8 = \left( \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right)^8 = 1 \end{eqnarray*}$ , d.h. es kommt zu höchstens 8 Fallunterscheidungen.

Die wären? verwirrt

oder mal eine als Beispiel...

Bin in den komplexen Zahlen noch nicht so geübt... Hammer

Warum eigentlich "hoch 8"? verwirrt

14.11.2008, 00:47

mYthos

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Zitat:

Original von tmo
...
Daraus folgt schon mal

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right)^8 = \left( \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right)^8 = 1 \end{eqnarray*}$ , d.h. es kommt zu höchstens 8 Fallunterscheidungen.

@tmo
Bei der zweiten Potenz sollte ein Minus stehen? Also

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right)^8 = \left( \frac{1-i}{\sqrt{2}} \right)^8 = 1 \end{eqnarray*}$

___________________

Wenn sich der Potenzexponent jeweils um 1 erhöht, wächst der Winkel jeweils um $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ (45°), beginnend mit $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ bei n = 1. Gleichzeitig wächst der Betrag immer auf das
$\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ - fache. Bei n = 8 sind wir auf der reellen Achse angelangt und ab n = 9 wiederholt sich das Spiel mit den Winkeln, der Betrag jedoch wächst weiter. Daher ist nach n = 8 nicht abzubrechen.

mY+

14.11.2008, 10:22

tmo

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Zitat:

Original von mYthos
@tmo
Bei der zweiten Potenz sollte ein Minus stehen? Also

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1+i}{\sqrt{2}} \right)^8 = \left( \frac{1-i}{\sqrt{2}} \right)^8 = 1 \end{eqnarray*}$

Jap, da habe ich mich verschrieben.

14.11.2008, 16:53

Svenja1986

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Also, ich verstehe das nicht unglücklich

15.11.2008, 00:49

mYthos

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Vorschlag: Beginne bitte mal, indem du die dir bereits gegebenen Hinweisen zu verwerten versuchst. Mit "Ich versteh' das nicht" ist's leider nicht getan. Wenn du dann auf diesem Weg hängenbleibst, helfen wir dir bei deinen Ansätzen bzw. konkreten Fragen gern weiter. Zugegeben, die Aufgabe ist nicht ganz leicht, daher solltest du dir zunächst über die Grundlagen zu komplexen Zahlen klarwerden:

Definition, imaginäre Einheit, Rechenregeln (Binomische od. Zahlpaarform)
Komplexe Zahlenebene
Real-, Imaginärteil, Betrag, Winkel (Polarkoordinaten)
Trigonometrische Form
Exponentialform, Euler'sche Relation, Formel von Moivre

mY+

15.11.2008, 12:29

Svenja1986

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In den Übungsaufgaben hatten wir die selbe Aufgabe für $\begin{eqnarray*} z=i^n \end{eqnarray*}$ .
In den zugehörigen Lösungen hat der Prof für n 1,2,3,4,5,... eingesetzt.
Die Ergebnisse sehen dann so aus: i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1, i,... usw
Er hat dann eine Fallunterscheidung der Fälle i, -1, -1, 1 gemacht und für diese Fälle Re(z), Im(z), |z| und arg(z) berechnet.
Das kann ich gut nach vollziehen.

So, aber jetzt bei dieser Aufgabe kann ich schlecht für n 1,2,3,4,5,6 usw einsetzen. Da bekomme ich ja endlos lange Terme (vorallem, wenn es, wie ihr schreibt, 8 Fallunterscheidungen gibt).

Ich komme an diesem Punkt also einfach nicht weiter. Erstaunt1

16.11.2008, 00:57

mYthos

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Bei $\begin{eqnarray*} i^n \end{eqnarray*}$ ist die Angelegenheit schon einfacher. Erstens beträgt da der Winkel 90°, sodass bereits nach der 4. Potenz, die 1 ist, Schluss ist. Zweitens ist der Betrag dieser komplexen Zahl 1, sodass auch das fortgesetzte Potenzieren an ihm nichts ändert.

In dieser Aufgabe ist der Betrag jedoch $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ . Allerdings kannst du dennoch ohne allzu großen Aufwand mit den 8 verschiedenen Werten von n (n = 1 bis 8) potenzieren, wenn du vorher die gegebenen komplexen Zahlen in die Exponentialschreibweise oder Polarform (Betrag, Winkel) bringst. Am besten ist, wie später einzusehen, die trigonometrische Form, weil man da entscheidend vereinfachen kann. Denn das Argument (der Winkel) des ersten Summanden beträgt, wie schon geschrieben, $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ - hast du das eigentlich gelesen?? - und beim zweiten Summanden $\begin{eqnarray*} (-\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$ . Bei jedem Erhöhen des Potenzexponenten um 1 dreht sich der Winkel um weitere $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ nach links (positiv, gegen den Uhrzeigersinn) bzw. nach rechts (negativ, im Uhrzeigersinn) und der Betrag erhöht sich um den Faktor $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ .

Aber irgendwie wiederhole ich mich da, wie ich gerade bemerke, denn das habe ich dir ohnehin z.T. schon geschrieben.

Hinweis:
Die Angabe kann man umschreiben in $\begin{eqnarray*} (\sqrt2)^n \cdot [ e^{\frac{n\pi}{4}} - e^{\frac{-n\pi}{4}}] \ \text {oder besser noch in} \ (\sqrt2)^n \cdot [ \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} - (\cos \frac{(-n\pi)}{4} + i \sin \frac{(-n\pi)}{4})] \end{eqnarray*}$

Cool!
Wenn du jetzt ganz clever bist, und die Winkelfunktionen der negativen Winkel in solche der positiven Winkel umwandelst, kannst du dir mittels Vereinfachung die weitere Rechnung ganz entscheidend erleichtern. Im Grunde bist du dann in wenigen Zeilen fertig.

mY+

24.11.2008, 19:23

Svenja1986

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Tut mir leid, dass das hier jetzt so aussieht, als wäre ich undankbar oder wüsste die Mühe nicht zu schätzen.
Aber irgendwie bin ich mit diesem Ansatz nicht weiter gekommen.
War auch nochmal mit ein paar anderen beim Prof. Der hat uns den gleichen Tipp gegeben Augenzwinkern

Naja, und da mir das natürlich nichts gebracht hat, habe ich dann beschlossen, die Hausaufgabe ohne diese Aufagbe abzugeben und auf die Lösungen zu warten und mich dann nochmal genauer damit zu befassen.
Will es ja auch verstehen, für die Prüfung etc
Aber irgendwie habe ich bei dieser Augabe irgendwie eine Blockade Hammer

Ich bitte um Verzeihung!

24.11.2008, 20:05

mYthos

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Es ist ja nicht schlimm, wenn du trotz Hilfe momentan dennoch nicht weiterkommmst, das kommt doch in den besten Familien vor. Du kannst dich ruhig trauen, weiterzufragen, so kurz vor dem Ende gibt man doch nicht auf. Ich hätte dir bestimmt weitere Tipps gegeben. Wie auch immer, eine kleine Antwort deinerseits hätte schon genügt. Aber gut, Schwamm drüber, ist vergessen.

Wir waren schon kurz vor dem Ziel:

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots = (\sqrt2)^n \cdot [ \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} - (\cos \frac{(-n\pi)}{4} + i \sin \frac{(-n\pi)}{4}] \end{eqnarray*}$

-------------------------------

Jetzt kannst du die negativen Argumente umformen, u.zw. nach

$\begin{eqnarray*} \sin (-x) = - \sin x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos (-x) = \cos x \end{eqnarray*}$
__________________________

$\begin{eqnarray*} \ldots = (\sqrt2)^n \cdot [ \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} - \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4}] \end{eqnarray*}$

Etwas fällt jetzt weg, das andere zusammenfassen, was kommt Erstaunliches?

mY+

24.11.2008, 20:17

Svenja1986

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Zitat:

Original von mYthos
Aber gut, Schwamm drüber, ist vergessen.

Danke

Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} \ldots = (\sqrt2)^n \cdot [ \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} - \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4}] \end{eqnarray*}$

Etwas fällt jetzt weg, das andere zusammenfassen, was kommt Erstaunliches?

$\begin{eqnarray*} = (\sqrt2)^n \cdot (2i \sin \frac{n\pi}{4}) \end{eqnarray*}$

Das heißt, es gibt schon mal gar keinen Realteil?

24.11.2008, 21:23

mYthos

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Es gibt schon einen Realteil - aber der ist Null. Richtig. Also alle Resultate sind rein imaginär und können als

$\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{2^n} i \sin \frac{n \pi}{4} = \sqrt{2^{n+2}} i \sin \frac{n \pi}{4}= 2^{\frac{n+2}{2}} i \sin \frac{n \pi}{4} \end{eqnarray*}$

geschrieben werden. Die letzten beiden Terme sind noch Kosmetik.

mY+

24.11.2008, 21:34

Svenja1986

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Wie einfach doch manchmal die Dinge sein können...

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