Äquivalenz 3 Aussagen injektiv, ... zeigen

13.11.2008, 20:40

bappi

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Äquivalenz 3 Aussagen injektiv, ... zeigen

Moin!

Sei $\begin{eqnarray*} A = \varnothing \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass für eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f : A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist injektiv.
(ii) Es gibt eine Abbildung $\begin{eqnarray*} g : B \rightarrow A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g \circ f = \mathrm{id}_A. \end{eqnarray*}$
(iii) Für alle Mengen $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und Abbildungen $\begin{eqnarray*} h_1: C \rightarrow A, \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} h_2: C \rightarrow A \end{eqnarray*}$ gilt: Aus $\begin{eqnarray*} f \circ h_1 = f \circ h_2 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} h_1 = h_2. \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist nur der "letzte" Schritt von (iii) $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ (i).

Idee war:

weil $\begin{eqnarray*} (f \circ h_1) = (f \circ h_2) \overset{Def.}{\Rightarrow} f(h_1(c_1)) = f(h_2(c_2)) \overset{Vor.}{\Rightarrow} h_1 = h_2 \end{eqnarray*}$

Ist damit nicht schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv sein muss? Es erfüllt ja genau die Definition der Injektivität.

Mfg

13.11.2008, 20:59

Reksilat

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RE: Äquivalenz 3 Aussagen injektiv, ... zeigen
Das geht irgendwie zu schnell. Welche Richtung willst Du zeigen?
Wo kommen $\begin{eqnarray*} h_1,h_2,c_1,c_2 \end{eqnarray*}$ her? Sowas musst Du erst definieren. Für die Richtung (iii)=>(i) wirst Du ganz bestimmte $\begin{eqnarray*} h_i \end{eqnarray*}$ benötigen.

13.11.2008, 21:08

bappi

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RE: Äquivalenz 3 Aussagen injektiv, ... zeigen
Naja einfach nach Definition

Hinrichtung " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ".

wegen Definition ist $\begin{eqnarray*} h_1(c_1) = a_1, h_2(c_2) = a_2 \end{eqnarray*}$ .

Nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} (f \circ h_1) = (f \circ h_2) \overset{Def.}{\Rightarrow} f(h_1(c_1)) = f(h_2(c_2)) \overset{Vor.}{\Rightarrow} h_1 = h_2 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt doch eigentlich direkt, dass f injektiv, oder?

13.11.2008, 21:15

Reksilat

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RE: Äquivalenz 3 Aussagen injektiv, ... zeigen
Ne das ist Quatsch. Du kannst nicht von irgendwelchen h_i und c_i sprechen, denn nichtmal C ist definiert. Alles was Du hast ist f, A und B sowie, dass Aussage (iii) gilt.

Du willst zeigen, dass f injektiv ist, also:
seien $\begin{eqnarray*} x,y\in A \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$
Nun musst Du Aussage (iii) nutzen, um zu zeigen, dass x=y ist.

13.11.2008, 21:28

bappi

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Genau das ist mein Problem ^^.

13.11.2008, 21:40

Reksilat

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Es steht ja dort: Für alle $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} h_i \end{eqnarray*}$ - das ist doch schon mal schön und wir müssen jetzt nur noch $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_i \end{eqnarray*}$ für unsere Zwecke geeignet wählen.

Wir wissen, dass für $\begin{eqnarray*} c\in C \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} f(h_1(c))=f(h_2(c)) \Rightarrow h_1(c)=h_2(c) \end{eqnarray*}$

Was wir zeigen wollen ist:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(y)\Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$

Das sieht schon mal von der Grundstruktur ähnlich aus, wir müssen nur noch $\begin{eqnarray*} C,h_1,h_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\in C \end{eqnarray*}$ passend wählen

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13.11.2008, 21:46

bappi

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Ok ich hab mich wohl etwas doof ausgedrückt

$\begin{eqnarray*} \forall c \in C: f(h_1(c)) = f(h_2(c)) \Rightarrow h_1(c) = h_2(c) \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} h_1(c) = a_1 \wedge h_2(c) = a_2 \in A \end{eqnarray*}$ nach Def, ist

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(h_1(c)) = f(h_2(c)) \Rightarrow f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2 \end{eqnarray*}$

13.11.2008, 21:56

Reksilat

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Achso, Du willst (i)=>(iii) zeigen.

Ist zwar unglücklich geschrieben, aber das funktioniert so, ja.

13.11.2008, 22:08

bappi

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Ich bin irgendwie verwirrt, ich versteh leider nicht, wie ich von (iii) auf (i) kommen soll.

denn $\begin{eqnarray*} \forall c \in C: f(h_1(c)) = f(h_2(c)) \Rightarrow h_1(c) = h_2(c) \end{eqnarray*}$

ergibt sich doch genau aus (iii)

und der Rest sind denn halt nur noch Folgerungen...

13.11.2008, 22:13

Reksilat

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Und dazu habe ich ja eben 21:40 Uhr den Ansatz geschrieben.

Edit: probier mal ein bisschen! Was könnte man als C wählen? u.s.w

13.11.2008, 22:15

bappi

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hab grad noch mal was editiert.. smile

smile

13.11.2008, 22:32

bappi

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Also es ist doch in (iii)

$\begin{eqnarray*} \forall c \in C: f(h_1(c)) = f(h_2(c)) \Rightarrow h_1(c) = h_2(c) \end{eqnarray*}$ . Also kann (muss) ich das doch voraussetzen.

und der Rest sind dann Folgerungen, s.o.

Was anderes fällt mir nicht ein unglücklich

unglücklich

13.11.2008, 22:41

Reksilat

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Sag mal liest Du was ich schreibe?

Es ist total sinnlos von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_i \end{eqnarray*}$ zu sprechen, wenn Du nicht vorher definierst was das sein soll! Wenn Du hier dreimal hintereinander das gleiche schreibst wird das auch nicht besser.

Wenn Du Injektivität zeigen willst fängst an Du mit:
Seien $\begin{eqnarray*} x,y \in A \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$
Dann zeigst Du, dass x=y gilt.

Jetzt habe ich das bereits zum dritten Mal geschrieben und Du bist bisher kein bisschen darauf eingegangen!

13.11.2008, 22:45

bappi

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Ich glaube wir haben grad aneinander vorbei geschrieben, sry.

Also mein Problem ist, ich weiß nicht, wie es ohne $\begin{eqnarray*} x = h_1(c) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y = h_2(c) \end{eqnarray*}$ zeigen soll.

Vlt verstehst du jetzt was ich meine.

13.11.2008, 22:48

Reksilat

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Zitat:

Original von Reksilat
Es steht ja dort: Für alle $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} h_i \end{eqnarray*}$ - das ist doch schon mal schön und wir müssen jetzt nur noch $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_i \end{eqnarray*}$ für unsere Zwecke geeignet wählen.

Wir wissen, dass für $\begin{eqnarray*} c\in C \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} f(h_1(c))=f(h_2(c)) \Rightarrow h_1(c)=h_2(c) \end{eqnarray*}$

Was wir zeigen wollen ist:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(y)\Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$

Das sieht schon mal von der Grundstruktur ähnlich aus, wir müssen nur noch $\begin{eqnarray*} C,h_1,h_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\in C \end{eqnarray*}$ passend wählen

13.11.2008, 22:56

bappi

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Keine Ahnung, wie ich weiter verfahren soll.

Trotzdem schon mal danke für deine Hilfe.

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