Saturnring, Planetenbahnen oder Kreisring

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Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »
Saturnring, Planetenbahnen oder Kreisring
Eine verblüffende wie einfache Aufgabe fiel mir ein, als ich den "thread" mit den durchbohrten Kugeln las.
Die Lösung soll auf 11 Stellen genau im Kopf errechnet werden.

Nun.
Um eine Größenvorstellung zu bekommen, nehmen wir den Saturn mit seinem "Ring" und betrachten alles von"oben" als eine Ebene. Der Saturnring nimmt dann die Form eines Kreisringes an.
Oder aber, man stelle sich zwei Planeten vor, die einen Fixstern umkreisen. Die beiden Bahnen sollen dann ebenfalls eine Kreisringfläche bilden.
Nun sei es, dass ein Raumschiff irgendwo in gerader Linie die äüßere Planetenbahn kreuzt, die innere Planetenbahn tangential berührt und anschließend an der äußeren Bahn wieder das System verlässt.
Vom Eintritt bis Austritt werden genau 200.000 km zurückgelegt (der Punkt ist nur 1000er Trennzeichen).
Wonach jetzt gefragt wird: Wie groß ist die gesamte Fläche des Kreisringes, also die Fläche, die die beiden Planeten durch ihre Bahnen einschließen?

Wie gesagt, nur im Kopf zu lösen! smile

Viel Spaß




Ist's doch o Issac schwierig zu wissen wofür sie steht (Martin Garner/Issac Asimov)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, wenn man auf 11 Stellen im Kopf hat ...

Die Kreisringfläche:
Pyth. tut sein Übriges .... (mehr verrate ich noch nicht).

mY+
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja,
lieber "mythos",

dass du es eigentlich wissen musst, hatte ich so gut wie vorausgesetzt. Gott

Aber schön, dass du es auf deine Weise formuliert hattest, obwohl ich wegen der "Gedächtnisschwäche" auch diese nötige Information mitgeliefert habe... smile

LGR
Mathegreis Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Ergänzung:

Diese Aufgabe ist uralt.
Zum ersten Male veröffentlicht von Samuel I. Jones in "Mathematical Nuts", Nashville, 1932, Seite 93.
Dort war die Länge der Sehne mit 1 angegeben, der Flächeninhalt des gesuchten Kreisringes also 3,14 FE.
Die Lösungsidee stammt von John W. Campbell und wurde in Martin Gardner "Mathematical Puzzles and Diversions" 1959 in New York vorgestellt.

Bei der obigen Aufgabe ist es, wie Mythos schreibt, erforderlich, die notwendige Anzahl der Dezimalstellen der Kreiszahl zu kennen. Komplizierter wird die Aufgabe durch die Saturnringe jedenfalls nicht.
Die Aufgabe findet man heute z. B. in "Heureka! Unterhaltsame Mathematik in 95 Rätseln mit ausführlichen Lösungen" von Heinrich Hemme.

Mathegreis
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathegreis
...
Dort war die Länge der Sehne mit 1 angegeben, der Flächeninhalt des gesuchten Kreisringes also 3,14 FE.
...


Bist du da sicher? Das stimmt nämlich so nicht.

mY+
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »
@Mathegreis
Spielt es eine Rolle, wie alt etwas ist, wenn man daraus lernen kann?
Steht in deinem Buch auch, dass der äußere Kreis samt der Sehne "schrumpfen" kann, so dass die Sehne gleich dem Durchmesser des dazugehörigen Kreises ist?

Die Quellen meiner Bücher habe ich auch angegeben.

"mYthos" hat es geschickter gemacht. Er überlässt dem Wissbegierigen immer noch die Option nachzufragen, für den Fall, dass er dennoch Probleme mit dem Lösungsversuch hat.

Ist ja auch Schulmathe hier.

Zitat: "Wer lesen kann, ist klar im Vorteil".

Als Rätselfan, wenn ich einen praktischen Bezug zum täglichen Leben sehe, sammle ich solche Aufgaben. Wenn du möchtest, poste ich dir ganz spezielle Rätsel. smile


LGR
 
 
Mathegreis Auf diesen Beitrag antworten »

@ mYthos

Du hast natürlich Recht: Die Länge war mit 2 angegeben!!!
Mein Fehler!

@ Rechenschieber

Mein Beitrag war doch gar keine Kritik, lediglich eine Feststellung.
Lies mal den Titel!

In der Erläuterung der Aufgabe weist der Autor H. Hemme natürlich darauf hin,
dass der Radius des inneren Kreises schrumpfen und sogar Null werden kann, und dass dann die Sehne dem Durchmesser des großen Kreises entspricht - nicht umgekehrt.

Gruß
Mathegres
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ein Beitrag
Bin mir nicht sicher, ob die Frage jetzt als beantwortet gilt oder nicht. Ich erlaube mir jedenfalls ein paar Worte dazu.
Es geht darum, das manchmal als trocken und realitätsfern empfundene mathematische Wissen in der Praxis anzuwenden.
Folgender Gedankengang hat mir den Lösungsweg erhellt: Wenn ich die Sehne durch 2 teile, bekomme ich zwei rechtwinkelige Dreiecke in den Punkten

Sehnenmittelpunkt
Mittelpunkt der beiden Kreise (sind ja konzentrisch)
Eintritts- bzw. Austrittspunkt (Schnittpunkte der Geraden mit dem äußeren Kreis)

Im Abstand Sehenmittelpunkt - Kreismittelpunkt erkenne ich den inneren Radius.
Wie Mythos leise weise lächelnd angedeutet hat, hilft Pythagoras weiter, indem ich die Gleichung aufstelle



Nach leichter Umformung bekommt man die Formel für den Kreisring, mein Ergebnis wäre
(Mein Pi-Gedächtnis versagt leider nach 8 Stellen.)

Weiterhin alles Gute,
Walter
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