Basis, Dimension, direkte Summe.

13.11.2008, 22:22

eierkopf1

Basis, Dimension, direkte Summe.

Hallo!

Bei folgendem Beispiel komme ich nicht weiter:

"In $\begin{eqnarray*} V = \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ seien die Untervektorräume $\begin{eqnarray*} U=\{ (x,y,z) \} \in \mathbb C^3 : z = 0 \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V = Span ((1,2,3),(i, -i, 1)) \end{eqnarray*}$ gegeben.

Man bestimme eine Basis und die Dimension von $\begin{eqnarray*} U \cap V ~ und ~ U + V \end{eqnarray*}$ . Man untersuche, ob die Summe U + V direkt ist."

Ich hänge schon beim bestimmen der Basis von $\begin{eqnarray*} U \cap V \end{eqnarray*}$ :

Mein Ansatz bis jetzt:

Ich suche mir beliebige Vektoren, die im Durchschnitt von U und V sind und bilde dann mit Hilfe der Zeilenstufenform eine Basis. Jedoch wie finde ich Vektoren, die im Durchschnitt liegen?

zB: v=(1,2,0). Dieser Vektor ist sicher in U und jetzt muss ich prüfen, ob sie auch im Span liegen. Aber da U ein Untervektorraum von V ist, müssen sie auch im Span liegen.

Dh, ich suche mir noch zwei Vektoren und bilde die Zeilenstufenform.
zB u= (-2, 3, 0)
w= (2, 1, 0)

Eine Basis ist dann B=( (1,2,0), (0,4,0) ) und die Dimension ist 2.

Stimmt das so?

mfg

13.11.2008, 22:28

tigerbine

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RE: Basis, Dimension, direkte Summe.

Zitat:

"In $\begin{eqnarray*} V = \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ seien die Untervektorräume $\begin{eqnarray*} U=\{ (x,y,z) \} \in \mathbb C^3 : z = 0 \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V = \text{Span} \{(1,2,3),(i, -i, 1)\} \end{eqnarray*}$ gegeben.

Das entscheidende ist doch bei U, dass die dritte Komponente 0 ist. Wie kann man die 2 Vektoren (offensichtlich l.u.) in V linear kombinieren, um so einen Vektor zu erhalten. Offensichtlich:

$\begin{eqnarray*} s_1=v_1 -3v_2 \end{eqnarray*}$

Mehr gibt es nicht V hat die Dimension 2 und enthät auch offensichtlich Vektoren mit von Null verschiedener dritter Komponente.

13.11.2008, 22:48

eierkopf1

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RE: Basis, Dimension, direkte Summe.
Dh, die Basis von $\begin{eqnarray*} U \cap V= (1-3i, 2+3i, 0) \end{eqnarray*}$ und die Dimension ist 1.

Dh, der Schnitt der beiden Untervektorräume besteht aus allen Vektoren, die Vielfaches vom Basisvektor sind.

Eine generelle Frage: Sollte V nicht die Dimension 3 haben, da ja C hoch 3 steht?

mfg

13.11.2008, 22:52

tigerbine

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RE: Basis, Dimension, direkte Summe.
Naja, erzeuge mit mal einen 3 dimensionalen Raum mit nur 2 Vektoren. Es ist eben ein 2D Unterraum eines 3D Raums.

Basis, jo, würde ich so sehen.

13.11.2008, 22:53

Reksilat

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RE: Basis, Dimension, direkte Summe.
Muss wohl ein Fehler in der Aufgabenstellung sein. Nimm $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W=\rm{span}<...> \end{eqnarray*}$ oder wie es Dir halt passt.

13.11.2008, 22:55

tigerbine

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RE: Basis, Dimension, direkte Summe.
Jo, hatte das erste V nicht mehr im Kopf Wink

13.11.2008, 22:58

eierkopf1

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RE: Basis, Dimension, direkte Summe.
Mich verwirrt: $\begin{eqnarray*} V = \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ und später ist es aber ein Untervektor mit dem Span.
EDIT: Hab erst jetzt die obigen Postings gelesen. Scheint dann wirklich ein Angabenfehler zu sein.

Wie sieht es mit U + V aus?

zB u aus U und v aus V
u=(2,1,0)
v=(1,2,3)

u + v= (3,3,3)

Muss ich jetzt 3 solche "Summenvektoren" suchen und dann die Zeilenstufenform bilden?

mfg

14.11.2008, 14:42

eierkopf1

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RE: Basis, Dimension, direkte Summe.
Ich glaube, dass sollte die richtige Lösung sein:

$\begin{eqnarray*} U \cap V \end{eqnarray*}$ wie oben.

Die Basis von U + V habe ich so gelöst:

U + V = SpanU + SpanV.

SpanV ist gegeben und einen SpanU ermittle ich selbst:
Dazu suche ich mir eine Basis für U. Ich wähle drei beliebige Vektoren, die in U liegen.
zB u1=(1,2,0)
u2=(2,1,0)
u3=(1,3,0)

Mittels Zeilenstufenform komme ich dann auf eine Basis von U = ( (1,2,0), (0,1,0) ) = SpanU.

Jetzt habe ich den Span von U + V = ( ( 1, 2, 3), (i, -i, 1), (1,2,0), (0,1,0) )

Damit ich eine Basis finde, mache ich eine Zeilenstufenform:
Meine Basis von U + V = ( (1, 2, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 3) )
und damit die Dimension 3.

Die Frage, ob die Summe von U + V direkt ist:
Nein, da $\begin{eqnarray*} U \cap V \end{eqnarray*}$ , wie oben gesehen, nicht nur den Nullvektor enthält.
Man könnte auch sagen: $\begin{eqnarray*} dim(Vektorraum) \neq dimU + dimV \end{eqnarray*}$

Sollte so stimmen, oder?

mfg

18.11.2008, 23:12

roedigenkanter

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RE: Basis, Dimension, direkte Summe.
Jetzt muss ich das nochmal schreiben, irgendwie bin ich rausgeflogen und war plötzlich nicht mehr angemeldet.

Ich hatte aus Deinen drei Vektoren eine Matrix gemacht
120
210
130

die Umformung führte dann allerdings auf folgende Stufenform:

120
030
000

da weiss ich dann nicht mehr weiter, was freie Variablen betrifft und wie ich da einen Basisvektor berechnen kann.

20.11.2008, 20:33

eierkopf1

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RE: Basis, Dimension, direkte Summe.
Die Basisvektoren sind (1, 2 , 0) und (0, 3, 0).

Du hast EINE Basis von VIELEN berechnet. Entscheidet ist nur, dass die Basis (wie bei meiner Basis) die Dimension 2 hat.

mfg

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Basis, Dimension, direkte Summe.

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