allgemeine mathematische Aussagen

14.11.2008, 15:58

Simon1

allgemeine mathematische Aussagen

Hallo zusammen!

Ich habe hier einige Aussagen, die ich entweder bestätigen oder dementieren soll - auf jeden fall soll ich zeigen, dass sie stimmen bzw. falsch sind.

a) Seien A und B zwei Mengen.
Zeigen sie, dass falls A gleichmächtig zu N ist, und B endlich ist, dann ist A U B gleichmächtig zu N.

Nun, heisst das nicht, dass A ~= N ? Die Vereinigung von A und B wäre dann natürlich wieder N, aber nur, wenn B Element von N wäre...
somit habe ich grosse Zweifel, dass meine Argumentation nicht stimmt...

b) Zeigen sie, dass falls A und B gleichmächtig zu N sind, dass ist auch A U B gleichmächtig zu N.

Hier entspricht A und B ~= N, alle Elemente von A und B, also auch von der Vereinigung, entsprechen dann wieder N. Somit ist A U B gleichmächtig zu N.

c) Jede der folgenden Mengen ist bijektiv entweder zu N oder R. Entscheiden sie jeweils zu welcher und begründen sie.

(i) N x N

Bijektiv zu N.
Begründung:
Sei Teilmenge Mn := { z mit z € N, Summe j von j = 0 bis j = n - 1 ist größer als z ist größer gleich Summe i von i = 0 bis i = n }
Sei d = z - 1 - Summe j von j = 0 bis j = n - 1

Die Abbildung f Mn -> Dn sei := { (x,y) mit x,y € N und x = 1 + d für n gerade, x = n - d für n ungerade und y = n - d für n gerade und 1 + d für n ungerade }

Jedes z ist Element einer Teilmenge Mn und die Abbildung von z ist Element der Teilmenge Dn, wobei die Indizes gleich sind.

Rechenbeispiel:
z = 8
z ist Teilmenge in M4 weil 6 < 8 =< 10
Die Teilmenge M4 beschreibt die Nummern in der 4 Diagonalen
d ist 1, die 8 ist das Element 1 der Teilmenge 8
Hinweis: Die Nummerierung der Elemente der Teilmengen beginnt mit 0 -> 8 ist das 2. Element.
x = 1 + 1 weil 8 gerade ist
y = 4 - 1 weil 8 gerade ist
f(8) -> (2,3)

Hintergrund:
Ich nummerie die Paare folgendermaßen:
1 = (1/1)
2 = (1/2)
3 = (2/1)
4 = (3/1)
5 = (2/2)
6 = (1/3)
7 = (1/4)
8 = (2/3)
9 = (3/2)
10 = (4/1)
11 = (5/1)
12 = (4/2)

Beginne mit (1/1), gehe nach rechts, dann diagonal links oben, dann hoch, diagonal nach rechts unten, rechts, dann diagonal links oben usw.

Dabei bilden sich Diagonalen mit gleicher Summe von x+y und Summe-1 Elementen. Die Abbildung bijektiv.

(ii) NxQ

Ich würde hier bijektiv auf R tippen - kann es leider aber nicht beweisen =(
(evtl. etwas mit abzählbar / überabzählbar?)

(iii) P(N)

Ehrlich gesagt, weiss ich nicht einmal, ob dies ein spezielles Zeichen ist - ein P -artiges ist es auf jeden Fall.
Da weiss ich nicht, zu was das bijektiv sein soll =S

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn sich das jemand durchlesen könnte, auch wenns leider ein bisschen viel ist...

Vielen Dank!! smile

15.11.2008, 13:44

tmo

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zur a)

Die Vorrassetzung ist einfach nur, dass eine bijektive Abbildung zwischen A und N existiert. Benutze diese um eine bijektive Abbildung zwischen $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ zu konstruieren.

bei der b) ist es ähnlich. Zwischen A und N sowie B und N existieren bijektive Abbildungen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ . Ein Tipp hierzu:

Zunächst machst du dir klar, dass man annehmen kann, dass A und B disjunkt sind.

Finde bijektive Abbildungen $\begin{eqnarray*} g,u \end{eqnarray*}$ von N in die Menge der geraden Zahlen und von N in die Menge der ungeraden Zahlen.

Wenn du nun $\begin{eqnarray*} g \circ a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \circ b \end{eqnarray*}$ bildest, erhältst du bijektive Abbildungen von A in die Menge der geraden Zahlen und von B in die Menge der ungeraden Zahlen. Wenn du nun noch bedenkst, dass A und B disjunkt sind, bist du damit eigentlich schon am Ziel.

15.11.2008, 14:31

Reksilat

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RE: allgemeine mathematische Aussagen
Zuerstmal solltest Du Dich ein wenig der Lektüre von http://de.wikipedia.org/wiki/Abzählbarkeit und http://de.wikipedia.org/wiki/Überabzählbarkeit widmen, das wird schon einige Fragen beantworten.

Zu c):
(i) Der Beweis geht schon so, auch wenn ich den Anfang nicht verstanden habe. Big Laugh

Wenn Du einfach schreibst, dass Du die Paare wie folgt numerierst: Erst die Paare mit Summe 1, dann die mit Summe 2 usw., dann reicht das mMn aus. So explizit muss die Bijektion nicht angegeben werden.

(ii) Q ist letztlich nicht so verschieden von NxN, also kann man analog zeigen, dass Q und N gleichmächtig sind.

(iii) P(N) ist die Potenzmenge von N, also die Menge aller Teilmengen von N

15.11.2008, 22:28

Simon1

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RE: allgemeine mathematische Aussagen
Vielen Dank für eure Antworten! smile

Also meint ihr, die folgenden Antworten genügen?:

a) Falls A gleichmächtig zu N ist (was als Voraussetzung bereits im zu zeigenden Satz steht), gibt es eine bijektive Abbildung zwischen A und N. Da A und B zudem noch disjunkt sind, ist A U B gleichmächtig zu N.

b) A und B sind disjunkt. Gesucht ist eine bijektive Abbildung g und u von N in die Menge der geraden Zahlen und von N in die Menge der ungeraden Zahlen.
Aus g o a und u o b erhalte ich eine bijektive Abbildung von A in die Menge der geraden Zahlen und von B in die Menge der ungeraden Zahlen. Da zudem A und B disjunkt sind, gilt die Aussage, dass falls A und B gleichmächtig zu N sind, dass dann auch A U B gleichmächtig zu N ist.

c)
(i) Ich nummeriere die Paare mit der Summe 1, dann mit der Summe 2 etc.
1 = (1/1) ; 2 = (1/2); 3 = (2/1); 4 = (3/1) ....
Ich beginne mit (1/1), gehe dann nach rechts, dann diagonal nach links oben, dann hoch, diagonal nach rechts unten, nach rechts, dann diagonal nach links oben usw.....
Dabei bilden sich Diagonalen mit gleicher Summe von (x+y) und (Summe - 1) Elementen. Die Abbildung ist also bijektiv zu N.

(ii)
Q ist gleichmächtig zu N, da auch Q abzählbar ist. Daher ist auch diese Aussage bijektiv zu N.

(iii)
Die Potenzmenge P(N) hat genau 2^N Elemente: Die Wahl einer Teilmenge entspricht den (N) unabhängigen Wahlen zwischen den 2 Möglichkeiten, ob ein bestimmtes Element von N in der Teilmenge liegen soll oder nicht.
P(N) ist daher bijektiv zu R.

16.11.2008, 12:03

Reksilat

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RE: allgemeine mathematische Aussagen

Zitat:

a) Falls A gleichmächtig zu N ist (was als Voraussetzung bereits im zu zeigenden Satz steht), gibt es eine bijektive Abbildung zwischen A und N. Da A und B zudem noch disjunkt sind, ist A U B gleichmächtig zu N.

Reicht bei weitem nicht! Dass A und B disjunkt sind ist kein Argument (stimmt außerdem auch nicht). Du hast eine Numerierung von A, also A={a1,a2,a3,...} und B ist endlich: B={b1,...,bn}. Du musst nur noch eine Numerierung von A U B finden.

Zitat:

b) A und B sind disjunkt. Gesucht ist eine bijektive Abbildung g und u von N in die Menge der geraden Zahlen und von N in die Menge der ungeraden Zahlen.
Aus g o a und u o b erhalte ich eine bijektive Abbildung von A in die Menge der geraden Zahlen und von B in die Menge der ungeraden Zahlen. Da zudem A und B disjunkt sind, gilt die Aussage, dass falls A und B gleichmächtig zu N sind, dass dann auch A U B gleichmächtig zu N ist.

Absolut unverständlich. Du gibst ja nichtmal g und u an. Wieso sollen A und B disjunkt sein? Das steht nirgends.

Zitat:

c)
(i) Ich nummeriere die Paare mit der Summe 1, dann mit der Summe 2 etc.
1 = (1/1) ; 2 = (1/2); 3 = (2/1); 4 = (3/1) ....
Ich beginne mit (1/1), gehe dann nach rechts, dann diagonal nach links oben, dann hoch, diagonal nach rechts unten, nach rechts, dann diagonal nach links oben usw.....
Dabei bilden sich Diagonalen mit gleicher Summe von (x+y) und (Summe - 1) Elementen. Die Abbildung ist also bijektiv zu N.

Wenn Du hier von rechts, links und Diagonalen sprichst, solltest Du das ganze auch noch skizzieren! Sonst i.o.

Zitat:

(ii) Q ist gleichmächtig zu N, da auch Q abzählbar ist. Daher ist auch diese Aussage bijektiv zu N.

Warum ist Q abzählbar? Wurde das in der Vorlesung vorausgesetzt? Anschließend erfolgt die Argumentation mittels c)(i).

Zitat:

(iii)
Die Potenzmenge P(N) hat genau 2^N Elemente: Die Wahl einer Teilmenge entspricht den (N) unabhängigen Wahlen zwischen den 2 Möglichkeiten, ob ein bestimmtes Element von N in der Teilmenge liegen soll oder nicht.
P(N) ist daher bijektiv zu R.

Nicht nachvollziehbar! N sind die natürlichen Zahlen, was soll dann bitte 2^N sein?

16.11.2008, 13:23

tmo

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RE: allgemeine mathematische Aussagen

Zitat:

Original von Reksilat
Wieso sollen A und B disjunkt sein? Das steht nirgends.

Wenn es für disjunkte A,B gilt, gilt es auch für alle anderen Fälle:

Denn es ist $\begin{eqnarray*} A \cup B = A \cup (B \setminus A) \end{eqnarray*}$ .

Das letzte ist eine disjunkte Vereinigung, wobei $\begin{eqnarray*} (B \setminus A) \end{eqnarray*}$ endlich oder abzählbar ist.

16.11.2008, 13:45

Reksilat

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RE: allgemeine mathematische Aussagen
Das ist mir klar, aber Simon scheinbar nicht, denn er erwähnt es in keinem Wort, sondern setzt es voraus. So kann man nun mal nicht argumentieren.

16.11.2008, 14:54

Simon1

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RE: allgemeine mathematische Aussagen
Hallo miteinander!
Also, ich habe meine Antworten nun ein wenig aktiualisiert:

a) Voraussetzung ist, dass es eine bijektive Abbildung zwischen A und N gibt. Das heisst, es gibt eine Bijektion: §: N --> A U B. B kann man schreiben als: B = {b_1, b_2, ... , b_N} da B endlich ist. A ist abzählbar, also gibt es eine Bijektion f: N --> A.
Es gilt also: §(n) : =
(i) b_n , falls n<=N
(ii) f(n-N) andernfalls.
Reicht das nun?

b) Das habe ich nun mit dem Kommentar von tmo ergänzt - nun sollte es verständlich sein.

c)
(i) Ja, das habe ich mit einer Skizze aufgezeichnet - vielen Dank! smile

(ii) Hier hätte ich eine andere Argumentation (ich hoffe, die geht auch..):
Dass Q abzählbar ist, hatten wir in einer Vorlesung, ja.
Das cartesische Produkt zweier abzählbarer Mengen ist abzählbar. (Satz ebenfalls aus Vorlesung).

(iii) Eine Menge kann niemals gleichmächtig zu ihrer Potenzmenge sein, denn:
Angeonmmen es gäbe eine Surjektion f: X --> P(X), so betrachte die Menge M: = {x E X: x nicht Element von f(x))} E P(X). Da f surjektiv ist, gibt es S E X mit f(S) = M, dann kann aber weder S E M noch S nicht Element von M sein (!) - Widerspruch.

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