Konstante Folgen

14.11.2008, 16:17

energyfull

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Konstante Folgen

ich habe da bezüglich eine frage zu konstanten folgen, ich verstehe das irgendwie nicht , kann einer mir das erklären

als beispiel das zum beispiel:

$\begin{eqnarray*} (m_n)_{n=1}^ \infty \end{eqnarray*}$

konstant ist, habe das irgendwie noch nicht geblickt

14.11.2008, 16:24

Jacques

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Hallo,

Und wofür steht $\begin{eqnarray*} m_n \end{eqnarray*}$ ? So lange da kein konkreter Term ist, kann man natürlich auch nichts über die Folge sagen.

Allgemein: Konstante Folgen sind einfach solche Folgen, bei denen jedes Glied identisch ist.

Beispielsweise:

$\begin{eqnarray*} (4)_{n \geq 1} = 4, 4, 4, 4, \ldots \end{eqnarray*}$

14.11.2008, 16:28

energyfull

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also $\begin{eqnarray*} m_n \end{eqnarray*}$ ist eine folge natürlicher zahlen und ist konvergent in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$

14.11.2008, 16:34

Jacques

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Das ergibt für mich wenig Sinn... verwirrt

verwirrt

Also erstens meinst Du wohl, dass

$\begin{eqnarray*} (m_n)_{n=1}^ \infty \end{eqnarray*}$

eine konvergente Folge natürlicher Zahlen ist. Denn $\begin{eqnarray*} m_n \end{eqnarray*}$ ist ja einfach nur das allgemeine Glied.

Zweitens: Was hat das jetzt mit konstanten Folgen zu tun?

Und drittens: Warum soll die Folge konvergent in C sein? R reicht doch aus.

14.11.2008, 16:46

energyfull

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ja ich versthe das ja uch nicht so

da steht einfach: sei $\begin{eqnarray*} (m_n)_{n=1}^\infty \end{eqnarray*}$ eine folge natürlicher zahlen, die konvergent in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist.

jetzt soll man beweisen das $\begin{eqnarray*} (m_n)_{n=1}^ \infty \end{eqnarray*}$ "konstant" ist, d.h $\begin{eqnarray*} \exists N\forall n \geq N : a_n = a_N \end{eqnarray*}$

14.11.2008, 16:57

Jacques

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Ach so, Ihr habt „konstant“ also so definiert, dass alle bis auf endlich viele Glieder identisch sein müssen.

Dann ergibt die Aussage auch einen Sinn.

Ich würde zuerst zeigen, dass der Grenzwert selbst eine natürliche Zahl ist. Dann kannst Du die „Konstantheit“ über die Definition des Grenzwerts beweisen.

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14.11.2008, 18:30

energyfull

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was heisst denn jetzt geneau folge natürlicher zahlen

14.11.2008, 18:37

Jacques

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Das bedeutet, dass jedes Folgenglied eine natürliche Zahl ist. Die Folge besteht nur aus natürlichen Zahlen.

14.11.2008, 18:51

energyfull

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hmm aha

kann man jetzt auch schreiben

$\begin{eqnarray*} (m_n)_n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

14.11.2008, 19:04

Jacques

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Ich weiß nicht, ob es nur ein LaTeX-Fehler ist:

Also man kann schreiben

$\begin{eqnarray*} (m_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$

Aber das ist einfach nur eine alternative Schreibweise für

$\begin{eqnarray*} (m_n)_{n = 1}^{\infty} \end{eqnarray*}$

Man sagt damit nicht aus, dass dies eine Folge natürlicher Zahlen ist. Dafür müsste man schreiben:

$\begin{eqnarray*} m_n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

(oder Ähnliches)

Falls Du tatsächlich

$\begin{eqnarray*} (m_n)_n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

meintest, dann ist das falsch, denn eine Folge ist eine Funktion, kann also nicht Element der natürlichen Zahlen sein.

Es ginge höchstens

$\begin{eqnarray*} (m_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

14.11.2008, 19:17

energyfull

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nene das erste ist schon richtig,

das war ein latexfehler

14.11.2008, 19:25

Jacques

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Gut, wie geht es jetzt weiter? Oder was sind Deine Überlegungen?

Bisher hast Du ja nur eine neue Schreibweise ausprobiert, für den Beweis ist das eher irrelevant.

// edit: Wäre nett, wenn Du auch mal ein paar Minuten am Stück online bleiben und Dich der Sache widmen würdest.

14.11.2008, 20:06

energyfull

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$\begin{eqnarray*} m_n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

zu jedem epsilon existiert ein N $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass gilt | $\begin{eqnarray*} m_n \end{eqnarray*}$ |< für alle n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ N

zahl N hängt von epsilon ab
man muss N umso größer wählen, je kleiner epsilon ist.

$\begin{eqnarray*} m_n \end{eqnarray*}$ = m für alle n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ dann ist die konstante:

(m,m,m,m,..)

???

14.11.2008, 20:07

energyfull

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ich habe wieder ein latexfehler

14.11.2008, 20:12

Dual Space

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Nutze doch bitte die Edit-Funktion anstatt dieser lästigen Doppelposts. unglücklich

unglücklich

Zur Sache: Wähle Epsilon doch einfach mal kleiner als eins.

14.11.2008, 21:47

energyfull

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irgendewie bin ich total demotiviert, weiss jetzt nicht wie ich anfangen soll :-(

14.11.2008, 21:57

Dual Space

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Also wenn so gar nichts von deiner Seite kommt (außer Flausen) ist es echt nicht einfach dir zu helfen.

Die Folge (m_n) ist eine Folge natürlicher Zahlen. Wie groß ist denn der Abstand zweier natürlichen Zahlen mindestens, sofern sie nicht gleich sind?

15.11.2008, 15:58

energyfull

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also wenn man epsilon kleiner als 1 wähle würde,

ginge doch theoretisch auch die 0 oder habe ich das falsch verstanden

15.11.2008, 17:43

energyfull

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also ich habe jetzt bewiesen das diese folge konvergent ist, aber wie macht man das jetzt mit dem konstanten

kann mir einer nochmal helfen???

15.11.2008, 18:08

Dual Space

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Zitat:

Original von energyfull
also wenn man epsilon kleiner als 1 wähle würde,

ginge doch theoretisch auch die 0 oder habe ich das falsch verstanden

Hergott, überall steht doch $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Dual Space
Die Folge (m_n) ist eine Folge natürlicher Zahlen. Wie groß ist denn der Abstand zweier natürlichen Zahlen mindestens, sofern sie nicht gleich sind?

15.11.2008, 18:31

energyfull

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1 oder nicht

15.11.2008, 19:48

Dual Space

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Na wenigstens das weißt du.

Was beudetet denn nun eigentlich, dass eine Zahlenfolge konvergiert? Doch nichts weiter, als dass fast alle (d.h. alle bis auf endlich viele) Folgenglieder in einer beliebig kleinen Umgebung des Grenzwertes liegen.

Was bedeutet das nun für eine konvergente(!) Folge natürlicher Zahlen?

Ist der Groschen nun gefallen?

15.11.2008, 20:06

energyfull

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ich habe mal versucht zu zeigen, dass die folge konvergent ist, aber ob es richtig ist weiss ich nicht:

$\begin{eqnarray*} |m_n - m|< 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |m_n - m_n+1|= |m_n-m-(m_n+1 - m)|\leq |m_n -m|+|m_n+1 -m|< 1 \end{eqnarray*}$

diese +1 bezieht sich auf n also: m_n+1 nur ich habe das irgendwie nícht mit dem formeleditor geschafft, somit hat man doch die konvergenz bewiesen, und wie macht man das jetzt um zu bewiesen das sie konstant ist

15.11.2008, 20:47

Dual Space

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So mal aus Interesse: Was studierst du eigentlich?

Dein letzter Post ist durch und durch Unfug. unglücklich

unglücklich

Sei $\begin{eqnarray*} (m_n)\subset\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge natürlicher Zahlen mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet: Für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt es eine Zahl $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |m_n-m|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Sei nun o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} \varepsilon<\frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ . Das heißt der Abstand fast aller Folgenglieder zum Grenzwert ist kleiner als dieses Epsion. Also ...

16.11.2008, 23:32

energyfull

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ach ich weiss nicht irgendwie kappier ich gar nix mehr bei dieser aufgabe, habe was versucht was komplett falsch ist.

ich weiss einfach nicht mehr weiter, mein gehirn sagt irgendwie stop bei dieser aufgabe traurig

traurig

17.11.2008, 08:39

Dual Space

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Zitat:

Original von Dual Space
Sei $\begin{eqnarray*} (m_n)\subset\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge natürlicher Zahlen mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet: Für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt es eine Zahl $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} |m_n-m|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Sei nun o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} \varepsilon<\frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ . Das heißt der Abstand fast aller Folgenglieder zum Grenzwert ist kleiner als dieses Epsion. Also ...

Nimm doch nun einfach an die Folge wäre nicht konstant. Was weißt du dann über den Mindestabstand der Folgenglieder?

Ist doch ganz einfach.

17.11.2008, 14:45

energyfull

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es tut mir sehr leid ich verstehe bei dieser aufgabe gar nichts, und weiss jetzt auch nicht wie es weiter geht

17.11.2008, 15:54

Dual Space

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Ich kapituliere. Die Lösung steht bereits mehrmals da. Ich weiß nun auch nicht, wie ich dir das noch erklären kann.

Also: Der nächste (Helfer) bitte.

17.11.2008, 15:55

energyfull

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ja bis zu ihrem schritt verstehe ich das ja aber mein problem ist wie es weiter geht oder ist die aufgabe so schon zu ende

17.11.2008, 16:23

Airblader

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Naja, ich versuchs mal:

Du weißt, dass die Folge konvergent ist. Das heißt, völlig egal, wie klein du Epsilon wählst, die Folgenglieder weichen vom Grenzwert ab einem gewissen Index um weniger als Epsilon ab.
Sagen wir also 'spaßeshalber' mal, wir wählen $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 0.1 \end{eqnarray*}$ .

Du weißt nun, es gibt einen Index, so dass alle Folgenglieder danach um weniger als 1/10 vom Grenzwert m abweichen.

Jetzt nur mal angenommen, die Folge wäre nicht konstant. Das bedeutet doch, zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder sind nicht gleich (jedenfalls nicht alle). Wenn sie nicht gleich sind, dann haben sie, wie du ja weißt, mindestens den Abstand 1.

Und jetzt vereine diese beiden Überlegungen:
- Ab einem gewissen n weichen alle m_n weniger als Epsilon von m ab
- (m_n) ist nicht konstant, aufeinanderfolgende Folgenglieder haben also bis auf endlich viele Ausnahmen mindestens den Abstand 1

Siehst du einen "Fehler" (Widerspruch)?

air

17.11.2008, 16:42

energyfull

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ja weil sie müssen ja alle gleich sein, d.h den selben abstand haben oder nicht??

17.11.2008, 16:58

Airblader

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Du musst dich präziser ausdrücken. Was muss gleich sein, was den selben Abstand haben?

Der Witz ist übrigens, dass du doch begründen sollst, warum die Folgenglieder gleich sein müssen (und die Folge damit konstant ist).

air

17.11.2008, 17:01

energyfull

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die folgenglieder müssen gleich sein,

genau das ist ja mein problem, bweisen das es konstant ist,

und wie soll ich das alles mathematisch ausdrücken was sie mir erkärt haben

17.11.2008, 17:05

Airblader

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Also zum Einen Duzen wir uns hier Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zum anderen:
Ich habe dir gar nichts erklärt, sondern Hinweise gegeben. Kümmer dich mal noch gar nicht um mathematischen Formalismus. Begründe doch erstmal, warum die Folge denn nun konstant sein muss - decke den Widerspruch auf!

air

17.11.2008, 17:23

energyfull

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ja damit unsere bedingung erfüllt ist. snst stimmt es doch mit der konvergenz nicht überein

17.11.2008, 21:14

Airblader

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Also ich weiß nicht, ob du es nun verstanden hast, denn irgendwie willst du dich einfach nicht präzise ausdrücken.
Wenn du denkst, du hast es verstanden, kannst du nun ja mal versuchen, das ordentlich aufzuschreiben und etwas mathematischer zu werden.

air

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