Spuren nilpotenter Matrizen

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Stephan Auf diesen Beitrag antworten »
Spuren nilpotenter Matrizen
Hallo,

ich würde gerne für A(n,n) beweisen:

A nilpotent <=> spurA^k =0 für k=1,...,n


das "=>" is ja eigentlich kein problem, aber die Rückrichtung macht mir Sorgen... ich kriegs einfach nicht hin...

Gruß,
Stephan
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Was weisst du denn alles schon ueber nilpotente Matrizen und ueber Spuren?
Kennst du den Satz von Cayley-Hamilton schon?
Weisst du schon wie das charakteristische Polynom einer nilpotenten Matrix aussieht?
Was weisst du ueber die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms einer Matrix im Allgemeinen?

Wenn ich die Antworten dieser Fragen hab, geht die Hilfe viel besser. smile
Stephan Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich kenne den Satz von Cayley-Hamilton... oder kann ihn mir schnell anlesen...

das Charakt. Polynom einer nilpotenten Matrix ist +/- X^n

Spur ist die Summe der Diagonalglieder... hmmm

nilpotente Matrizen: A^n=0...

hmmm na ja, fang doch einfach mal an zu erklären, ich frag dann schon, wenn ich was nicht verstehen würde Augenzwinkern

Gruß,
Stephan
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich dachte mir das in etwa so:

Da jede Potenz einer nilpotenten Matrix selbst nilpotent ist, genügt es zu zeigen, dass A selbst die Spur 0 hat.

Fuer das charakteristische Polynom einer Matrix gilt, dass der zweithöchste Koeffizient (der Koeffizient vor X^{n-1}) die Spur der Matrix ist. (Vielleicht weisst du das ja auch schon. Dann benutzen wir das hier. Ansonsten folgt das aus der Leibniz-Formel für Determinanten.) Da A nilpotent ist, ist sein charakteristisches Polynom +/- X^n und damit die Spur von A Null.
Stephan Auf diesen Beitrag antworten »

ja, so ähnlich hab ich das ja auch aber das zeigt j nur => und nicht auch noch <= ... und da liegt mein Problem

wie zeige ich, dass A nilpotent ist, wenn die Spuren 0 sind...
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, wir haben die ganze Zeit nur die eine Richtung gemacht. Sorry.

Dann durchdenken wir mal die andere Richtung...
verwirrt
 
 
Stephan Auf diesen Beitrag antworten »

danke euch...
Stephan Auf diesen Beitrag antworten »

ach ja, nur noch zur erweiterung:

nicht nur Spur A muss null sein, sondern auch Spur A^2 und Spur A^k für alle k von 1 bis n...
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Gott Sorry, dass ich nicht g'scheit gelesen hab.
Hier die andere Richtung. Zu deiner Beruhigung sei gesagt, dass ich mir die Lösungsskizze ergooglet habe und sie ausformuliert habe:


Da A als nilpotente Matrix ähnlich zu einer Matrix B in Jordanscher Normalform ist und ähnliche Matrizen diegleiche Spur haben, gilt auch für B, dass Spur(B^k) = 0 ist für alle 1<=k<=n. Wenn wir zeigen, dass B nur 0 als Eigenwert hat, haben wir B als nilpotent nachgewiesen und wegen der Ähnlichkeit zu B damit auch A.

B hat nur 0 als Eigenwert:
Seien l_1, ..., l_j die verschiedenen Eigenwerte UNGLEICH NULL von B und n_1, ..., n_j die zugehörigen Summen der "Grössen" der Jordanblöcke zum Eigenwert l_i. Dann gilt für jedes 1<=k<= n die Gleichung
.
Wir erhalten ein Gleichungssystem mit k Gleichungen und j Unbekannten n_i. Schreiben wir dieses in Matrixschreibweise
,
so erhalten wir
.
C ist eine Vandermonde-Matrix, deren Determinante nicht Null ist. Also hat das Gleichungssystem nur die triviale Lösung n_1 = ... = n_j = 0.
Also sind alle Eigenwerte von B Null, was gleichbedeutend damit ist, dass B nilpotent ist.


Normalerweise poste ich ja keine kompletten Lösungen hier rein. Aber in diesem Fall mache ich eine Ausnahme, denn ich denke, du hast noch genug Arbeit damit, den Beweis zu verstehen. Augenzwinkern

EDIT: 4 Woerter eingefuegt, die ich gestern in allgemeiner Verwirrtheit vergessen hatte.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Bin mal gespannt, ob er alles, was du im Beweis benutzt hast, schon kennt. Ich glaube mich zu erinnern, dass wir diese Aufgabe hatten, lange bevor die Jordan-NF eingeführt wurde.

Gruß vom Ben

Edit: Hab nochmal nachgeschaut, und nehme alles zurück. Hab die Aufgabe nämlich gar nicht gefunden unglücklich
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

@Ben
Ja, ich dachte mir auch sowas und habe in meinem Skript nachgeschaut. Dort habe ich feststellen müssen, dass wir auch nur die Hinrichtung als Aufgabe auf einem Übungsblatt hatten, nicht aber besagte Rückrichtung. Dann hat mich mein Ehrgeiz gepackt und ich wollte diese Aufgabe unbedingt lösen. Nur leider hatte ich überhaut keine Ahnung, wie man das am geschicktesten angehen sollte. Erst googeln mit "nilpotent if and only if" hat mich auf eine Seite mit dieser Rückrichtung und einer Lösungsskizze dazu geführt.

Auf den Trick, es mit der Jordannormalform zu machen, wäre ich NIE IM LEBEN gekommen. Mittlerweile - auch durch mein Dasein als Lineare-Algebra-Übungsgruppenleiterin - weiss ich, dass diese Jordanform ein sehr nützliches Zeugs ist... Bin immer wieder überrascht.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht umsonst ist sie doch irgendwie der Höhepunkt einer LA-Vorlesung. So kam es mir jedenfalls vor, als ich damals für die Prüfung gelernt hab und den roten Faden gesehen hab.

Gruß vom Ben
Stephan Auf diesen Beitrag antworten »

hi, erst mal danke für die Hilfe... hat mir wirklich weiter geholfen und verstanden habe ich auch alles smile
die Idee hat einfach gefehlt... na ja, jetzt bin ich schlauer smile

Gruß,
Stephan

PS: Jordanform haben wir ende LA I gemacht... is das normal, wenn das der "Höhepunkt" ist?
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