Permutationsmatrix im Gauß-Algorithmus

15.11.2008, 19:56	andreas911	Auf diesen Beitrag antworten »
Permutationsmatrix im Gauß-Algorithmus Hallo zusammen! wir haben vor kurzem den Gauß Algorithmus eingeführt und wie man ihn verwendet habe ich auch Verstanden. Nun sollen wir folgende Aufgabe lösen: Es seien $\begin{eqnarray} e_{i} \in K^{n x 1}, i=1,...,n \end{eqnarray}$ die i-ten Einheitsvektoren. Zeigen Sie dass gilt: $\begin{eqnarray} P_{ij} = I_{n}-(e_{i}-e_{j})(e_{i}-e_{j})^{T} \end{eqnarray}$ Was mir nicht klar ist, was die e´s genau darstellen sollen mit ihren Indizes... Sind das Spalten der Einheitsmatrix I? Ich würde mich freuen, wenn jemand von mir Licht ins Dunkel bringen könnte Danke schonmal!
15.11.2008, 20:08	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ ist der sog. i-te Eiheitsvektor. Er hat in der i-ten Komponente eine 1 und sonst überall eine 0. also $\begin{eqnarray} e_1=(1,0,...,0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e_2=(0,1,...,0) \end{eqnarray}$ etc.
15.11.2008, 20:38	andreas911	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte mir vielleicht jemand ein Beispiel aufschreiben? Mir ist nicht klar, wie man von den Einheitsvektoren zu dieser Permutationsmatrix kommt... Wo liegt denn der Zusammenhang zur eigentlichen Matrix? Wenn ich folgendes annehme: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 3 & 3 \\ 8 & 0 & 0 & 8 \\ 4 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Beim ausrechnen hat sich nun folgendes ergeben: $\begin{eqnarray} P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie komme ich nun mit der Formel auf diese Matrix? Und wie kann ich das beweisen?
16.11.2008, 14:20	andreas911	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat wirklich keiner eine Idee wie hier vorzugehen ist - oder kann mir wenigstens sagen, wo mein Denkfehler ist? Würde mich sehr freuen über eine Antwort!!

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