Vektorraum, Untervektorraum

15.11.2008, 21:32

Susann18

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Vektorraum, Untervektorraum

Im folgenden sei immer $\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ . \\ . \\ . \\ x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Vektor aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n (n\geq 2) \end{eqnarray*}$ . Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ?

a) $\begin{eqnarray*} U:=\{x\in \mathbb R | x_i=0\} \end{eqnarray*}$ für ein fest gewähltes $\begin{eqnarray*} i\in \{1,2,...,n\} \end{eqnarray*}$

Wie muss ich vorangehen?
An sich muss ich die Kriterien überprüfen die für einen Untervektorraum gelten:
Dies wären:
1) $\begin{eqnarray*} 0\in V \end{eqnarray*}$
2) Abgeschlossenheit bezüglich der Addition
3) Abgeschlossenheit bezüglich der Skalarmultiplikation

Wie fange ich an?
Es gilt: $\begin{eqnarray*} x_i=0\Rightarrow 0\in U \end{eqnarray*}$
Weiterhin gibt es ein $\begin{eqnarray*} x_i,y_i\in U\Rightarrow x_i+y_i\in U \end{eqnarray*}$ .
Und es gibt ein $\begin{eqnarray*} \lambda\in k, x_i\in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda x_i\in U \forall\lambda \in k, \forall x_i\in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow U \end{eqnarray*}$ ist ein Untervektorraum.

Mache ich das so richtig oder ist das komplett daneben.

Danke für eure Mühe

15.11.2008, 22:22

tigerbine

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RE: Vektorraum, Untervektorraum
ja, so musst du das prüfen, aber zum nachweis deutlicher ausformulieren. ferner bei 2 und 3. Man nimmt an, dass es x,y in gibt, dann muss du zeigen, dass auch x+y in U liegt.

16.11.2008, 02:58

Susann18

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RE: Vektorraum, Untervektorraum
Also ist der erste Schritt korrekt und ich müsste den zweiten und dritten Schritt verfeinern.

Könnte ich das so machen?
Wegen $\begin{eqnarray*} x_i=y_i=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\in\{1,2,...,n\} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} x_1+y_1=0\Rightarrow x_i+y_i\in U \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\in\{1,2,...\} \end{eqnarray*}$
und wegen $\begin{eqnarray*} x_i=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\in\{1,2,3,...,n\} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lambda x_i=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\in\{1,2,...\},\forall \lambda \in k\Rightarrow \lambda x_i\in U \end{eqnarray*}$

So in etwa vielleicht?

16.11.2008, 10:12

tigerbine

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RE: Vektorraum, Untervektorraum
Nein.

Sei i fix, und seien x und y Elemente von U. Da gilt für

$\begin{eqnarray*} z:=x+y \end{eqnarray*}$

Aufgrund der definierten komponentenweisen Addition (Dass diese gemeint ist folgere ich ausd er Frage UVR des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} z_i=x_i+y_i \stackrel{\in U}= 0+0 =0 \end{eqnarray*}$

Somit liegt auch z in U.

16.11.2008, 17:19

Susann18

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RE: Vektorraum, Untervektorraum
Was meinst du mit sei i fix? Meinst du damit sei i fest? Sorry, aber das Wort höre ich zum ersten Mal.

Also dann müsste doch die Skalarmultiplikation so gezeigt werden.

Sei i fest oder wie du sagst fix, und sei x Element von U. Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} r:=\lambda x\Rightarrow r_i=\lambda x_i=\lambda 0=0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} r\in U \end{eqnarray*}$

Geht das so?

Wenn ja kommt auch schon die nächste Menge:

$\begin{eqnarray*} V:=\{x\in \mathbb R^n| \text{es gibt ein}\ \ i\in \{1,2,...,n\}\ \text{mit} \ x_i=0\} \end{eqnarray*}$
Wegen $\begin{eqnarray*} \exists i\in \{1,2,...,n\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_i=0\Rightarrow 0\in V \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} i\in \{1,2,...,n\}, x,y\in V \end{eqnarray*}$
Dann gilt: $\begin{eqnarray*} z:=x+y \end{eqnarray*}$
Wegen $\begin{eqnarray*} \exists i\in \{1,2,...,n\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_i=0 \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} z_i=x_i+y_i=0+0=0 \Rightarrow z\in U \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} i\in \{1,2,...,n\}, x,y\in V, \lambda \in k \end{eqnarray*}$
Dann gilt: $\begin{eqnarray*} r:= \lambda x \end{eqnarray*}$
Wegen $\begin{eqnarray*} \exists i\in \{1,2,...,n\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_i=0 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} r_i=\lambda x_i=\lambda 0=0 \Rightarrow r\in V \end{eqnarray*}$

Geht das so?

16.11.2008, 17:29

tigerbine

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RE: Vektorraum, Untervektorraum
Jo, mit fix meine ich wir halten den Index i fest. Teil 3 passt dann auch.

Bei der nächsten Aufgabe ist dieses i eben nicht mehr fest, wir packen alle Vektoren in die Menge, die (mindestens) ein Element haben, welches gleich 0 ist.

1. Der Nullvektor liegt dann sicherlich drinnen.

2. Nun nehmen wir 2 Elemente raus. ABER, mit Nullen an unterschiedlichen Stellen. Ferner will ich sogar, dass die Vektoren NUR eine Null haben. Dann hat der Summenvektor z:=x+y sicherlich kein "Null"Stelle. Damit liegt er nicht in M.

FERTIG, wir haben ein GEgenbeispiel gefunden.

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16.11.2008, 17:54

Susann18

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RE: Vektorraum, Untervektorraum
Wir packen ja alle Veltoren in die Menge rein die mindestens eine Null haben, also gibt es auch Elemente in diesem Vektore die nicht 0 sind, denn voraussetzgesetzt wird ja dass es mindestens eins besitzen muss.
Um zu zeigen dass die Menge abgschlossen ist bezüglich der Addition packen wir uns zwei Elemente raus, wovon eins nicht 0 ist, dann ist auch die Summe $\begin{eqnarray*} z=x+y\neq 0 \end{eqnarray*}$ also erhalten wir ein Vektor der keine 0 besitzt und damit nicht in die Menge gehört, denn es muss ja mindestens eine 0 enthalten sein, woraus wir schließen dass die Menge nicht abgschlossen ist bezüglich der Addition.
Habe ich das richtig verstanden?

Langsam leuchtet es mir denke ich ein, aber wie schreibe ich das jetzt mathematisch auf?

16.11.2008, 18:01

tigerbine

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RE: Vektorraum, Untervektorraum
Jo, so langsam klingelt es. Du schreibst auf.

Behauptung:

Menge V als Teilmenge der IR^n ist ein UVR.

Beweis:

Wenn die Behauptung stimmt, muss auch die Summe zweier Beliebiger Vektoren wieder in V liegen. Gib das konstruierte Gegenbeispiel an. .....

Somit ist die Behauptung falsch und V kein UVR.

16.11.2008, 18:27

Susann18

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RE: Vektorraum, Untervektorraum
Super, ich habs nicht einfach nur irgendwie aufgeschrieben bekommen, sondern erlange sogar sehr viel Verständnis, das ist Mal effiziente Hilfe.
Danke dir dafür Tigerbine.

Es kommt auch schon die nächste Menge:

$\begin{eqnarray*} W:=\{x\in \mathbb R^n | x_1=1\} \end{eqnarray*}$

Die Menge irritiert mich ein bisschen, denn wie kann ich hier herausfinden ob die 0 in der Menge enthalten ist, wir haben nur die Information, dass $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} x\in mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Aber was ist mit $\begin{eqnarray*} x_2, x_3,...,x_n \end{eqnarray*}$ ? Da könnte doch evtl. eine 0 enthalten sein verwirrt

verwirrt

16.11.2008, 18:29

tigerbine

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RE: Vektorraum, Untervektorraum

Zitat:

Original von Susann18
Super, ich habs nicht einfach nur irgendwie aufgeschrieben bekommen, sondern erlange sogar sehr viel Verständnis, das ist Mal effiziente Hilfe.
Danke dir dafür Tigerbine.

Freut mich dass unser Boardprinzip Anklang findet

Zitat:

Es kommt auch schon die nächste Menge:

$\begin{eqnarray*} W:=\{x\in \mathbb R^n | x_1=1\} \end{eqnarray*}$

Die Menge irritiert mich ein bisschen, denn wie kann ich hier herausfinden ob die 0 in der Menge enthalten ist, wir haben nur die Information, dass $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Aber was ist mit $\begin{eqnarray*} x_2, x_3,...,x_n \end{eqnarray*}$ ? Da könnte doch evtl. eine 0 enthalten sein verwirrt

verwirrt

Hat denn der Nullvektor des IR^n in der ersten Komponente eine 1 stehen? Idee!

Idee!

?

16.11.2008, 18:45

Susann18

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RE: Vektorraum, Untervektorraum
Natürlich nicht und somit wäre doch schon gezeigt, dass W kein Untervektorraum ist, denn $\begin{eqnarray*} \vec{0}\notin W \end{eqnarray*}$ . Jetzt muss ich das natürlich verstehen und habe diesbezüglich ne Frage. Würde gelten: $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ , dann wäre der 0 Vektor doch drinn oder? Denn dann könnte man einen einen einelementigen Vektor nehmen und ihn beliebig wählen, also auch 0.
Ich hoffe ich habe das richtig verstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nächste Menge wäre:
$\begin{eqnarray*} X:=\left\{x\in \mathbb R^n| \sum_{i=1}^{n-1}~x_i=x_n\right\} \end{eqnarray*}$

Dazu habe ich mir Mal folgendes überlegt:
Für die Summe von $\begin{eqnarray*} i=1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} x_1=x_1 \end{eqnarray*}$
Für die Summe von $\begin{eqnarray*} i=2 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} x_1+x_2=x_2 \end{eqnarray*}$

Die Eigenschaft eines Nullvektors ist doch gerade: $\begin{eqnarray*} \vec{a}+\vec{0}=\vec{a} \end{eqnarray*}$ und somit muss $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ sein und wenn man die Summendarstellung soweiter macht, bekommt man $\begin{eqnarray*} x_2,x_3,...,x_n-2=0 \end{eqnarray*}$ woraus folgt: $\begin{eqnarray*} 0\in X \end{eqnarray*}$

Was sagst du zu dieser Überlegung?

16.11.2008, 18:51

tigerbine

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RE: Vektorraum, Untervektorraum
Ich habe extra betont, dass es nötig ist, dass wir vom IR^n reden. In anderen VR muss der Nullvektor (neutrales Element der Gruppe) ja nicht unbedingt aus lauter Nullen bestehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

hier ist es aber der IR^n und damit kicken wir die "Anfrage: UVR oder kein UVR" gleich in Punkt 1 raus. Tipp: hat man einen widerspruch gefunden, reicht es diesen Anzugeben. Du musst also die anderern Dinge nicht testen. Zur Übung kann man aber gerne überprüfen, ob man noch an mehr Stellen scheitern würde / oder ob es der einzige Widerspruch ist.

Noch eine? Wann simmer den mit dem Zettel durch? Big Laugh

Big Laugh

16.11.2008, 18:53

tigerbine

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Nachtrag
Du musst mit der Definition der Menge arbeiten. n ist nicht konkret angegeben. also

1. $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n-1}~0 = 0 \end{eqnarray*}$ , also liegt der Nullvektor des IR^n in X.

16.11.2008, 18:55

Susann18

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RE: Vektorraum, Untervektorraum
Achso, ok.

Und wieso hast du mal eben: $\begin{eqnarray*} x_i=0 \end{eqnarray*}$ gesetzt?
Also in der Summe.
haha ich belästige dich nur noch mit dieser Aufgabe, die anderen mache ich dann, bzw. versuche es selbst.

16.11.2008, 18:56

tigerbine

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RE: Vektorraum, Untervektorraum
Weil die Komponenten des Nullvektors alle Null sind? Big Laugh

Big Laugh

edit:

Zitat:

a) $\begin{eqnarray*} U:=\{x\in \mathbb R | x_i=0\} \end{eqnarray*}$ für ein fest gewähltes $\begin{eqnarray*} i\in \{1,2,...,n\} \end{eqnarray*}$

Sollte es nicht x aus IR^n heißen?

16.11.2008, 19:04

Susann18

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RE: Vektorraum, Untervektorraum
Achso Augenzwinkern

Augenzwinkern

das ist natürlich logisch

ja stimmt, es soll heißen IR^n...

und bevor ich dir jetzt langsam alle Nerven raube versuche ich die anderen Aufgaben mal selbst zu lösen, ich hoffe es gelingt mir.

16.11.2008, 19:12

tigerbine

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RE: Vektorraum, Untervektorraum
Wenn Fragen sind darfst du gerne wiederkommen. Wink

Wink

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