Basis R^4

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strato Auf diesen Beitrag antworten »
Basis R^4
Hi!

Ich habe folgende Vektoren:






und soll zeigen, dass sie eine Basis des R-VR bilden.

Mir ist klar, dass ich jetzt in der Matrix Rechenoperationen durchführen muss.
Wir haben auch drei versch. Zeilenoperationen notiert - nur sind die mir leider nicht ganz klar.

I: Ersetzen der i-ten Zeile durch
II: Ersetzen der i-ten Zeile durch
III: Vertauschen von zwei Zeilen.

III ist mir natürlich klar; aber bei den ersten zwei Typen weiß ich nicht, was zu tun ist/wäre.
Denn um die Aufgabe zu erfüllen, muss ich ja sicherlich auch die ersten zwei Operationen verwenden.

Könnte das vl. jemand erklären?

Danke! smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis R^4
Nr. I sagt, daß du eine beliebige Zeile mit einer beliebigen Zahl ungleich Null multiplizieren darfst.

Nr. II sagt (wenn man mal von deinem Schreibfehler absieht), daß du zu einer beliebigen Zeile ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile addieren darfst.

Die Matrix aus deinen 4 Vektoren mußt du mit Gauß-Algorithmus auf Zeilenstufenform bringen.
strato Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke. smile

Das heißt also, dass ich eine Zeile auch mit -1 multiplizieren darf?

Also muss ich die Matrix mit diesen 3 Operationen so umformen, dass "links unten" nur Nullen stehen ("etwas" unmathematisch ausgedrückt Augenzwinkern ).
strato Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Matrix jetzt auf die Form

1 0 1 1
0 2 2 2
0 0 1 2
0 0 0 1

gebracht.

Ist es überhaupt möglich, die 1 beim ersten Vektor "wegzubringen"?
In den Vorlesungen hatten wir bis jetzt nur Vektoren, die mit 0 angefang haben.
hamboc Auf diesen Beitrag antworten »

ne, ist nicht möglich, aber so ist es genau richtig, diese matrix liefert dir ein neues LGS, das sich problemlos auflösen lässt. du fängst in der untersten zeile an, denn da steht nun eine gleichung mit einer variablen und arbeitest dich damit weiter hoch bis du alles gelöst hast.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von strato
Das heißt also, dass ich eine Zeile auch mit -1 multiplizieren darf?

Ja, denn -1 ist bekanntlich nicht Null. smile

Zitat:
Original von strato
Also muss ich die Matrix mit diesen 3 Operationen so umformen, dass "links unten" nur Nullen stehen ("etwas" unmathematisch ausgedrückt Augenzwinkern ).

Ja.

Zitat:
Original von strato
Ist es überhaupt möglich, die 1 beim ersten Vektor "wegzubringen"?

Sofern die Matrix auf Zeilenstufenform ist, nein. Das ist ja auch nicht erforderlich.

Und was ist jetzt dein Ergebnis?
 
 
strato Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichungen würden dann lauten:
(ich mache es jetzt analog zu einem Bsp. aus der Vorlesung)





und bei der vierten bin ich mir jetzt nicht sicher...da wäre dann ja alles ?!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn das jetzt? verwirrt

Frage 1: sind deine 4 Vektoren linear unabhängig?

Frage 2: aus wievielen Vektoren muß eine Basis R^4 bestehen?
strato Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt ja:

1 0 1 1
0 2 2 2
0 0 1 2
0 0 0 1

Prinzipiell bilden jetzt doch die Zeilen (ohne Null) die Basis.

Wie hamboc schon erwähnt hat, sollte ich jetzt ein LGS bekommen.
In dem Fall habe ich das jetzt ja falsch gemacht...wie würde ich denn dieses LGS korrekt erstellen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von strato
Prinzipiell bilden jetzt doch die Zeilen (ohne Null) die Basis.

Was heißt "ohne Null"? Nimm die einzelnen Zeilen als Vektoren (mit den Nullen). Das sind dann deine Basisvektoren. Den Beitrag von hamboc ignorierst du einfach.
strato Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, dann ist gar kein LGS nötig? Bzw. ist die Aufgabe damit schon erfüllt?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
strato Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, gut...das mit dem LGS hat mich nämlich etwas verwirrt. smile

Nun soll man noch die Koordinaten des Vektors (1,0,0,0) bzgl. der Basis dieser Aufgabe berechnen.

Wie macht man denn das?

Also, die Basisvektoren lauten nun ja:




klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid. Jetzt war ich etwas leichtsinnig. Also nochmal zusammengefaßt:

Du hattest ganz am Anfang 4 Vektoren gegeben. Damit sie eine Basis bilden, müssen sie linear unabhängig sein. Das hast du mit der Matrix, die Zeilenstufenform ist, gezeigt. Denn dort entstand keine Nullzeile. Die Zeilen der Matrix könntest du auch als Basis nehmen. Die Aufgabe bezieht aber auf die vorgegebenen Vektoren ganz am Anfang. So, das dazu.

Jetzt sucht man die Koordinaten des Vektors (1,0,0,0) bezüglich der Basisvektoren ganz oben. Dazu mußt du ein Gleichungssystem aufstellen.
strato Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich habe noch eine Zwischenfrage:

Ich habe noch eine ähnliche Aufgabe, in der gefragt wird, ob die Vektoren (es sind 5 Vektoren angegeben) eine Basis des -Vektorraumes ( bilden.

Muss/kann ich da genau gleich vorgehen wie bei der vorigen Aufgabe?
strato Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, danke!

Jetzt ist es um vieles klarer geworden. smile
Ich habe also dadurch bewiesen, dass sie linear unabghängig sind und somit eben eine Basis bilden. Dass die gegebenen Vektoren die Basisvektoren sind, steckt ja schon in der Angabe.

Also...ein LGS mit dem zusätzlichen Vektor und den Basisvektoren?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
strato Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ok.


Also habe ich dann ein LGS mit 5 Gleichungen?!
Die 4 Basisvektoren und diesen zusätzlichen Vektor, dessen Koordinaten bestimmt werden sollen.

Jetzt ist nur die Frage, wie ich das korrekt aufstelle, da ich mir nicht sicher bin ob mein voriges LGS richtig gewesen wäre, wenn ich es gebraucht hätte?


Ich habe z.B. für den Vektor (0, 1, 1, 1) einfach:



und das dann für alle Vektoren so machen, dann usw ausrechnen?







Und ich habe noch eine Zwischenfrage:

Ich habe noch eine ähnliche Aufgabe, in der gefragt wird, ob die Vektoren (es sind 5 Vektoren angegeben) eine Basis des -Vektorraumes ( bilden.

Muss/kann ich da genau gleich vorgehen wie bei der vorigen Aufgabe?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von strato
Also habe ich dann ein LGS mit 5 Gleichungen?!

Nein, es sind nur 4 Gleichungen. Wenn u, v, w und y deine Basisvektoren sind, dann sind Werte a, b, c und gesucht mit



Das führt dann zur 4 Gleichungen.

Zitat:
Original von strato
Ich habe noch eine ähnliche Aufgabe, in der gefragt wird, ob die Vektoren (es sind 5 Vektoren angegeben) eine Basis des -Vektorraumes ( bilden.

Muss/kann ich da genau gleich vorgehen wie bei der vorigen Aufgabe?

Im Prinzip ja. Mit diesen Vektorräumen kenne ich mich allerdings nicht so gut aus.
strato Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt folgende Lösungen bekommen:

a = -2/3
b = 1/3
c = 1/3
d = 1/3


Wenn ich einsetze, stimmt es auch...sollte also richtig sein. smile


Dann versuche ich mich jetzt mal an der zweiten Aufgabe. smile
strato Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt bzgl.
"Ich habe noch eine ähnliche Aufgabe, in der gefragt wird, ob die Vektoren (es sind 5 Vektoren angegeben) eine Basis des -Vektorraumes ( bilden.

Muss/kann ich da genau gleich vorgehen wie bei der vorigen Aufgabe?"

mal umgeformt und folgendes herausbekommen:

1 1 0 1 0
0 -1 0 0 -1
0 0 -1 1 -2
0 0 0 -2 0
0 0 0 0 -3


Falls "klarsoweit" tatsächlich meint, dass er sich damit zuwenig auskennt (obwohl ich das bezweifle smile ), kann sich vl. jemand anderes melden.
Wenn ich bei den Umformungen keinen Fehler gemacht habe, dann ist jetzt ja die Stufenform gegeben und es gibt keine "Nullzeile"; jetzt ist nur die Frage ob es für den Raum überhaupt analog ist.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von strato
jetzt ist nur die Frage ob es für den Raum überhaupt analog ist.

Im Prinzip ja. Ich würde aber erwarten, daß die Vektoren aus nur aus Nullen und Einsen bestehen, was ja jetzt bei dir nicht der Fall ist.
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