Ringe, Körper, Gruppen - Verständnisproblem

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Sandara Auf diesen Beitrag antworten »
Ringe, Körper, Gruppen - Verständnisproblem
Hallosmile

wir haben in der letzten Vorlesung Ringe, Gruppen und Körper gehabt, aber ich hab das wohl doch nicht verstanden, denn ich habe Votieraufgaben und schriftliche Hausaufgaben und weiß nicht, wo ich bei den Aufgaben anfangen soll.

Bsp:

A) Zeige: Die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition (,+) als Verknüpfung ist eine Gruppe.

Und da ist mein Problem: Was soll ich zeigen und wo fang ich an? Nehme ich einfach Elemente aus der Menge der ganzen Zahlen?

Es ist bestimmt trivial, aber ich steh da irgendwie auf dem Schlauchunglücklich , v.a. weil ich im Internet und einem Mathebuch das zwar auch nachgelesen habe, aber das Gefühl hab, dass mir irgendein Zusammenhang fehlt.

Vllt. könnt ihr mir helfen?

Viele Grüße
Sandra
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ringe, Körper, Gruppen - Verständnisproblem
Was ist denn eine gruppe`?
Sandara Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Tigerbiene,

ich hab folgendes über Gruppen mitbekommen:
Eine Gruppe besteht grob gesagt aus einer Menge und einer Verknüpfung derer Elemente (.z.B. Addition oder Multiplikation). Man verlässt bei der Verknüpfung nicht die Menge, dann ist es abgeschlossen.

Die Verknüpfung muss assoziativ sein, d.h. wenn zwei Elemnte addiert werden, dann gilt auch, dass das zweite Element + das erste Element das Element in der Menge ergibt. Ich glaube, dass auch die Kommutativität bzgl. der Multiplikation gelten muss zwischen den Elementen?

Okay, aber wie verhält es sich mit dem Inversen Element? Es soll ja ein neutrales Element dabei sein, das wäre 1, aber das Inverse? Wie stell ich mir das vor?

Und vor allem, wenn ich die Aufgabe oben anschau, wie pack ich das an? Sag ich einfach, es gibt zwei
Elemente für die das gilt? Ich tu mir etwas schwer mit dem Beweisen und wann es genug ist.

Lg
Sandra
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Definition gibt eine Checkliste dessen, was zu prüfen ist. http://de.wikipedia.org/wiki/Gruppentheorie#Definition

Wir haben hier also als Menge zzg. Verknüfung gegeben.Und da fängt es auch schon an. Wie sollen wir denn 2 Elemente addieren? Das klingt hier nun extrem pingelig, aber würde ich eine andere Menge oder unbekannte Verknüfung wählen, wäre das deine erste Frage gewesen. Augenzwinkern

Was habt ihr denn dazu aufgeschrieben, vielleicht auch mal bei den natürlichen Zahlen nachschauen.
Sandara Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja so ein bißchen mein Problem.

Wir hatten Beweise in der VL über REstgruppen geführt, aber das kann ja eigentlich nciht der Weg sein?

Wir hatten dann eine Verknüpfungstabelle mit den Elementen der Restgruppe erstellt und dann festgestellt, dass z.B. \ keine Gruppe ist, da kein inverses Element besteht.

Jetzt weiß ich aber nicht, ob ich nach dem richtigen Beispiel gesucht hab. Ich hab meine Aufschriebe gerade durchgeschaut und wir haben eigentlich nciht wirklich so einen BEweis im Generellen gemacht. Wir haben definiert, was eine Gruppe ist und dann was ein Gruppenhomomorphismus ist.

Ich hab Ringe, Körper und Gruppen noch nie in Mathe gehabt und kann da einfach nicht Zusammenhänge schaffen und unser Mathelehrer im Gym wollte solche Sachen explizit bewiesen haben. UNd in der Uni reicht es oft aus, einfach anzunehmen, dass es ein solches Element gibt und dann wird es passend gemacht.

unglücklich

Lg
Sandra

PS: Diese Seite bei Wiki hab ich auch ausgedruckt, aber mir fehlt einfach mal ein Anfang.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

nein, das hat hier nichts mit Restklassen zu tun. Wir stehen hier quasi vor der Frage, warum zum Beispiel 3+5=8 ist. Ferner warum bilden denn die natürlichen Zahlen keine Gruppe.

Ihr musst doch auch irgenwie die natrülichen Zahlen und die ganzen Zahlen definiert haben?
 
 
Sandara Auf diesen Beitrag antworten »

Definiert?

Oh je....was genau meinst du denn? Denn die einzige Definition, die ich gefunden habe, sind die Elemente der Menge. Ansonsten hatten wir die Eigenschaften einer Menge mit Relationen, Abb., etc.

Also, die natürlichen Zahlen sind keine Gruppe, weil es kein Inverses Element gibt. So ist das aber auch bei den ganzen Zahlen, wenn ich mich nicht irre.

Ich habe jetzt mal geschaut, das waren nciht die Restgruppen, sondern die Äquivalenzklassen. Wir haben die Menge Z in mehrere Klassen eingeteilt und damit die ganze Zahlenmenge abgedeckt. Daraufhin haben wir eine Verknüpfungstabelle erstellt und festgestellt, dass {Z/4Z} eben kein Inverses hat und damit keine Gruppe ist.

Ich sagte ja, ich tu mir schwer mit den Formulierungen und Beweisentraurig Wenn wenigstens zwei Elemente dran wären, dann wäre es logischer...

Lg
Sandra

PS: Die schriftliche Hausaufgabe ist z.B.....finde alle Untergruppen von und .
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wir drehen uns im Kreis. Warum gibt es in den natürlichen Zahlen denn kein Additiv-Inverses? Wenn du dies als gegen vorraussetzt, kannst du genauso gut annehmen, dass es diese Inversen dann eben in Z gibt.

Es geht hier nicht um Gruppentafeln. Wir brauchen für den Beweis die formale grundlage, wie in Z( bzw N) eben addiert wird. Wenn ihr darüber nichts notiert habt, ist die Aufgabe sinnlos.


Auch für dein PS musst du auch die Rechenregeln, hier bzgl. modulo verweisen können.
Sandara Auf diesen Beitrag antworten »

Bei meinem PS hätte ich es einfach mit den Klassen gemacht, so wie im Aufschrieb.

Ich finde aber gerade nichts, was irgendwie das Addieren definiert. Ich schau nochmal nachher bei einer Mitkommilitonin. Ich hab zwar in Wiki was gefunden, aber das hatten wir so nicht.

*grummel* Ich muss das erst lernen, dass man was vorgesetzt bekommt und das ganze Drumrum erst noch finden muss. Der Aufschrieb gibt nichts her.

Und das ganze Ü-Blatt ist so aufgebautgeschockt

Lg
Sandra
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Wir drehen uns im Kreis. Warum gibt es in den natürlichen Zahlen denn kein Additiv-Inverses? Wenn du dies als gegen vorraussetzt, kannst du genauso gut annehmen, dass es diese Inversen dann eben in Z gibt.

Könnte man nicht sagen, als Addition nimmt man die gewöhnliche Addition? Darauf rumzureiten bringt doch jetzt nicht so viel, oder?

@Sandara: wenn du mal die gewöhnliche Addition nimmst, dann müßtest du doch die Gruppeneigenschaft der ganzen Zahlen zeigen können, oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Grüß dich Mann für alle Fälle. Wink

Es geht mir hier nun nicht darum, Sandara zu ärgern. Augenzwinkern Nur wird bei "neuen" Mengen, die aber genau definiert sind, sowie deren innere Verknüpfung, gerne auf Details herumgeritten. Ferner wird man immer angehalten einen Blick in die Definition zu werfen.

Hier soll nun auf "intuitives" Wissen zurückgegriffen werden? Dann ist es imho aber unnötig, den Gruppenbeweis zu führen.

Ich hoffe du verstehst, was ich meine.

LG Wink
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Hier soll nun auf "intuitives" Wissen zurückgegriffen werden? Dann ist es imho aber unnötig, den Gruppenbeweis zu führen.

Es könnte ja sein, daß man sich erstmal an den Gruppenbegriff am Beispiel der ganzen Zahlen gewöhnen soll. Wenn da für die Addition eine spezielle Definition gemacht wurde, dann muß man die natürlich verwenden.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von tigerbine
Hier soll nun auf "intuitives" Wissen zurückgegriffen werden? Dann ist es imho aber unnötig, den Gruppenbeweis zu führen.

Es könnte ja sein, daß man sich erstmal an den Gruppenbegriff am Beispiel der ganzen Zahlen gewöhnen soll.

Genau so ist es(Insiderwissen Augenzwinkern ) smile
Sandara Auf diesen Beitrag antworten »

Hi ihr Drei,Wink

ich habe jetzt mal einen Mitkommilitonen gefragt, wie das mit den Beweisen ist. Er studiert zwar genauso Informatik wie ich, aber hat MAthe im Nebenfach und nimmt dadurch an der VL für Mathematiker teil und nicht an unserer VL Mathe für INf.

Er meinte, dass es tatsächlich so ist, dass man zwei Variablen nimmt, die in der Gruppe sind und davon ausgeht, dass dies und das gilt, und zeigt dann die Eigenschaften der Gruppe.

Und so läuft es immer wieder. Ich habe nochmal im Skript, sowie in meinen Aufschrieben geschaut. Wir haben tatsächlich keine explizite Definition über die Addition in . Das Einzige, was wir haben, sind die Eigenschaften bzgl. Addition und Multiplikation, d.h. Assoziativ, Distributiv und Kommutativ. Unsere Def. der Zahlenmengen sieht so aus:

und ,usw.(also ,, ).

Aber mehr war bisher nicht. Deswegen fielen mir auch die Relationsbeweise schwer, weil das da genauso lief. Man nimmt was an, das soll gelten (weil ja Def. XY) und dann kommen zwei Zeilen und bumms-aus.

Mein Mathelehrer war nicht so, vllt. ist das der GRund, warum ich keinen Weg finde. Er wollte immer alles bewiesen haben. Da haben Annahmen oder Berufen auf Def. nicht ausgereicht. Wenn wir Elemente aus einer MEnge hätten nehmen wollen, hätten wir erstmal zeigen müssen, dass es tatsächlich Elemente aus der Menge sind und dann hätten wir die Eigenschaften zeigen müssen, usw.

Theoretisch weiß ich das alles....was eine Gruppe ist, was ein Körper, warum und kein INverses haben....aber pack das mal in einen Beweisunglücklich , von dem du nicht weißt, wie er gestaltet sein soll.

In einem halben Jahr werde ich hoffentlich schlauer sein und bis dahin die eine oder andere Frage hier stellen müssenAugenzwinkern

Danke euch allen für die Antwort:-)

Grüße
Sandra

PS: @Tigerbiene: Du hast mir auch bei den Matrizen damals sehr geholfen, ich gehe also immer davon aus, dass du mich nciht ärgern willstAugenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern Das ist schön, dass du mir gute Absichten unterstellst.

Ich weiß nicht wie das die Herren in der Runde sehen, aber die meisten Beweise ob Gruppe oder nicht finde ich deswegen eher "einfach", weil man dort oft das Wissen über die bekannten Zahlenräume voraussetzen dard.

Wenn man nun aber diese erstmal "kennenlernen" will, so sollte dies auch genau geschehen. Nicht unbedingt angenehm. Auf wikipedia ist mir das zu salopp formuliert. Hab hier zwar ein Zahlentheoriebuch liegen, aber bin - to be honest - gerade zu faul das alles abzutippen.

Verfolge den Weg von klarsoweit, aber ich würde da in der Übung einmal nachhaken. Wink
Sandara Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir schon ein Buch" Mathematik für Informatiker" ausgeliehen und lese das gerade nebenbei durch und werde nun erstmal die Zahlenmengen in Angriff nehmen, damit ich erstmal weiß, was du genau gemeint hast.

Wie sagte einer bei der Einführungsveranstaltung? Willkommen an der Uni!

Jep.....

Ich liebe Mathe und war immer sehr gut in dem Fach und geb ja nicht auf, also ist das halbe Jahr durchaus realistisch:-)

Grüße
Sandra

PS: und natürlich gespannt, wie das in der Übung gehandhabt wird *flüster* unser Tutor wirkt nur etwas komisch, etwas einsilbig, ich hoffe, die Antwort ist verständlich
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