Erzeugendensystem

17.11.2008, 15:43

energyfull

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Erzeugendensystem

hi mathematiker, habe eine frage wie ich diese aufgabe lösen kann:

Finden sie eine primzahl p>0, für welche die beiden Vektoren

([7],[30],([121],[14]) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb F_{p}^2 \end{eqnarray*}$

ein Erzeugendensystem bilden, finden sie eine weitere Primzahl p>0, für welche dies nicht gilt.

wäre echt lieb bei einer hilfe.

danke im voraus

17.11.2008, 16:06

Reksilat

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RE: Erzeugendensystem
Die Einträge in den Vektoren sind Elemente von GF(p) $\begin{eqnarray*} (=\mathbb{F}_p) \end{eqnarray*}$ , also betrachtest Du sie modulo p.
In GF(5)² sieht der erste Vektor also so aus: (2,0).
( $\begin{eqnarray*} 7\equiv 2 \mod 5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 30\equiv 0 \mod 5 \end{eqnarray*}$ )

edit: Ein Beitrag vorn Big Laugh

Big Laugh

17.11.2008, 16:54

energyfull

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also soll ich diese aufgabe mit GF(5) machen habe ich das richtig verstanden

dazu soll ich dann diese tafeln mit addition und multiplikation machen

17.11.2008, 16:59

Reksilat

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Was für Tafeln? verwirrt

verwirrt

Nein, GF(5) war nur ein Beispiel. Schaue Dir verschiedene Körper GF(p) an und untersuche ob die beiden Vektoren dann ein Erzeugendensystem bilden oder nicht.

17.11.2008, 17:55

energyfull

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also das mit dem erzeugendensystem habe ich nicht sooo verstanden.

wenn wir GF(5)² haben

dann ist:

7 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 2 ,30 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 0, 121 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 1,
14 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 4

wie unterscuht man denn jetzt das sie ein erzeugendensystem sind??

17.11.2008, 18:44

Reksilat

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Wir sollen Dir also bei der Lösung einer Aufgabe helfen, ohne dass sagst, was überhaupt Dein Problem ist? Ich erkläre Dir bestimmt nicht was ein Erzeugendensystem ist, das wird Dir in Vorlesung, Büchern und im Internet dutzendfach erklärt.

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17.11.2008, 18:58

energyfull

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also ein erzeugendensystem ist eine famile $\begin{eqnarray*} x_\alpha \in V, \alpha \in V \end{eqnarray*}$ wenn sich jeder $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ auf eine weise als linearkombination schreiben lässt

die definition ist mir eigentlich klar, aber wie soll ich denn diese beiden vektoren da reinbauen

18.11.2008, 17:17

energyfull

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also wenn ich das z.b. in GF (5) habe ich wie oben die ergebnisse raus, aber jetz weiss ich irgendwie nicht was ich damit anfangen soll, ich soll ja eine zahl finden für welche diese beiden vektoren ein erzeugendensystem bilden..

18.11.2008, 17:20

Reksilat

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Bilden denn die Vektoren für p=5 ein Erzeugendensystem oder nicht?

18.11.2008, 17:44

energyfull

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also ich muss das jetzt als Linearkombination schreiben: und gucken ob es sich für mindestens eine weise als linearkombination darstellen lässt:

also:
(2,0), (1,4)

$\begin{eqnarray*} a \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

d.h

2a + 1b =c

0a +4b=d

b= $\begin{eqnarray*} \frac{d}{4} \end{eqnarray*}$

das heisst doch jetzt das es ein erzeugendensystem ist oder nicht???

18.11.2008, 18:08

Reksilat

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Du musst mit Linearkombinationen der beiden Vektoren alle Vektoren aus GF(p)² erzeugen können. Hier funktioniert das, da Du den beliebigen Vektor (c,d) mit den beiden Vektoren darstellen kannst, indem Du b=d/4 und dann a=(c-b)/2 wählst. Also ist das auch ein Erzeugendensystem.
(Beachte bei den Berechnungen, dass Du hier in einem endlichen Körper bist und somit nicht immer problemlos dividieren kannst. In GF(5) ist aber die Division durch 4 kein Problem.)

Alternativ kannst Du auch argumentieren, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Ihr Erzeugnis hat dann die Dimension zwei und da dies auch gerade die Dimension von GF(p)² ist, müssen sie eben den ganzen Vektorraum GF(p)² erzeugen.

Edit: Glückwunsch zum Zahlenmonster smile

smile

18.11.2008, 18:25

energyfull

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achso,... also mit GF(5) bilden wir ein erzeugendensystem,

und passend zu dieser aufgabe soll ich eine zahl finden, wo kein erzeugedensystem gebildet wird.

also das kann ich jetzt nachdem selben muster machen oder??

18.11.2008, 19:06

energyfull

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also wenn ich jetzt zeigen das es eine primzahl gibt, bei denen diese beiden vektoren kein erzeugendensystem bilden, kann ich doch auch die GF(4) wählen,

da hab ich nämlich

7 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 3
30 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 2
121 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 1
14 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 2

also:

3a+2b=c
a+2b=d

das heisst diese vektoren bilden dann kein erzeugendensystem???

18.11.2008, 19:10

Reksilat

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Da hast Du aber eine schöne Primzahl gefunden. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Nochmal versuchen! Big Laugh

Big Laugh

18.11.2008, 19:24

energyfull

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ach ja das waren ja nur die primzahlen ich bitte um verzeiung:

also 13 ist eine Primzahl

GF(13)

also bei der 7 bin ich mir da nicht so sehr sicher??
kommt jetzt da 7 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ -6 ???

30 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 4
121 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 4
14 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 1

also dann
-6a+4b=c
4a+b=d

also kein erzeugendensystem

18.11.2008, 21:01

energyfull

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ist das jetzt richtig wie ich das gemacht habe???

19.11.2008, 11:11

Reksilat

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Zitat:

also kein erzeugendensystem

Doch!
Mit den Vektoren ([7],[4]) und ([4],[1]) kannst Du den ganzen GF(13)² erzeugen, denn sie sind linear unabhängig.

Versuche doch bitte Dich zuvor mit den Begriffen Basis, lineare Unabhängigkeit und Erzeugendensystem vertraut zu machen. Es ist nicht leicht etwas zu erklären, wenn die notwendigen Grundlagen nicht vorhanden sind.

19.11.2008, 14:14

energyfull

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asoo,

aber ich brauch jetzt eine primzahl, mit denen diese beiden vektoren kein erzeugendensystem bilden, irgendwie komme ich nicht da drauf

19.11.2008, 14:46

Reksilat

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RE: Erzeugendensystem
Ansage

Ansage

PROBIEREN!!!

Kleinste Primzahl p=2. Wie sehen die Vektoren aus? Bilden sie ein Erzeugendensystem? Wenn Ja, nächste Primzahl ausprobieren...

19.11.2008, 17:19

energyfull

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also ich habe das jetzt mit vielen primzahlen ausprobiert, aber das läuft irgendwie nicht da kommen in erzeugendensysteme raus:

also GF 2
GF 3
GF7
GF 11
GF 13
GF 17
GF 19

keine ahnung irgendwie

19.11.2008, 18:22

Reksilat

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Wie sehen denn die Vektoren in GF(2)² aus?

19.11.2008, 19:23

energyfull

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also GF (2)²

7 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 1
30 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 0
121 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 1
14 $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 0

d.h

1a+1b=c
0a+0b=d -> 0=d

asooo das ist kein erzeugendensystem

19.11.2008, 19:26

Reksilat

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Richtig! Beide Vektoren haben die Form (1,0). Einen Vektor, der an zweiter Stelle etwas anderes als Null hat (z.B (1,1)) wirst Du damit nie erzeugen können. Also ist es kein Erzeugendensystem.

19.11.2008, 19:31

energyfull

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danke für ihre hilfe ich hatte da die linearkombination falsch gemacht, und dachte das ist kein erzeugendensystem ist

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