Beschränktheit (Infimum, Supremum)

17.11.2008, 16:23

Q-fLaDeN

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Beschränktheit (Infimum, Supremum)

Das 2. was wir heute besprochen haben:
Beschränktheit, und wieder ohne Beispiel.

Also nehm ich mir ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{3}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Ich weiss, dass das Supremum (S) 3 ist, und das Infimum (I) = 0

Aber wie mach ich das jetzt rechnerisch? Ich hab leider keinen Ansatz unglücklich

unglücklich

Noch eine Frage nebenbei:
Haben diese Infimums und Supremums irgendwas mit

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \sup_{\text{blabla}}~f(x) \end{eqnarray*}$ zu tun, oder wird das in einem anderen Zusammenhang gebraucht?

Und noch eine Verständnisfrage:
Seh ich das richtig, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ keine Schranken hat?

Wink

Wink

\EDIT: Sry wegen Hochschulmathe, hab wohl zu schnell geklickt. Bitte verschieben.

17.11.2008, 21:06

Q-fLaDeN

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Kommt schon Leute Big Laugh

Big Laugh

17.11.2008, 21:47

Jacques

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RE: Beschränktheit (Infimum, Supremum)
Hallo,

Zitat:

Original von Q-fLaDeN

Noch eine Frage nebenbei:
Haben diese Infimums und Supremums irgendwas mit

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \sup_{\text{blabla}}~f(x) \end{eqnarray*}$ zu tun, oder wird das in einem anderen Zusammenhang gebraucht?

Du meinst den Limes Superior? Der wird in einem anderen Zusammenhang benutzt.

Zitat:

Original von Q-fLaDeN

Und noch eine Verständnisfrage:
Seh ich das richtig, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ keine Schranken hat?

Natürlich hat die Funktion Schranken! Die obere Schranke ist 1, die untere 0.

17.11.2008, 21:54

Q-fLaDeN

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RE: Beschränktheit (Infimum, Supremum)

Zitat:

Original von Jacques
Du meinst den Limes Superior? Der wird in einem anderen Zusammenhang benutzt.

Argh! Ja natürlich, ist mir nur vorhin durch den Kopf geschossen.

Zitat:

Original von Jacques
Natürlich hat die Funktion Schranken! Die obere Schranke ist 1, die untere 0.

Das versteh ich nicht so ganz. Eine obere Schranke ist doch ein Wert, den die Funktion f(x) niemals erreicht, aber 1 wird erreicht. Die 0 sehe ich noch ein. Aber andererseits auch nicht, denn Es gibt ja y-Werte die über, UND unter dem Funktionswert 0 liegen.

17.11.2008, 21:59

Jacques

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RE: Beschränktheit (Infimum, Supremum)

Zitat:

Original von Q-fLaDeN

Das versteh ich nicht so ganz. Eine obere Schranke ist doch ein Wert, den die Funktion f(x) niemals erreicht, aber 1 wird erreicht. Die 0 sehe ich noch ein. Aber andererseits auch nicht, denn Es gibt ja y-Werte die über, UND unter dem Funktionswert 0 liegen.

Sorry, da habe ich jetzt Fehler gemacht.

Eine obere Schranke einer Funktion ist eine Zahl, die von keinem Funktionswert überschritten wird. Die Zahl darf angenommen werden! Es darf eben nur kein Funktionswert größer sein.

Das Supremum einer Funktion ist die kleinste obere Schranke.

Entsprechend die Definition einer unteren Schranke und des Infimums (größte untere Schranke).

Also f hat das Supremum 1 und das Infimum -1.

17.11.2008, 22:02

Q-fLaDeN

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Warum ist jetzt das Supremum 1 und das Infimum -1 ? Diese Werte werden doch von der Funktion sowohl erreicht, als auch überschritten?

Hm verwirrt

verwirrt

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17.11.2008, 22:07

Jacques

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Au weia, ich denke irgendwie ständig an Folgen... unglücklich

unglücklich

Also Du hast Recht, die Funktion ist unbeschränkt.

17.11.2008, 22:11

Q-fLaDeN

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Ok, da bin ich ja froh, sonst hätte ich hier n mächtiges Verständnisproblem Hammer

Hammer

Also das wäre jetzt geklärt. Zur ursprünglichen Aufgabe:

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{3}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Ich weiss, dass das Supremum (S) 3 ist, und das Infimum (I) = 0

Aber wie mach ich das jetzt rechnerisch? Ich hab leider keinen Ansatz unglücklich

unglücklich

Wink

17.11.2008, 22:16

tmo

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Es ist $\begin{eqnarray*} x^2+1 \geq 1 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+1} \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Einen Schritt weiter und du hast gezeigt, dass 3 obere Schranke ist. Dass es wirklich die größte obere Schranke ist, ist sehr einfach einzusehen.

17.11.2008, 22:29

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+1} \leq 1 \qquad |\cdot 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x^2+1} \leq 3 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt ja, dass 3 das Supremum ist.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ kann durch das quadrat niemals negativ oder 0 (Da Zähler nie 0 wird) werden.

Also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+1} > 0 \end{eqnarray*}$

Wär ich somit schon fertig? Sonderlich mathematisch sieht das irgendwie nicht aus.

Danke schonmal Wink

Wink

17.11.2008, 22:30

tmo

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Es ist noch zu zeigen, dass 3 bzw. 0 die kleinste/größte oberen/untere Schranke ist.

17.11.2008, 22:36

Q-fLaDeN

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Ok also: (Supremum)

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x^2+1} > 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+1} > 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1>x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0>x^2 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ nie kleiner $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, ist 3 das Supremum.

Infimum:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+1} \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \leq 0 \end{eqnarray*}$

Falsche Aussage, $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist Infimum.

Wäre das so korrekt?

17.11.2008, 22:39

tmo

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Du hast jetzt nur nochmal gezeigt, dass 3 obere Schranke ist. Das bringt dich nicht weiter.

Du musst es so machen: Sei $\begin{eqnarray*} a < 3 \end{eqnarray*}$ eine kleinere obere Schranke als 3. Es ist $\begin{eqnarray*} f(0)=3>a \end{eqnarray*}$ . Widerspruch!

Beim Infimum gehts genauso. Nur noch ein bisschen schwerer, da die 0 nicht erreicht wird.

17.11.2008, 22:44

Q-fLaDeN

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Achso, aber warum berechnest du $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ ? Warum nicht $\begin{eqnarray*} f(9) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(20000) \end{eqnarray*}$ ?

17.11.2008, 22:46

tmo

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Weil gerade $\begin{eqnarray*} f(0) = 3 \end{eqnarray*}$ gilt, sprich "dafür sorgt", dass 3 die kleinste obere Schranke ist. $\begin{eqnarray*} f(9) \end{eqnarray*}$ wäre doch $\begin{eqnarray*} \frac{3}{82} \end{eqnarray*}$ , davon hat man nichts.

17.11.2008, 22:48

Q-fLaDeN

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Achso, also du legst $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ nicht vorher fest, sondern suchst einen x-Wert, der einen Widerspruch zu a<3 darstellt?

17.11.2008, 22:51

tmo

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Genau.

17.11.2008, 22:54

Q-fLaDeN

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Ok dann versuch ich das analog mal zum Infimum, das mach ich dann aber morgen. Jetzt geh ich erstmal ins Bett.
Danke und gute Nacht Schläfer

Schläfer

18.11.2008, 14:26

Q-fLaDeN

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Ok hab mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen, und verstehe nicht, warum mein "Beweis" so ungültig ist, bzw. verstehe ich nicht, warum er nicht beweist, dass das wirklich die kleinste obere Schranke ist.

Also, dass 3 eine obere Schrank ist, das hatten wir ja schon festgestellt, und ich hab versucht zu beweisen, dass das die kleinste obere Schranke ist, indem ich das berechnet habe:

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x^2+1} > 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+1} > 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1>x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0>x^2 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ nie kleiner $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, ist 3 das Supremum.

Wenn 3 die kleinste obere Schranke sein soll, dann darf es keinen y-Wert geben, der oberhalb der 3 liegt, und genau das habe ich doch gezeigt? Es gibt keinen einzigen y-Wert, der über der 3 liegt.

Aber es gibt eben einen x-Wert (nämlich 0) bei dem gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) = 3 \end{eqnarray*}$

Somit folgt, dass 3 Supremum ist.
Ich versteh nicht, was ich hier falsch gemacht habe.
Wink

Wink

18.11.2008, 15:46

tmo

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Wenn 3 die kleinste obere Schranke sein soll, dann darf es keinen y-Wert geben, der oberhalb der 3 liegt

Stimmt, aber die Rückrichtung stimmt nicht.

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
und genau das habe ich doch gezeigt? Es gibt keinen einzigen y-Wert, der über der 3 liegt.

Das zeigt, dass 3 obere Schranke ist. Aber nicht, dass es keine kleinere obere Schranke gibt.

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Aber es gibt eben einen y-Wert (nämlich 0) bei dem gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) = 3 \end{eqnarray*}$
Somit folgt, dass 3 Supremum ist.

Das macht dann schon mehr Sinn. Ist dir denn klar, dass die Begriffe Supremum und kleinste obere Schranke völlig gleichwertig sind? Während die Begriffe Supremum und obere Schranke nicht das selbe meinen?

18.11.2008, 15:50

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von tmo
Das macht dann schon mehr Sinn. Ist dir denn klar, dass die Begriffe Supremum und kleinste obere Schranke völlig gleichwertig sind? Während die Begriffe Supremum und obere Schranke nicht das selbe meinen?

Ja darüber bin ich mir bewusst.

Also wenn ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ nie größer 3 wird, und $\begin{eqnarray*} f(x) = 3 \end{eqnarray*}$ möglich ist, dann hab ich doch gezeigt, dass 3 Supremum ist und die Aufgabe wäre so korrekt.

Die anderen beiden Aussagen sind mir dann auch klar.

18.11.2008, 15:57

tmo

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Also, dass 3 eine obere Schrank ist, das hatten wir ja schon festgestellt, und ich hab versucht zu beweisen, dass das die kleinste obere Schranke ist, indem ich das berechnet habe:

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x^2+1} > 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+1} > 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1>x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0>x^2 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ nie kleiner $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, ist 3 das Supremum.

Diese Schlussfolgerung hier ist aber falsch.

Denn, dass die Funktion den Wert 3 annimmt, hast du ja erst später erwähnt.

18.11.2008, 15:58

Q-fLaDeN

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Ok stimmt, das ist mir nun auch klar, dass ich zusätzlich $\begin{eqnarray*} f(x) = 3 \end{eqnarray*}$ zeigen muss. (Bzw. muss ich zeigen, dass das möglich ist)

Danke!

18.11.2008, 16:08

tmo

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Kleiner Zusatz: Man muss nicht unbedingt zeigen, dass es ein x mit f(x)=3 gibt.

Wenn man z.b. $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \setminus \{ 0 \} \mapsto \mathbb R, f(x)=\frac{3}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ betrachtet, so ist $\begin{eqnarray*} \sup f = 3 \end{eqnarray*}$ , obwohl es kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=3 \end{eqnarray*}$ gibt.

18.11.2008, 16:14

Q-fLaDeN

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Stimmt. Und genau das ist ja beim Infimum der Funktion der Fall, Infimum ist 0 obwohl es kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ gibt. Muss ich das dann mit dem Widerspruchbeweis zeigen, oder kann ich (mit "meiner" Methode, um mal bei ihr zu bleiben) zeigen, dass es kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt für das $\begin{eqnarray*} f(x) \leq 0 \end{eqnarray*}$ und zusätzlich $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Hm...
Wink

Wink

18.11.2008, 16:17

tmo

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
dass es kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt für das $\begin{eqnarray*} f(x) \leq 0 \end{eqnarray*}$ und zusätzlich $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Letztendlich ist das hinreichend für das Infimum 0, aber das ist kein Beweis.

18.11.2008, 16:23

Q-fLaDeN

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Nagut, dann versuch ichs mal mit dem Widerspruchbeweis (Wir wissen $\begin{eqnarray*} \inf f= 0 \end{eqnarray*}$ )

Sei $\begin{eqnarray*} b > 0 \end{eqnarray*}$ eine größere untere Schranke. $\begin{eqnarray*} f(-1000) = 0.000099999... \end{eqnarray*}$

Hm, ne. Du hast ja schon geschrieben, dass das in dem Fall komplizierter ist. Wie mache ich das hier?

18.11.2008, 16:27

tmo

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Finde ein x mit $\begin{eqnarray*} f(x) < b \end{eqnarray*}$ . Und schon hast du gezeigt, dass es keine untere Schranke $\begin{eqnarray*} b > 0 \end{eqnarray*}$ gibt.

18.11.2008, 16:48

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} f(x) =\frac{3}{x^2+1} < b, \qquad \text{mit }b>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 < bx^2+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3-b<bx^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{b}-1<x^2 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} b > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es für x unendlich viele Lösungen, die diese Bedingung erfüllen.

Mal ein Plot

Ich hab ja angenommen, dass es eine größere untere Schranke b gibt, also b>0 da 0 ja (größte) untere Schranke ist.

Für b nehme ich mal $\begin{eqnarray*} b=0.1 \end{eqnarray*}$ , ich könnte auch kleinere Zahlen wählen, die größer 0 sind, aber aufgrund des plotters nehm ich 0.1

Über die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} f(x) =\frac{3}{x^2+1} < b, \qquad \text{mit }b>0 \end{eqnarray*}$

Komme ich zu mindestens einem (bzw. gibt es ja unendlich viele) x-Wert, der kleiner ist als b, kann b>0 nicht (größte) untere Schranke sein.

Wäre das so richtig, wenn ich es anschaulich wissen möchte?

18.11.2008, 16:54

tmo

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Irgendwie redest du um den heißen Brei herum. Ein Einzeiler tut es:

$\begin{eqnarray*} f\left( \sqrt{\frac{6}{b}} \right) = \frac{3}{\frac{6}{b}+1} < \frac{3}{\frac{6}{b}} = \frac{b}{2} < b \end{eqnarray*}$ . Widerspruch zur Annahme, dass b untere Schranke ist.

18.11.2008, 17:02

Q-fLaDeN

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Tut mir Leid, aber das versteh ich jetzt nicht unglücklich

unglücklich

Der Widerspruch ist doch folgender:
Man nimmt ja an, dass b die größte untere Schranke ist, aber man findet daraufhin, einen Wert, der noch kleiner ist als $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{b}{2} \end{eqnarray*}$
Oder?

Ist denn meine "anschauliche Erklärung", wenigstens richtig?

18.11.2008, 17:05

tmo

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Tut mir Leid, aber das versteh ich jetzt nicht unglücklich

unglücklich

Der Widerspruch ist doch folgender:
Man nimmt ja an, dass b die größte untere Schranke ist, aber man findet daraufhin, einen Wert, der noch kleiner ist als $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{b}{2} \end{eqnarray*}$
Oder?

Genau. Also verstehst du es doch.

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Ist denn meine "anschauliche Erklärung", wenigstens richtig?

Ja schon, aber die Frage ist halt ob die deinen Ansprüchen an einen Beweis genügt.

18.11.2008, 17:11

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von tmo
Genau. Also verstehst du es doch.

Jain, ich müsste hier wieder mit der alt gehassten Frage der Mathematiker Anlauf nehmen:
Wie kommt man darauf?^^
Also auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{6}{b}} \end{eqnarray*}$ und warum muss man $\begin{eqnarray*} \frac{3}{\frac{6}{b}+1} < \frac{3}{\frac{6}{b}} \end{eqnarray*}$ abschätzen?

Zitat:

Original von tmo
Ja schon, aber die Frage ist halt ob die deinen Ansprüchen an einen Beweis genügt.

Das sollte auch keinen Beweis darstellen, sondern einfach nur eine anschauliche Erklärung für mich selbst sein.

18.11.2008, 17:38

tmo

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Also auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{6}{b}} \end{eqnarray*}$ und warum muss man $\begin{eqnarray*} \frac{3}{\frac{6}{b}+1} < \frac{3}{\frac{6}{b}} \end{eqnarray*}$ abschätzen?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{6}{b}} \end{eqnarray*}$ weil dann halt am ende $\begin{eqnarray*} \frac{b}{2} \end{eqnarray*}$ rauskommt. Man könnte auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{12}{b}} \end{eqnarray*}$ nehmen, dann kommt halt $\begin{eqnarray*} \frac{b}{4} \end{eqnarray*}$ raus...

Und die Abschätzung zwischen drin muss man nicht machen. Ich habe sie halt gemacht, weil es mir so gerade gepasst hat.

18.11.2008, 18:23

Q-fLaDeN

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Super. Danke dir, jetzt dürfte wirklich alles geklärt sein. smile

smile

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