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18.11.2008, 14:19	eiersuppe	Auf diesen Beitrag antworten »
Norm Moin! Ich habe mir den Wikipedia Artikel zu Normen durchgelesen und auch verstanden, dass das ganze eine Funktion ist, die Vektoren Zahlen zuordnet (mit bestimmten Eigenschaften). Was genau ist dann eine induzierte Operatornorm?!! Und wie komme ich auf: $\begin{eqnarray} \|\|Ax-b\|\|_2^2 = x^TA^TAx-2b^TAx+b^Tb \end{eqnarray}$ Ich kenne die Formel für eine Matrix und einen Vektor trotzdem kriege ich nicht hin das so auszurechnen! mfg eiersuppe
18.11.2008, 18:07	Funky	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Zur Operatornorm. Definition: Sei $\begin{eqnarray} \Vert \cdot \Vert \end{eqnarray}$ eine Vektornorm, dann ist $\begin{eqnarray} \Vert A \Vert :=\max\limits_{x\neq 0}{\frac{\Vert Ax\Vert}{\Vert x \Vert}} \end{eqnarray}$ eine Matrixnorm, die sogenannte Operatornorm. Also ist eine Operatornorm eine durch eine Vektornorm induzierte (erzeugte) Matrixnorm. Auf $\begin{eqnarray} \Vert Ax-b\Vert^2_2 =x^TA^TAx-2b^TAx+b^Tb \end{eqnarray}$ kommst du, in dem du die Norm umschreibst als Euklidisches Skalarprodukt und dann die Eigenschaften von Skalarprodukten ausnutzt. Grüße
28.11.2008, 13:08	eiersuppe	Auf diesen Beitrag antworten »
danke dir! Ich bekomme allerdings für: $\begin{eqnarray} \|\|Ax-b\|\|_2^2 = (Ax-b,Ax-b) = (Ax,Ax-b)+(-b,Ax-b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (Ax,Ax)+(Ax,-b)+(-b,Ax)+(-b,-b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = ... = (x,A^tAx)-2(x,A^tb)+\|\|b\|\|_2^2 \end{eqnarray}$ irgendwas stimmt also mit meinen bs nicht. Aber (-b,-b) ist doch wohl [latex] \|\|b\|\|_2^2\|\| oder? danke!
28.11.2008, 14:11	Funky	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (-b,-b)=(b,b)=b^Tb=\Vert b \Vert_2^2 \end{eqnarray}$ Ist doch genau das, auf was du kommen wolltest oder?
28.11.2008, 14:25	eiersuppe	Auf diesen Beitrag antworten »
huch, stimmt. dann ist im skript ein fehler. da steht nämlich das ganze solle sein: $\begin{eqnarray} (x,A^tAx)-2(A^tb,x)+\|\|b\|\|_2 \end{eqnarray}$ also haben die einfach ein Quadrat vergessen?
28.11.2008, 20:53	Funky	Auf diesen Beitrag antworten »
Yo da fehlt wohl das Quadrat im Skript.
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29.11.2008, 11:13	eiersuppe	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin! Ich bin gerade dabei die Eigenschaften von Normen zusammen zu tragen. Ich habe da ein paar Fragen: 1. Wieso gilt das 2.Gleichheitszeichen in: $\begin{eqnarray} \Vert A \Vert = \sup\limits_{x \neq 0}\frac{\Vert Ax \Vert}{\Vert x \Vert} = \sup\limits_{\Vert x \Vert = 1}\Vert Ax \Vert \end{eqnarray}$ (A ist Matrix) Irgendwie kapier ich das nicht! Wieso ist es das gleiche, wenn ich doch die x dermaßen einschränke? .. 2. Es gilt ja für Matrizen A,B $\begin{eqnarray} \Vert AB \Vert \leq \Vert A \Vert \Vert B \Vert \end{eqnarray}$ Inwiefern gilt das für die Kombinationen Matrix, Vektor; Vektor, Vektor? Ja, das wars auch erstmal!!!
29.11.2008, 11:47	Funky	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin moin. zu 1.) $\begin{eqnarray} \Vert A\Vert=\sup\limits_{x\neq 0}\frac{\Vert Ax\Vert}{\Vert x\Vert} =\sup\limits_{x\neq 0}\Vert\frac{Ax}{\Vert x\Vert}\Vert \end{eqnarray}$ Daraus folgt dann die rechte Seite. zu 2.) $\begin{eqnarray} \Vert AB\Vert \leq \Vert A\Vert \Vert B \Vert \end{eqnarray}$ gilt nur für submultiplikative Matrixnormen! Das sind z.B. die Operatornormen, aber es lassen sich auch Gegenbeispiele finden, für die die Ungleichung nicht gilt. Es gibt auch $\begin{eqnarray} \Vert Ax \Vert \leq \Vert A\Vert \Vert x\Vert \end{eqnarray}$ (diese Eigenschaft heißt Verträglichkeit), aber auch das muss nicht immer gelten. Eine Operatornorm ist aber auf jeden Fall immer mit der zugehörogen Vektornorm verträglich. Für die Kombination Vektor Vektor is mir nix bekannt. Glaube auch nicht, dass es da was vergleichbares zu Submultiplikativität und Verträglichkeit gibt. Gruße

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