Knobelaufgabe Pyramide

18.11.2008, 17:46

nicki5000

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Knobelaufgabe Pyramide

Wer kann diese Aufgabe lösen? (und besonders wie smile

smile

?)

Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche ABCD und Spitze S hat gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen. In Punkt A sitzt eine Spinne, die zu einer Fliege krabbelt, die in Punkt M in der Mitte der Strecke CS sitzt.
Wie lang ist die kürzeste Krabbelstrecke?

19.11.2008, 00:02

riwe

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RE: Knobelaufgabe Pyramide
klappe die pyramide auf

$\begin{eqnarray*} d=\frac{a}{2}\sqrt{x+2\sqrt{3}}\quad{} \text{mit}\quad{ }0\leq x\leq10 \end{eqnarray*}$

19.11.2008, 16:26

Rechenschieber

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Da wird sich Ramses aber freuen, wenn er wieder frische Luft kriegt. smile

smile

21.11.2008, 15:16

riwe

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Zitat:

Original von Rechenschieber
Da wird sich Ramses aber freuen, wenn er wieder frische Luft kriegt. smile

smile

auch andere leute wohnen in pyramiden smile

smile

22.12.2008, 18:52

sallal

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ich wuerde sagen, wenn die spinne einfach die strecke AS und dann CS entlagnkrabbelt ist es am kuerzesten...

MFG

27.12.2008, 23:03

Gualtiero

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Aufklappen
Um zum Widerspruch von riwe und sallal etwas zu sagen:

sallal: Von A zur Spitze und dann zu Punkt M ist sicher ein Umweg. Wie riwe gesagt hat, muss die Lösung sich durch Aufklappen des Pyramidenmantels ergeben. Der kürzeste Weg führt sicher von A kreuzenderweise über die Kante DS oder BS und weiter zu M. Die Formel muss ich erst überdenken.
"d" ist sicher die gesuchte Weglänge, "a" die Seitenlänge der Grundfläche. Nur bei "x" weiß ich nicht, ob die Kantenlänge, die Seitenflächenhöhe oder die Pyramidenhöhe gemeint ist.

Walter

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28.12.2008, 10:53

riwe

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RE: Aufklappen
x ist wie es oben steht eine (ganze) zahl zwischen 0 und 10, die ich nicht verraten wolltel, um anderen den spaß nicht zu verderben smile

smile

ich hätte auch $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb N \wedge 6< x<8 \end{eqnarray*}$ hinmalen können Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.12.2008, 12:31

sulo

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RE: Aufklappen
Als Biologin habe ich das mal anders gerechnet: Ich gehe davon aus, dass die Spinne (!) sich Fäden spannt und direkt von A nach M krabbelt.... Das ist sicher am allerkürzesten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Meine zugegebenermaßen eigenwillige Lösung lautet dann:

$\begin{eqnarray*} d = \frac{1}{2} a \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

28.12.2008, 12:35

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufklappen

Zitat:

Original von sulo
Als Biologin habe ich das mal anders gerechnet: Ich gehe davon aus, dass die Spinne (!) sich Fäden spannt und direkt von A nach M krabbelt.... Das ist sicher am allerkürzesten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Meine zugegebenermaßen eigenwillige Lösung lautet dann:

$\begin{eqnarray*} d = \frac{1}{2} a \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

ich fürchte, da hat die biologin über die mathematikerin triumphiert smile

smile

sozusagen das mitleid mit der fliege,
und nicht mit der hungrigen spinne

28.12.2008, 12:50

sulo

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Naja, es wurde ja nicht gesagt, wie die Spinne nun krabbelt ....
Von daher war es wohl nicht veboten, es so zu rechnen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mich würde interessieren, ob uns nicki5000 irgendwann, wenn andere Ergebisse vorliegen, die "amtliche" Lösung mitteilt ...

28.12.2008, 12:56

sulo

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... wobei ich davon ausgehe, dass riwe recht hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.12.2008, 12:56

riwe

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ja aber es steht fest, wo fliege und spinne sitzen,
natürlich kannst du berechnen, wie sie nicht zusammen kommen können smile

smile

das korrekte ergebnis habe ich eh schon hingemalt Augenzwinkern

Augenzwinkern

der kürzeste weg ist ja bekanntlich ziemlich gerade Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.12.2008, 13:03

sulo

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Mein Ergebnis ergibt sich übrigens aus dem Weg innerhalb der nicht aufgeklappten Pyramide, sonst wäre mein d ja viel zu klein, wenn ich es wie auf riwe's Bild gerechnet hätte.
Wie gesagt, direkt, also Luftlinie von A zu M innerhalb der Pyramide.

28.12.2008, 13:32

sulo

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Also, jetzt hab ich das auch nochmal so gerechnet, dass die Spinne die Wände entlang krabbelt.
Wir haben ja gleichseitige Dreiecke, von denen wir 2 aneinandergesetzt brauchen (danke Gualtiero für die Grafik).
Das Ganze kann man auf ein Parallelogramm reduzieren.
Jetzt also die Entfernung vom Punkt A ("unten links") zu M ("Mitte oben").
Ganz einfach mit Pythagoras zu rechnen.

$\begin{eqnarray*} d^2 = a^2 + h^2 = a^2 + (\frac{1}{2}a \sqrt{3})^2 \end{eqnarray*}$

Ich komme da aber nur auf $\begin{eqnarray*} d = \frac{1}{2} a \sqrt{7} \end{eqnarray*}$

nicht wie riwe auf $\begin{eqnarray*} d=\frac{a}{2}\sqrt{x+2\sqrt{3}}\quad{} \text{mit}\quad{ }0\leq x\leq10 \end{eqnarray*}$

Wo ist mein Fehler? verwirrt

verwirrt

28.12.2008, 13:41

riwe

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Zitat:

Original von sulo
Mein Ergebnis ergibt sich übrigens aus dem Weg innerhalb der nicht aufgeklappten Pyramide, sonst wäre mein d ja viel zu klein, wenn ich es wie auf riwe's Bild gerechnet hätte.
Wie gesagt, direkt, also Luftlinie von A zu M innerhalb der Pyramide.

biologin

verwirrt

fliegende spinnen smile

smile

edit: oder gibt es schon das futterservice wie im schlaraffenland,
da kommen die fliegen der spinne in den schnabel geflogen Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.12.2008, 13:58

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, mir ist eben auch ein dummer Fehler bei meiner zweiten Lösung aufgefallen:

$\begin{eqnarray*} d^2 = a^2 + h^2 = a^2 + (\frac{3}{2}a)^2 \end{eqnarray*}$

Bringt mich aber auch nur auf $\begin{eqnarray*} d = \frac{1}{2} a \sqrt{10} \end{eqnarray*}$ ... verwirrt

verwirrt

28.12.2008, 14:37

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sulo
Ja, mir ist eben auch ein dummer Fehler bei meiner zweiten Lösung aufgefallen:

$\begin{eqnarray*} d^2 = a^2 + h^2 = a^2 + (\frac{3}{2}a)^2 \end{eqnarray*}$

Bringt mich aber auch nur auf $\begin{eqnarray*} d = \frac{1}{2} a \sqrt{10} \end{eqnarray*}$ ... verwirrt

verwirrt

naja, was ist denn h verwirrt

verwirrt

skizze wäre hilfreich

28.12.2008, 14:56

sulo

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h ist die Entfernung zwischen D und M (auf der Zeichnung von Gualtiero), und das ist auch die Höhe des Dreiecks.
Also doch: $\begin{eqnarray*} h = \frac{1}{2} a \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Ich weiß gar nicht, was mit mir los ist, Weihnachten ist mir wohl auf's Hirn geschlagen ... Hammer

Hammer

28.12.2008, 15:24

riwe

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da schon meine mutter sagte:"nimm nix von fremden"
meinst du dieses h im bilderl smile

smile

deine lösung: sozusagen knapp vorm ziel verhungert traurig

traurig

28.12.2008, 15:30

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dieses h meinte ich. Allerdings habe ich es für die Rechnung "der Wand entlang" verwendet. Ich würde ja auch gerne so eine Zeichnung erstellen, dann wäre alles viel klarer, aber ich finde das tool dafür nicht ... Ups

Ups

28.12.2008, 16:15

riwe

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ja auch ich habe scheint´s zu viel gefeiert smile

smile

nicht unter dem boden durch, du bist ja doch die bessere biologin smile

smile

da komme ich auf $\begin{eqnarray*} d=\frac{a}{2}(\sqrt{3}+1) \end{eqnarray*}$

womit meine alte lösung erledigt wäre traurig

traurig

jetzt gehe ich ein bier trinken und rechne es dann nach Prost

Prost

28.12.2008, 17:04

sulo

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Jo, ich hab auch erst mal zu tun. Aber für einen Tip, wie man solche Zeichnungen erstellt wäre ich schon dankbar. Mit dem Funktionenplotter geht das doch nicht ?!?

28.12.2008, 17:07

Gualtiero

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Falsche Grafik !
Leute, ich muss mich entschuldigen!! Meine erste Grafik enthält einen schweren Fehler: ich habe nicht gleichseitige sondern gleichschenkelige Dreiecke gezeichnet.
Ist mir peinlich, ich habe das in der Angabe total übersehen - ja wie gibt's denn das? Hammer

Hammer

Hier ist die gleichseitige Pyramide.

Bis bald, Walter

PS.: Die alte Grafik sollte man gleich wegschmeissen, bevor sie noch mehr Verwirrung stiftet. Aber das können wahrscheinlich nur die Admins oder so.

28.12.2008, 17:30

Gualtiero

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Noch ne Formel
Sulo: Bezüglich Grafiktool kann ich nur sagen, dass ich da auch nichts gefunden habe. Ich zeichne einfach mit ACAD und mache ein bmp daraus - ist zwar umständlich, aber immerhin eine Möglichkeit.

Also ich habe jetzt auch eine Formel erstellt.
d = gesuchte Weglänge
a = Seite der Pyramide

$\begin{eqnarray*} d^2 = a^2 + a^2 \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} d = \pm \sqrt{2} *a \end{eqnarray*}$

Ist fast zu einfach, um wahr zu sein. verwirrt

verwirrt

Bin schon gespannt, was riwe sagt.

28.12.2008, 17:50

Gualtiero

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab's gewusst, die Formel war zu einfach.

d ist die Hypothenuse im rechtwinkeligen Dreieck ADM. Dann ist

$\begin{eqnarray*} d^2 = a^2 +\frac{3}{4} * a^2 , \end{eqnarray*}$

woraus folgt:

$\begin{eqnarray*} d = \pm \frac{a}{2} * \sqrt{7} \end{eqnarray*}$

Bis bald,
Gualtiero

28.12.2008, 18:11

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, Gualtiero, danke für die neue Grafik! Und Du hast das raus, was ich auch raus habe (für den Weg über die Wände, nicht Luftlinie):

Zitat:

Ich komme da aber nur auf $\begin{eqnarray*} d = \frac{1}{2} a \sqrt{7} \end{eqnarray*}$

... nicht wie riwe auf $\begin{eqnarray*} d=\frac{a}{2}(\sqrt{3}+1) \end{eqnarray*}$

Wären wir ja schon mal 2 mit dieser Lösung. Freude

Freude

Naja, Mathelösungen werden nicht durch Mehrheiten entschieden ...
Jedenfalls bin ich neugierig, was riwe dazu sagt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Denn wenn unsere Lösung falsch wäre, dann müssten wir beide ja den gleichen Denkfehler machen.
Was mich dann doch sehr trösten würde .... Gruß, sulo

28.12.2008, 18:16

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sulo
Jo, ich hab auch erst mal zu tun. Aber für einen Tip, wie man solche Zeichnungen erstellt wäre ich schon dankbar. Mit dem Funktionenplotter geht das doch nicht ?!?

steht doch oben
euklid etc

28.12.2008, 19:18

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

man muß es nur richtig zeichnen verwirrt

verwirrt

mit dem ergebnis von G.

$\begin{eqnarray*} d=\frac{a}{2}\sqrt{7} \end{eqnarray*}$

(jetzt muß ich nur noch geschockt

geschockt

meinen rechenfehler suchen)

28.12.2008, 19:40

sulo

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Ok, also halten wir als offizielles Ergebnis fest:
Wenn die Spinne die Wände entlang krabbelt, ist ihr Weg:

$\begin{eqnarray*} d=\frac{a}{2}\sqrt{7} \end{eqnarray*}$ Prost

Prost

Hat jemand mal den direkten "Luftweg" überprüft? Mein Vorschlag könnte dann ja auch stimmen mit

$\begin{eqnarray*} d = \frac{1}{2} a \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Und was ist mit nicki5000?? Bitte mal einen Kommentar von Dir! Hast Du nur jemanden gesucht, der Dir das rechnet oder hast Du auch eine Lösung? smile

smile

28.12.2008, 19:47

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

kommt die fliege zur spinne, stimmt deine rechnung smile

smile

28.12.2008, 21:11

Gualtiero

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Habe den Luftweg auch gerechnet und komme auf Euer (sulo und riwe) Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} d = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} * a \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und was ist mit nicki5000??

Macht wahrscheinlich Skiurlaub - auch nicht schlecht.

Walter

28.12.2008, 21:51

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, Gualtiero, danke für Deine Rechnung. Toll, dass Du das gleiche wie ich raus hast Freude

Freude

, denn riwe hat was anderes raus, bzw er zweifelt meine Lösung an:

Zitat:

kommt die fliege zur spinne, stimmt deine rechnung smile

smile

Und da ich ihn für ziemlich brilliant halte, habe ich eher den Fehler bei mir gesucht - aber eben nicht gefunden ....
Also nochmals Dankeschön für die Bestätigung meines Ergebnisses.
'Nen schönen Abend noch, bis denn, Gruß, sulo

28.12.2008, 22:21

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sulo
Hi, Gualtiero, danke für Deine Rechnung. Toll, dass Du das gleiche wie ich raus hast Freude

Freude

, denn riwe hat was anderes raus, bzw er zweifelt meine Lösung an:

Zitat:

kommt die fliege zur spinne, stimmt deine rechnung smile

smile

Und da ich ihn für ziemlich brilliant halte, habe ich eher den Fehler bei mir gesucht - aber eben nicht gefunden ....
Also nochmals Dankeschön für die Bestätigung meines Ergebnisses.
'Nen schönen Abend noch, bis denn, Gruß, sulo

das ist zuviel des honigs Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich habe dir doch damit dein ergebnis bestätigt, zumidest dachte ich, dass du das so und nicht anders verstehst = luftlinie, da fliegen bekanntlich fliegen smile

smile

tut mir natürlich leid, wenn du dadurch deine hausarbeit vernachlässigen mußtest
(jetzt bekomme ich von der meinen eine auf den deckel) smile

smile

07.01.2009, 13:58

sulo

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Freut mich, dass wir nun doch alle die richtige Lösung gefunden haben. Hat Spaß gemacht smile

smile

Gruß, sulo

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