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20.11.2008, 21:48

chr1s1

Q/z

Hallo erstmal, gleich zu der Aufgabe:

Zitat:

Zeigen Sie, die additive Gruppe Q/Z ist nicht direkte Summe von zyklischen Gruppen.

Ich muss sagen, dass mir bei dieser Aufgabe so ein wenig der Ansatz fehlt.

Es heißt auf jeden Fall, dass Q/Z einen nicht endlich erzeugte abelsche Gruppe, also die ist zu zeigen, bloß wie ist mir noch ein wenig schleierhaft.

Ich hab mir ein paar Gedanken gemacht darüber wie diese Gruppe aussieht und ich bin zu dem Schluss gekommen bin, das Q/Z wohl die "Restklassen" zu allen Brüchen kleiner 1 ist. Z.Bsp wäre die "Restklasse" zu 1/5 in dem 1/5, 6/5, 11/5 etc. sind. Nun wäre natürlich die Frage - abgesehen davon ob das überhaupt stimmt - was davon das minimale EZS ist.

Joa für ein paar Ansätze wäre ich sehr dankbar.

mfg

Chr1s1

21.11.2008, 00:59

Reksilat

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RE: Q/z
Sieht doch gut aus bisher. Freude

Zitat:

Es heißt auf jeden Fall, dass Q/Z einen nicht endlich erzeugte abelsche Gruppe, also die ist zu zeigen, bloß wie ist mir noch ein wenig schleierhaft.

Den Satz hingegen, verstehe ich nicht! Erstaunt2

Endlich erzeugt ist das ganze schonmal nicht, denn sei $\begin{eqnarray*} \left\{\frac{a_1}{b_1},\ldots,\frac{a_n}{b_n}\right\} \end{eqnarray*}$ ein EZS, dann findest Du eine Primzahl p, die nicht $\begin{eqnarray*} b_1\cdot\ldots\cdot b_n \end{eqnarray*}$ teilt und damit wird $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ nicht von diesem EZS erzeugt.

Für "Zeigen Sie, die additive Gruppe Q/Z ist nicht direkte Summe von zyklischen Gruppen." fällt mir nur folgendes ein:

Nehmen wir an, dass wir eine solche Darstellung von Q/Z haben, also die Gruppe wird von unendlich vielen $\begin{eqnarray*} <\frac{a}{b}> \end{eqnarray*}$ erzeugt. Dann lässt sich z.B. 1/2 mit endlich vielen Summanden $\begin{eqnarray*} <\frac{a_1}{b_1}>,\ldots,<\frac{a_k}{b_k}> \end{eqnarray*}$ darstellen und man sieht, dass dann eines der $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ gerade sein muss. Dann ist aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\in<\frac{a_i}{b_i}> \end{eqnarray*}$ (*) und somit ist dies auch der einzige Summand der gesamten Darstellung, in dem der Erzeuger einen geraden Nenner hat.
Nun ist $\begin{eqnarray*} b_i=2^r\cdot x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ungerade und es lässt sich dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{r+1}} \end{eqnarray*}$ nicht mehr darstellen. Ein Widerspruch.

(*): Hier wird übrigens benötigt, dass wir uns in Q/Z befinden, in Q funktioniert das nicht

Sieht etwas zu kompliziert aus, ist es wohl auch. Naja, ist spät. Gute Nacht. Schläfer

22.11.2008, 13:43

chr1s1

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Ich gebe dir Recht, der Satz klingt ja wirklich schrecklich. Der Tag war einfach zu lang. Augenzwinkern

Sollte heißen:

Zitat:

Es heißt auf jeden Fall, dass Q/Z eine nicht endlich erzeugte abelsche Gruppe ist. Also dies ist zu zeigen, bloß wie ist mir noch ein wenig schleierhaft.

Dein Beitrag hat mir auf jeden Fall geholfen und mal wieder hat sich gezeigt, dass die Beweise einfacher sind als man sich das immer vorstellt.

Nur etwas verwirrt mich noch ein wenig und das sind die $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ bei deinem Beispiel-EZS gleich am anfang. Könnte man die nicht weglassen und dann als EZS nur die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{b_{i}} \end{eqnarray*}$ wählen. Natürlich ganz davon abgesehen, dass es kein endliches EZS gibt.

mfg

22.11.2008, 14:02

Reksilat

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So ganz habe ich den angesprochenen Satz zwar noch immer nicht verstanden, aber das ist ja jetzt auch nicht mehr so wichtig. Big Laugh

Für die Erzeuger kann man natürlich auch immer annehmen, dass man Stammbrüche hat (schließlich ist $\begin{eqnarray*} \rm{ggT}(a_i,b_i)=1 \end{eqnarray*}$ ), aber es wird ja nicht wirklich benötigt und insofern war mir das egal.

22.11.2008, 14:19

chr1s1

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Ist mir nach ein klein wenig nachdenken dann auch noch klar geworden.
Vielen Dank nochmal für deine Hilfe.

Und nochmal zum Satz. Er sollte nur aussagen, dass mir klar wurde, man müsste zeigen, dass Q modulo Z nicht endlich erzeugt ist. Ich jedoch nicht wusste wie das gehen soll.

mfg

22.11.2008, 15:01

Reksilat

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Dann habe ich den Satz doch richtig verstanden, aber in meinen Augen ist er fehlerhaft.

Wenn Du zeigst, dass Q/Z nicht endlich erzeugt ist, so kann die Gruppe immer noch ein unendliches Erzeugendensystem haben. Hier ist dann zu zeigen, dass mit diesem Erzeugendensystem keine eindeutige Darstellung möglich ist, und das wurde im zweiten Teil behandelt.
(Letztlich zeigt man, dass Q/Z keine Freie abelsche Gruppe ist.)

22.11.2008, 15:23

chr1s1

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Ah ok, jetzt weiß ich worauf du hinaus willst und du hast Recht, ich hatte das erst nicht so richtig erkannt.
Dachte es reicht zu zeigen, dass es nicht endlich erzeugt ist, aber es geht ja eher darum, dass es nicht direkte Summe zyklischer Gruppe ist.

Könntest du dann vlt den zweiten Teil etwas genauer erläutern und zwar ab : "Dann ist aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\in \end{eqnarray*}$ ..."

Zum Bsp warum das der einzige Summand ist und worin im Endeffekt genau der Widerspruch besteht.

mfg

22.11.2008, 23:56

Reksilat

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Wir fassen mal zusammen: G sei jetzt direkte Summe von unendlich vielen zyklischen Gruppen <a/b>. Das bedeutet, dass G von diesen a/b (bzw. 1/b) erzeugt wird, und dass die Darstellung jedes Elements mit Hilfe dieser Erzeuger endlich und eindeutig ist.
Es ist also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}= \frac{a_1}{b_1}+\ldots + \frac{a_n}{b_n} \end{eqnarray*}$ .
Der rechte Ausdruck lässt sich aber umformen zu $\begin{eqnarray*} \frac{\star}{b_1\cdot\ldots\cdot b_n} \end{eqnarray*}$ und mindestens ein $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ muss also durch zwei teilbar sein. Sei nun $\begin{eqnarray*} \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ einer der Erzeuger mit 2|b, dann sieht man, dass auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\in <\frac{1}{b}> \end{eqnarray*}$ ist und folglich kann auch nur bei genau einem Erzeuger der Nenner gerade sein, da ja die Darstellung von 1/2 eindeutig sein muss.
Es ist also $\begin{eqnarray*} b=2^n\cdot m \end{eqnarray*}$ , mit m ungerade. Dann kann ich aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{n+1}} \end{eqnarray*}$ nicht mit den vorhandenen Erzeugern erzeugbar(die Nenner sind alle ungerade oder haben einen 2-Anteil von maximal $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ . Ein Widerspruch.

23.11.2008, 18:41

chr1s1

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Tausend Danke dir, jetzt hab ich es.

Hatte vollkommen vergessen, dass die Darstellung bei einer direkten Summe eindeutig sein muss.

mfg

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