lineare abbildungen |
21.11.2008, 16:08 | Gast3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
lineare abbildungen ich soll begrüden oder widerlegen, ob die folgende abilldung linear ist: f: R^3 ->R^2, (x1, x2, x3)^T |-----> x1 - x2 +9x3 ich habs versucht und nicht hinbekommen. meine idee: eine 3 x 3 Matrix soll auf eine 2 x 2 Matrix abgebildet werden. (x1, x2, x3)^T ist ein transponierter spalten vektor mit dem die matrix multipliziert werden soll. meiner meinung nach geht das nicht weil der spalten vektor 3 x 1 ist. ich bin ziemlich unsicher wie ich das beweisen soll und ob überhaupt meine idee richtig ist. ich wäre dankbar für ne erklärung wie ich die Aufgabe zu lösen habe |
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21.11.2008, 17:56 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: lineare abbildungen
Unfug. Hier wird ein Vektor mit 3 Komponenten auf einen Vektor mit 2 Komponenten abgebildet. Das sagt schon die Angabe: f: R^3 ->R^2 . Allerdings stellt der Ausdruck "x1 - x2 +9x3" keinen 2-komponentigen Vektor dar. Du solltest also nochmal in die Aufgabe schauen. |
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21.11.2008, 17:58 | Gast3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
war ein tippfehler. es sollte ein ein komponentiger vektor sein. |
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21.11.2008, 18:15 | Gast3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
als zusatz: Stellen Sie die Abbildungen, die linear sind, in (Matrix·Vektor)-Schreibweise, d.h. f (x) = A·x für alle x element D(f) , dar |
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21.11.2008, 18:22 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann muß es aber auch lauten: f: R^3 -> R Also jetzt erstmal die Linearität der Abbildung. Was muß dazu erfüllt sein? |
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21.11.2008, 18:25 | Gast3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
es müssen zwei bedinung erfüllt sein und zwar: 1) A( x+ y) = A(x) + A(y) 2) A(ix) = i *A(x) |
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21.11.2008, 18:36 | Problemfinder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Gast, dann rechne das dochmal aus.... bilde mal ein x ab bilde mal ein y ab bilde mal ein x+y ab bilde mal ein ix ab bilde mal ein x ab und nimm das mal i so kannst du ja schon was vergleichen Gruß Problemfinder |
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21.11.2008, 18:38 | Gast3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist es den egal was ich für x, y, z einsetze weil laut aufgabenstellung soll das gelten f: R^3 ->R^2, (x1, x2, x3)^T |-----> x1 - x2 +9x3 |
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21.11.2008, 18:39 | Gast3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
statt R^2 soll das auf R abgebildet werden |
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21.11.2008, 18:41 | Problemfinder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es muss ja egal sein, denn das ganze soll ja wenn überhaupt allgemein sein... Du hast glaube ich noch nicht ganz verstanden was deine Abbildung macht. Allgemein heißt es: (x_1;x_2;x_3) wird abgebildet auf x_1-x_2+9x_3 Wodrauf wird denn jetzt zum Beispiel (1;2;3) abgebildet? |
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21.11.2008, 18:43 | Gast3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(1,2,3) wird auf (1,2,27) abgebildet |
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21.11.2008, 18:47 | Problemfinder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eben nicht Du kommst aus dem R_3 und landest in R da kannst du also keinen Vektor mit drei komponenten herausbekommen....sondern lediglich eine Zahl in R |
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21.11.2008, 19:01 | Gast3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
muss ich die zahlen einsetzen und addieren? |
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21.11.2008, 19:04 | Problemfinder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jip |
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21.11.2008, 19:08 | Gast3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann müsste 26 die lösung sein. |
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21.11.2008, 19:13 | Problemfinder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
richtig....ich hoffe jetzt hast du verstanden, was deine Abbildung "tut"... Versuch jetzt mal allgemein, sprich für ein x=(x_1;x_2;x_3) ein y=(y_1;y_2;y_3), und für die weiteren die ich eben genannt hatte die Abbildung aufzuschreiben und gemäß deinen Anforderungen an eine lineare Abbildung zu vergleichen |
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21.11.2008, 19:25 | Gast3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hab nen totalen blackout jetzt |
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21.11.2008, 19:37 | Problemfinder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für x hatten wir f(x)= x_1-x_2+9x_3 für y bekommen wir dann vermutlich f(y)=y_1-y_2+9y_3 Anm.: Du hattest dieses Bild mit A(x) bezeichnet in der Defintioneiner linearen Abbildung. Was bekommen wir jetzt für f(x+y) und was ergibt f(x) + f(y) |
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21.11.2008, 19:41 | Gast3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm f (x+y) = (x1 -x2 + 9x3 + y1 -y2 + 9y3) f(x) + f(y) = (x1 -x2+9x3) + (y1 -y2 +9y3) |
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21.11.2008, 19:49 | Problemfinder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ohne wertung f(x)+f(y) stimmt, beachte allerdings: du bist jetzt in R du kannst also rechnen wie mit Zahlen: die klammern sind also unnötig: Bsp: f(1,1,1)=1-1+9=9 f(2,2,2)=2-2+18=18 f(1,1,1)+f(2,2,2)=(1-1+9)+(2-2+18)=1-1+9+2-2+18=9+18=27 zu f(x+y) was ist denn (x+y) also wie addiert man denn vektoren? und dann setz das genau in deine abbildungsvorschrift ein |
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21.11.2008, 19:53 | Gast3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f (x+y) = müsst laut beispiel auch 27 ergeben. also wäre die bedinung erfüllt? |
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21.11.2008, 19:56 | Problemfinder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jetzt noch formell aufschreiben...also mit (x_1;x_2;x_3) und (y_1;y_2;y_3) dann kommen wir der sache näher |
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21.11.2008, 19:57 | Gast3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f (x+y) ( x1 -x2 +9x3 -y1 -y2 +9y3) |
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21.11.2008, 20:02 | Problemfinder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
einverstanden? Und nu vergleichen mit f(x)+f(y) passt das? Dann das selbe für deine zweite Bedingung der linearität |
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21.11.2008, 22:07 | Gast3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
es passt auf beiden seiten kommt das gleiche. nun zur zweiten bedinung \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_1\lambda \\ a_2\lambda \\ a_3 \lambda \end{pmatrix} auch hier gilt die gleichheit wenn man für lambda =1 und für den Vektor (1,2,3) einsetzt. als lösung kommt 26 raus |
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22.11.2008, 09:37 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Toll. Das sollte aber auch allgemein gelten: . Und nachdem Problemfinder den ersten Teil fast komplett vorgerechnet hat, solltest du diesen Teil selber können. |
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22.11.2008, 10:06 | Problemfinder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eben :-) Es muss für JEDES lamdba und für jedes x gelten, das musst du aufschreiben |
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24.11.2008, 23:35 | Gast3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
vielen dank hab die aufgabe verstanden und gelöst: die aufgabe ist eine lineare abbildung. man kann beide bedinung auch in eine zusammenfassen, so dass man keine lange rechenschritte hat. |
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