lineare abbildungen

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Gast3 Auf diesen Beitrag antworten »
lineare abbildungen
hi,

ich soll begrüden oder widerlegen, ob die folgende abilldung linear ist:

f: R^3 ->R^2, (x1, x2, x3)^T |-----> x1 - x2 +9x3


ich habs versucht und nicht hinbekommen. meine idee:

eine 3 x 3 Matrix soll auf eine 2 x 2 Matrix abgebildet werden. (x1, x2, x3)^T ist ein transponierter spalten vektor mit dem die matrix multipliziert werden soll.
meiner meinung nach geht das nicht weil der spalten vektor 3 x 1 ist.

ich bin ziemlich unsicher wie ich das beweisen soll und ob überhaupt meine idee richtig ist.

ich wäre dankbar für ne erklärung wie ich die Aufgabe zu lösen habe
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare abbildungen
Zitat:
Original von Gast3
eine 3 x 3 Matrix soll auf eine 2 x 2 Matrix abgebildet werden.

Unfug. Hier wird ein Vektor mit 3 Komponenten auf einen Vektor mit 2 Komponenten abgebildet. Das sagt schon die Angabe: f: R^3 ->R^2 .

Allerdings stellt der Ausdruck "x1 - x2 +9x3" keinen 2-komponentigen Vektor dar. Du solltest also nochmal in die Aufgabe schauen.
Gast3 Auf diesen Beitrag antworten »

war ein tippfehler. es sollte ein ein komponentiger vektor sein.
Gast3 Auf diesen Beitrag antworten »

als zusatz:

Stellen Sie die Abbildungen, die linear sind, in (Matrix·Vektor)-Schreibweise, d.h. f (x) = A·x für
alle x element D(f) , dar
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muß es aber auch lauten: f: R^3 -> R

Also jetzt erstmal die Linearität der Abbildung. Was muß dazu erfüllt sein?
Gast3 Auf diesen Beitrag antworten »

es müssen zwei bedinung erfüllt sein und zwar:

1) A( x+ y) = A(x) + A(y)

2) A(ix) = i *A(x)
 
 
Problemfinder Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Gast,

dann rechne das dochmal aus....

bilde mal ein x ab
bilde mal ein y ab
bilde mal ein x+y ab

bilde mal ein ix ab
bilde mal ein x ab und nimm das mal i

so kannst du ja schon was vergleichen

Gruß
Problemfinder
Gast3 Auf diesen Beitrag antworten »

ist es den egal was ich für x, y, z einsetze

weil laut aufgabenstellung soll das gelten

f: R^3 ->R^2, (x1, x2, x3)^T |-----> x1 - x2 +9x3
Gast3 Auf diesen Beitrag antworten »

statt R^2 soll das auf R abgebildet werden
Problemfinder Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss ja egal sein, denn das ganze soll ja wenn überhaupt allgemein sein...

Du hast glaube ich noch nicht ganz verstanden was deine Abbildung macht.

Allgemein heißt es:

(x_1;x_2;x_3) wird abgebildet auf x_1-x_2+9x_3

Wodrauf wird denn jetzt zum Beispiel (1;2;3) abgebildet?
Gast3 Auf diesen Beitrag antworten »

(1,2,3) wird auf (1,2,27) abgebildet
Problemfinder Auf diesen Beitrag antworten »

Eben nicht unglücklich

Du kommst aus dem R_3 und landest in R da kannst du also keinen Vektor mit drei komponenten herausbekommen....sondern lediglich eine Zahl in R
Gast3 Auf diesen Beitrag antworten »

muss ich die zahlen einsetzen und addieren?
Problemfinder Auf diesen Beitrag antworten »

jip
Gast3 Auf diesen Beitrag antworten »

dann müsste 26 die lösung sein.
Problemfinder Auf diesen Beitrag antworten »

richtig....ich hoffe jetzt hast du verstanden, was deine Abbildung "tut"...

Versuch jetzt mal allgemein, sprich für ein x=(x_1;x_2;x_3) ein y=(y_1;y_2;y_3), und für die weiteren die ich eben genannt hatte die Abbildung aufzuschreiben und gemäß deinen Anforderungen an eine lineare Abbildung zu vergleichen
Gast3 Auf diesen Beitrag antworten »

hab nen totalen blackout jetzt unglücklich unglücklich unglücklich
Problemfinder Auf diesen Beitrag antworten »

Für x hatten wir f(x)= x_1-x_2+9x_3
für y bekommen wir dann vermutlich f(y)=y_1-y_2+9y_3

Anm.: Du hattest dieses Bild mit A(x) bezeichnet in der Defintioneiner linearen Abbildung.

Was bekommen wir jetzt für f(x+y) und was ergibt f(x) + f(y)
Gast3 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm

f (x+y) = (x1 -x2 + 9x3 + y1 -y2 + 9y3)

f(x) + f(y) = (x1 -x2+9x3) + (y1 -y2 +9y3)
Problemfinder Auf diesen Beitrag antworten »

ohne wertung verwirrt

f(x)+f(y) stimmt, beachte allerdings: du bist jetzt in R du kannst also rechnen wie mit Zahlen: die klammern sind also unnötig:

Bsp: f(1,1,1)=1-1+9=9
f(2,2,2)=2-2+18=18

f(1,1,1)+f(2,2,2)=(1-1+9)+(2-2+18)=1-1+9+2-2+18=9+18=27

zu f(x+y) was ist denn (x+y) also wie addiert man denn vektoren? und dann setz das genau in deine abbildungsvorschrift ein
Gast3 Auf diesen Beitrag antworten »

f (x+y) = müsst laut beispiel auch 27 ergeben. also wäre die bedinung erfüllt?
Problemfinder Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt noch formell aufschreiben...also mit (x_1;x_2;x_3) und (y_1;y_2;y_3) dann kommen wir der sache näher
Gast3 Auf diesen Beitrag antworten »

f (x+y) ( x1 -x2 +9x3 -y1 -y2 +9y3)
Problemfinder Auf diesen Beitrag antworten »



einverstanden?

Und nu vergleichen mit f(x)+f(y) passt das?

Dann das selbe für deine zweite Bedingung der linearität
Gast3 Auf diesen Beitrag antworten »

es passt auf beiden seiten kommt das gleiche.

nun zur zweiten bedinung

\lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_1\lambda \\ a_2\lambda \\ a_3 \lambda \end{pmatrix}

auch hier gilt die gleichheit wenn man für lambda =1 und für den Vektor (1,2,3) einsetzt.

als lösung kommt 26 raus
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast3
auch hier gilt die gleichheit wenn man für lambda =1 und für den Vektor (1,2,3) einsetzt.

Toll. Das sollte aber auch allgemein gelten: .

Und nachdem Problemfinder den ersten Teil fast komplett vorgerechnet hat, solltest du diesen Teil selber können.
Problemfinder Auf diesen Beitrag antworten »

Eben :-)

Es muss für JEDES lamdba und für jedes x gelten, das musst du aufschreiben
Gast3 Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank hab die aufgabe verstanden und gelöst: die aufgabe ist eine lineare abbildung. man kann beide bedinung auch in eine zusammenfassen, so dass man keine lange rechenschritte hat.
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