Eigenwert von A² => EW von A zur Wurzel?

22.11.2008, 12:52

eiersuppe

Eigenwert von A² => EW von A zur Wurzel?

Moin!

Ich habe gezeigt, dass der Eigenwert von A auch Eigenwert von A² zum Quadrat ist.
Gilt auch die Aussage:
Ist q² EW von A² => q ist EW von A?

Denn diese Aussage bräuchte ich denke ich noch, um meinen Beweis fertig zu machen. Sonst könnte es ja sein, dass bei A² noch zusätzliche EW dazu kommen und ich auf einmal nicht mehr sicher auf maximale EW schließen kann etc.

Aber komischerweise kriege ich das nicht ganz hin.
Eigentlich müsste immer A^(-1)q^2 EW von A sein...

Hoffe ihr könnt mir schnell helfen!!

22.11.2008, 13:05

tigerbine

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Rückfrage
Schauen wir uns doch einmal an, was du gezeigt hast.

Sei v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert q, so gilt:

$\begin{eqnarray*} Av=qv \end{eqnarray*}$

Somit folgt für die Matrix A²:

$\begin{eqnarray*} A²v=A(Av) = A(qv) = q (Av) = q^2v \end{eqnarray*}$

Somit ist v auch ein Eigenvektor von A zum Eigenwert q².

Nun willst du das ganze Umkehren. Zunächst einmal, wie willst du, nur bei der Kenntnis von q² das q berechnen? Da gibst es ja zwei Möglichkeiten. Und das nicht beide Lösungen generell in Frage kommen, ließe sich ja schon mit A als Einheitsmatrix widerlegen.

22.11.2008, 13:05

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Zitat:

Original von eiersuppe
Gilt auch die Aussage:
Ist q² EW von A² => q ist EW von A?

Nein, sie gilt nicht. Ein einfaches (um nicht zu sagen: einfachstes) Gegenbeispiel ist Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q=-1 \end{eqnarray*}$ .

EDIT: ... nicht schon wieder. Ups

22.11.2008, 13:17

eiersuppe

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hallo, danke für die Antworten.

Das ist aber extrem ungünstig.
Ich will nämlich zeigen, dass für eine s.p.d Matrix A gilt:
$\begin{eqnarray*} ||A||_2 = \lambda_{max}(A) \end{eqnarray*}$

Mit der Definition kommt man sehr schnell auf
$\begin{eqnarray*} ||A||_2 = \sqrt{\lambda_{max}(A^2)} \end{eqnarray*}$

Ich müsste jetzt also zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \lambda_{max}(A)^2 = \lambda_{max}(A^2) \end{eqnarray*}$

Jetzt versteht ihr wahrscheinlich, wöfür ich eigentlich diese Aussage brauchte. Denn die Richtung, die ich gezeigt habe, dürfte ja nicht reichen... unglücklich

23.11.2008, 02:20

Mathespezialschüler

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Und warum sagst du das nicht gleich? Im Übrigen könntest du "symmetrisch" und "positiv definiet" auch ausschreiben, sonst muss man das erst erraten. Wenn sie positiv definit ist, dann sind alle Eigenwerte positiv und damit tritt obiges Problem nicht mehr auf. Sei also $\begin{eqnarray*} q>0 \end{eqnarray*}$ so gegeben, dass $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ eine Eigenwert von $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ ist. Dann gilt $\begin{eqnarray*} A^2v=q^2v \end{eqnarray*}$ für den zugehörigen Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} (A+qE)(A-qE)v=0 \end{eqnarray*}$ . Was erhält man daraus und warum?

23.11.2008, 14:15

eiersuppe

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Moin und danke für die Antwort!

Habs net gleich gesagt, weil ich dachte, das die Rückrichtung oben gelten würde, das hätte mir ja gereicht.
s.p.d wird bei uns nur benutzt, daher dachte ich, dass ist allgemein bekannt und man müsse nix raten.

Allerdings kapier ich deinen Post nicht unglücklich

Du meinst mit obigem Problem wohl das Gegenbeispiel von oben, dass mit positiven Eigenwerten nicht mehr auftritt, richtig?

Ich komme mit bis $\begin{eqnarray*} A^2v=q^2v \end{eqnarray*}$
Warum das danach folgt, check ich leider noch nicht so ganz.
Du folgerst das einfach aus $\begin{eqnarray*} v(A^2-q^2) \end{eqnarray*}$ oder?

Aus deiner Gleichung würde ich folgern, dass
$\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} A=-qE \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} A=+qE \end{eqnarray*}$

und das ist doch ziemlicher blödsinn, oda?
traurig

23.11.2008, 19:22

Mathespezialschüler

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Du solltest das Rechnen mit Matrizen nochmal üben. Du hast eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und einen Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ auch eine Matrix und $\begin{eqnarray*} A^2v \end{eqnarray*}$ ist wieder ein Vektor. $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ist eine Zahl, was dann auch für $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ gilt. $\begin{eqnarray*} q^2v \end{eqnarray*}$ ist dann wieder ein Vektor und das kann man mit der Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ auch so schreiben: $\begin{eqnarray*} q^2Ev \end{eqnarray*}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray*} q^2E \end{eqnarray*}$ natürlich auch eine Matrix, und zwar die, die auf der Diagonalen nur $\begin{eqnarray*} q^2 \end{eqnarray*}$ und sonst überall Nullen zu stehen hat. Und dann kommen Rechenregeln für Matrizen und Vektoren und für die Matrixmultiplikation ins Spiel:

$\begin{eqnarray*} A^2v=q^2Ev\Rightarrow A^2v-\left(q^2E\right)v=0\Rightarrow \left(A^2-q^2E\right)v=0 \end{eqnarray*}$ .

Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} v\left(A^2-q^2\right) \end{eqnarray*}$ ergibt übrigens schon erst recht keinen Sinn - wie willst du von einer Matrix eine Zahl abziehen? Außerdem muss das $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ nach hinten. Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ bzw. das Produkt, wie du es hingeschrieben hast, ist gar nicht definiert. Wir rechnen doch hier nicht mit Zahlen!

Aus obiger Gleichung folgt jetzt absolut gar nicht $\begin{eqnarray*} A^2-q^2E=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ . Es gibt natürlich auch Matrizen $\begin{eqnarray*} B\neq 0 \end{eqnarray*}$ und Vektoren $\begin{eqnarray*} w\neq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Bw=0 \end{eqnarray*}$ . Das sind dann nichttriviale Gleichungssysteme, die nicht eindeutig lösbar sind. Sowas sollte dir schon begegnet sein. In diesem Fall ist $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ natürlich nicht invertierbar.

Also wir sind jetzt bei $\begin{eqnarray*} \left(A^2-q^2E\right)v=0 \end{eqnarray*}$ , woraus

$\begin{eqnarray*} (A+qE)((A-qE)v)=((A+qE)(A-qE))v=0 \end{eqnarray*}$

folgt. Hier treten nur Matrixmultipikationen auf und diese Multiplikation ist assoziativ, deswegen darf man die Klammern setzen, wie man will. Was weißt du nun über die Matrix $\begin{eqnarray*} A+qE \end{eqnarray*}$ und warum? Beachte, dass $\begin{eqnarray*} q>0 \end{eqnarray*}$ gilt.

23.11.2008, 22:33

eiersuppe

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guten abend!

Vielen Dank für die ausführlichen Erklärungen, die haben mich schon mal weiter gebracht smile

Tja, was weiß ich über $\begin{eqnarray*} A+qE \end{eqnarray*}$
hmm....
- sie ist symmetrisch. (weil A s.p.d)

Ich kapier leider echt noch nicht, worauf mich das führen muss. Also im Prinzip habe ich meine s.p.d Matrix A und addiere überall q (>0) auf die Diagonale.
Ich würde annehmen dass A+qE dann immer noch s.p.d ist und damit invertierbar.

hmm... verwirrt

...Ich muss ja irgendwie auf q als Eigenwert schließen...
ich hab grad bei Wikipedia die gleichung $\begin{eqnarray*} (A-\lambda E) \cdot x = 0 \end{eqnarray*}$ gesehen. Daraus kann man auf lambda als Eigenwert schließen...das sieht ja verdammt ähnlich aus...

tja, aber es tut mir leid, immer bin weiterhin etwas überfragt traurig

23.11.2008, 22:44

Mathespezialschüler

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Also weinen musst du nicht immer ...

Da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ symmetrisch und positiv definit ist, sind alle Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ positiv. Damit kann $\begin{eqnarray*} -q \end{eqnarray*}$ kein Eigenwert sein. Das ist genau dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} A-(-qE)=A+qE \end{eqnarray*}$ invertierbar ist. Also kannst du obige Gleichung mit $\begin{eqnarray*} (A+qE)^{-1} \end{eqnarray*}$ von links (!) multiplizieren. Was erhältst du dann? Denke dabei an die Definition von Eigenwert und Eigenvektor usw.

23.11.2008, 23:15

eiersuppe

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ok, ich weine nicht mehr Augenzwinkern

Du "musst" mir nur noch erklären warum -q genau dann kein Eigenwert ist, wenn A+qE invertierbar ist.

Weil wenn ich rechne

$\begin{eqnarray*} (A+qE)^{-1}((A+qE)(A-qE))v = (A+qE)^{-1}0 \end{eqnarray*}$

erhalte ich
$\begin{eqnarray*} (A-qE)v = 0 \end{eqnarray*}$

Und das hieße, dass q Eigenwert ist! (weil man Ax=qEx äquivalent dazu umformen kann).

23.11.2008, 23:39

Mathespezialschüler

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Eine Matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ hat den Eigenwert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn ein Vektor $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} Bv=\mu v \end{eqnarray*}$ . Das ist die Definition. Dies ist äquivalent dazu, dass es einen Vektor $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} (B-\mu E)v=0 \end{eqnarray*}$ .

In der linearen Algebra lernt man über homogene Gleichungssysteme, dass diese genau dann nichttriviale Lösungen haben, wenn $\begin{eqnarray*} B-\mu E \end{eqnarray*}$ nicht vollen Rang, d.h. genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} B-\mu E \end{eqnarray*}$ nicht invertierbar ist.

Also ist $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ genau dann kein Eigenwert, wenn $\begin{eqnarray*} B-\mu E \end{eqnarray*}$ doch invertierbar ist, denn genau dann besitzt das obige Gleichungssystem nur die triviale Lösung $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ und das ist wiederum genau dann der Fall, wenn es eben keinen Eigenvektor zu dem Wert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ gibt.

24.11.2008, 13:09

WebFritzi

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@MSS: Die Schreibweise A - q ist allgemein üblich. Augenzwinkern

EDIT: Siehe z.B. in meiner Signatur. Augenzwinkern

24.11.2008, 17:34

Mathespezialschüler

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Aha ok. Ich habe das nie so gelernt und es wurde immer darauf geachtet, dass es richtig gemacht wird. Da ich das auch besser finde, werde ich mich auch weiterhin dran halten. Abgesehen davon bin ich nicht sicher, ob eiersuppe es deswegen so geschrieben hat oder ob er dabei wirklich einen substantiellen Fehler gemacht hat. Aber danke trotzdem für den Hinweis!

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