Gaußscher Algorithmus / Inverse von Matrizen

22.11.2008, 13:55

Steppo

Gaußscher Algorithmus / Inverse von Matrizen

Hallo,

ich hocke gerade an meinen Hausaufagben für LinA I für Ingenieure. Eine der AUfgaben ist es Matrizen in nomierte Zeilenstufenform zu bringen. Ich weiss das man sie zunächst in Zeilenstufenform bringen muss, also das jedes Kopfelement links vom Kopf der nachfolgenden zeile stehen muss. Und dann, um die NSZF zu erhalten, muss jeder Kopf = 1 und alle Zahlen darunter =0 sein. Egal wie ich auch rechne, ich komm einfach nich auf die NSZF, hab da immer nen Widerspruch drin. Der darf jedoch nicht sein, denn die nächste Teilöaufgabe besteht darin, die Lösung abzulesen. Ich benutze nur elementare Zeilenoperationenn. Hab dazu aber auch eine Frage: Nehmen wir an ich will 2 Zeilen vertauschen. z-B. wir ahben 3 zeilen: a,b,c. Ich will a und c vertauschen. Wie schreib ich das dann? -c,b,a oder c,b,-a oder -c,b,-a???

Mein zweites Problem ist die INverse einer Matrix. Auch hier ist mir die Vorgehensweise durchaus bekannt. Man schreibt die Einheistmatrix daneben und wendet solange Zeilemoperationen an, bis die Einheitsmatrix auf der linken Seite steht. Jedoch unterlaufen mi anscheinend auch hier Fehler!

Kann mir bitte jemand, und bitte so simpel wie möglich Hammer

an einer Matrix mit 3 zeilen, 4 Spalten und hintedran nem ergenisvektor, bitte zeigen wies geht? Lehrer

Muss die Hausaufagben bis moirgen mittag fertig haben, da ich heute Abend keine Zeit hab und morgen ab 15 Uhr auch nicht.

Danke schonmal

22.11.2008, 14:00

tigerbine

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Aber wir lassen uns von dir doch keine Zeitvorgaben machen. unglücklich

Hier kannst du dir es vorrechnen lassen: http://www.mathetools.de/

22.11.2008, 14:03

Steppo

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Ich mein ja nur, wär cool wenn ich das bis dahin fertig hätte, klang vllt. ein bissche hart, sorry. Auf der Seite war ich schon, das kapier ich überhaupt nicht, weil da nur die Zwischenschritte ohne Kommentar aufgelistet sind.

22.11.2008, 15:32

klarsoweit

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RE: Gaußscher Algorithmus / Inverse von Matrizen

Zitat:

Original von Steppo
Kann mir bitte jemand, und bitte so simpel wie möglich Hammer

an einer Matrix mit 3 zeilen, 4 Spalten und hintedran nem ergenisvektor, bitte zeigen wies geht? Lehrer

Ich glaube, das wird wenig bringen, da du anscheinend nur Rechenfehler machst. Wie wäre es, wenn du deine Rechnung mal postest, dann können wir sehen, was du falsch machst?

22.11.2008, 16:06

Steppo

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ok, hier die matrix mit ergebnis vektor: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann hab ich I + III gerechnet:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann III-I
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann II + 2I:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & 3 \\ 0 & -7 & 0 & 7 \\ 0 & 2 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ jetzt wirds lustich: II + (7/2)III
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -12 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dann komm ich nich weiter.... In Zeile II ist irgendwie ein widerspruch...

Nun mein Beispeil für die Inversenberechnung.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 & 0 & -2 \\ 0 & -8 & 0 \\ -6 & 10 & 0 \end{pmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ -III + I in I :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 10 & -2 \\ 0 & -8 & 0 \\ -6 & 10 & 0 \end{pmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ dann III+I in III:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 10 & -2 \\ 0 & -8 & 0 \\ -5 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ und ab hier häng ich auch wieder....

Achso, eine Frage noch: darf ich bi der Berecchnung der Inverse auch einfach so Zeilen vertauschen?

22.11.2008, 16:36

klarsoweit

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Zu 1: Das GLS ist unlösbar. Oder du hast falsch abgeschrieben. Wie wäre es mit:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Zu 2: In der zweiten Matrix muß es in der ersten Zeile -10 heißen. Und ja, du darfst Zeilen vertauschen.

22.11.2008, 16:44

Steppo

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ok da hat beim ergebnisvektor das minus vor der 4gefehlt, is aber trotzdem nicht lösbar, aber darum gehts ja sekundär nur. primär muss ich die NSZF berechnen. Und bei der Inverse: Muss ich die Ganze Zeile vertauschen oder nur die Linke Hälfte ohne die Einheitsmatrix?

22.11.2008, 17:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Steppo
ok da hat beim ergebnisvektor das minus vor der 4gefehlt, is aber trotzdem nicht lösbar, aber darum gehts ja sekundär nur.

So, so.

Probiere mal den Vektor (2, 3, 0, 1). smile

Zitat:

Original von Steppo
Und bei der Inverse: Muss ich die Ganze Zeile vertauschen oder nur die Linke Hälfte ohne die Einheitsmatrix?

Ja, die ganze Zeile, also mit der mehr oder weniger schon umgeformten Einheitsmatrix.

22.11.2008, 17:56

Steppo

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Jetzt sich ich schobn seit ca. 12 Uhr... und das einzige wasich bis dato hab sind die NZSF's. Das schlimme bei der Matrixinversion ist, das ich das Ergebnis nur über die Zwischenschritte eintragen kann. Muss das nämlich online machen. Also nix mit Mathetools... und ich komm einfach nicht klar weil da auch so ganz fiese Brüche rauskommen...

22.11.2008, 18:34

klarsoweit

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Ich habe dafür 10 Minuten und 5 Umformungen gebraucht. Die Inverse ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -\frac{5}{24} & -\frac 1 6 \\ 0 & -\frac 1 8 & 0 \\ -\frac 1 2 & \frac{25}{48} & \frac{5}{12} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

22.11.2008, 23:19

Steppo

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wie gesagt, das Ergebnis direkt lässt sich nicht eintargen sondern nur die Umformungen. Und da ich immer noch auf dem sSchlauch stehe wär ich dir sehr verbunden, wenn du mir deine rechenschritte sagen könntest,d amit ich es am 2. Beispiel allein schaffe.

23.11.2008, 11:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von Steppo
wie gesagt, das Ergebnis direkt lässt sich nicht eintargen sondern nur die Umformungen.

Was soll mir dieser Satz sagen? verwirrt

Ich habe das Ergebnis und ich habe es hier eingetragen, also wo ist jetzt das Problem? Du mußt doch nur ganz normale Umformungsschritte machen. OK, da tauchen ein paar Brüche auf. Aber meine Güte, das kann doch keinen Studenten aus der Bahn werfen.

23.11.2008, 12:18

Steppo

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ja das hab ich auch gedacht... Hammer

aber ich hab dbestimmt schon 5 mal versucht die Inverse zu berechnen und irgendwo hackts immer... Und der Satz is so gemeint wie er dasteht. Ich kann halt nur in eine grafische Schnittstelle die Umformungen eingeben, nicht direkt das Ergebnis. unglücklich

23.11.2008, 13:09

klarsoweit

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Dann mußt du eben schöööön langsam rechnen. Einen Umformungsfehler habe ich dir oben schon genannt.

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