Wahrscheinlichkeit für "mindestens 40 von 100"

29.08.2006, 20:41

blondi

Wahrscheinlichkeit für "mindestens 40 von 100"

Hallöle!

Ich habe eine Frage zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.

Die Aufgabe:

Ein Test wurde durchgeführt, indem die Hälfte aller Autos keinen Kindersitz hatte.

Jetzt muss ich die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass genau 40 und mindestens 40 Kinder von 100 ohne Kindersitz entdeckt werden.

Bei genau 40 ist es relativ klar für mich glaub ich:

(100|40) soll "100 über 40" bedeuten

$\begin{eqnarray*} P(X=40) = (100|40) \cdot (\frac{1}{2})^{40}\cdot (\frac{1}{2})^{60} = 1,08% \end{eqnarray*}$

Aber wie berechne ich das für die Wahrscheinlichkeit aus, dass mindestens 40 entdeckt werden? Dann müsste ich es doch theoretisch genauso machen, nur für k=40, k=41...k=100 und die Einzelwahrscheinlichkeiten addieren? Aber ich kann das ja nicht 60x machen. Mit welcher Formel kann man das machen? verwirrt

Danke

29.08.2006, 21:05

xrt-Physik

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Es gibt eine Formel dafür! Für genau 40 Kindersitze gilt, wenn n Anzahl
der Test ist und k Anzahl der Kindersitze und p die Wahrscheinlichkeit:

$\begin{eqnarray*} P(X = k) = (n|k)(p)^{k}(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Hierbei setzt man einfach alle gegebenen Werte ein!

Für mindestens 40 Kindersitze gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X \geq k) = 1 - \sum_{i=0}^k~(n|i)(p)^{i}(1-p)^{n-i} \end{eqnarray*}$

Man setzt nur p und n ein!

29.08.2006, 21:23

blondi

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Versteh ich nicht. unglücklich

Ich kann mit Formlen, die das Summenzeichen enthalten, nicht so viel anfangen. Und warum steht darunter i=0?

29.08.2006, 22:12

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Kleiner LaTeX-Tipp für euch beide: Der Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ wird da \binom{n}{k} geschrieben.

29.08.2006, 22:28

yeti777

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Hallo blondi!

Es handelt sich hier um ein BERNOULLI-Experiment der Länge $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (Sitz, kein Sitz). Es gibt $\begin{eqnarray*} {n \choose k} \end{eqnarray*}$ Folgen, bei denen genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -mal ein Erfolg eintritt. Die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist binomial-verteilt, dh. $\begin{eqnarray*} P(X = k) = {n \choose k}p^k (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$ . Die Bedingung "mindestens 40" bedeutet jetzt, dass die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Werte $\begin{eqnarray*} 40,41, 42,...100 \end{eqnarray*}$ annehmen kann. Da diese Ereignisse statistisch unabhängig voneinander sind, addieren sich die Wahrscheinlichkeiten, $\begin{eqnarray*} P(X=40) + P(X=41) +P(X=42) +...+ P(X=100) \end{eqnarray*}$ . Eleganter schreibt sich das mit dem Summenzeichen.

Die Berechnung dieser Summe ist mühsam, wenn man nicht ein entsprechendes Rechnerprogramm hat. Zum Glück haben wir den Grenzwertsatz von MOIVRE-LAPLACE, ein Spezialfall des Zentralen Grenzwertsatzes, der besagt, dass man die BINOMIAL-Verteilung unter gewissen Bedingungen durch die NORMAL-Verteilung approximieren darf. Dabei gilt: $\begin{eqnarray*} \mu = np \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt{np(1-p)} \end{eqnarray*}$ . Als Faustformel für die Approximation gilt allgemein $\begin{eqnarray*} np(1-p) > 9 \end{eqnarray*}$ . In unserem Beispiel ist diese Bedingung erfüllt (selber nachrechnen). Damit kannst du den zweiten Teil deiner Aufgabe mit der Normalverteilung lösen.

Gruss yeti

PS. $\begin{eqnarray*} P(X>=40) = 1 - P(X<39) \end{eqnarray*}$

Sorry, therisen. Kam zu spät mit meinem PS!

29.08.2006, 22:31

therisen

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Zitat:

Original von xrt-Physik
Für mindestens 40 Kindersitze gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X \geq k) = 1 - \sum_{i=0}^k~(n|i)(p)^{i}(1-p)^{n-i} \end{eqnarray*}$

Zwei Ungereimtheiten:
a) Die von dir genannte Formel hängt nicht von den 40 Kindersitzen ab Augenzwinkern

b) Die Formel ist falsch. Es ist $\begin{eqnarray*} P(X \geq k) = 1 - P(x < k) = 1 - \sum_{i=0}^{k-1} {k-1 \choose i} p^i q^{k-1-i} \end{eqnarray*}$

EDIT: Meine Formel ist aber auch Blödsinn, siehe unten. Richtig wäre $\begin{eqnarray*} 1 - P(x < k) = 1 - \sum_{i=0}^{k-1} {n \choose i} p^i q^{n-i} \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

31.08.2006, 12:29

yeti777

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@therisen:
Zu b): Sei $\begin{eqnarray*} m:=k-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1= 1^m= (p+ (1- p))^m= \sum_{i=0}^m~{m \choose i} p^i(1- p)^{m-i} \end{eqnarray*}$ , binomischer Satz!
=> Das Resultat deiner Formel ist für beliebige k und p immer gleich Null unglücklich

.

Zur ursprünglichen Aufgabe:

Zitat:

Original von blondi

Ein Test wurde durchgeführt, indem die Hälfte aller Autos keinen Kindersitz hatte.

Jetzt muss ich die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass genau 40 und mindestens 40 Kinder von 100 ohne Kindersitz entdeckt werden.

1. Exakte Lösung mit BINOMIAL-Verteilung:
$\begin{eqnarray*} P(X>=40)= 1- P(X<40)= 1- \sum_{i=0}^{39}~{100 \choose i}0.5^i(1-0.5)^{100- i} \approx 0.98240 \end{eqnarray*}$

2. Approximative Lösung mit Normalverteilung:
$\begin{eqnarray*} n= 100,\,p=\frac{1}{2} \Rightarrow \mu= np= 50,\,\sigma^2= np(1- p)= 25 > 9\Rightarrow \end{eqnarray*}$ Die Approximation mit der Normalverteilung ist zulässig. Mit Stetigkeitskorrektur folgt jetzt für die standardisierte Normalverteilung:
$\begin{eqnarray*} P(X>=40)= 1- P(X<40)= 1- \Phi((40-0.5- \mu)/\sigma)= 1- \Phi((40-0.5- 50)/5) = 1- \Phi(- 2.10000)= \Phi(2.10000) \approx 0.98214 \end{eqnarray*}$
Die Abweichung gegenüber der exakten Lösung beträgt lediglich $\begin{eqnarray*} 2.6\cdot10^{- 4} \end{eqnarray*}$

Zu a) deines Posts: Wie du siehst, hängt die Formel sehr wohl von den 40 Kindersitzen ab!

@blondi: Nachdem sich verschiedene Teilnehmer des Boards mit deiner Aufgabe vergnügt haben, ist dir jetzt klar, wie die Lösung läuft?

Gruss yeti

31.08.2006, 13:25

therisen

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Zitat:

Zu a) deines Posts: Wie du siehst, hängt die Formel sehr wohl von den 40 Kindersitzen ab!

Ja, b) war Blödsinn, aber a) nicht. Statt k hätte er eben besser 40 oder $\begin{eqnarray*} k:=40 \end{eqnarray*}$ geschrieben, wobei dann immer noch als Summationsgrenze statt k eben k-1 hätte stehen müssen. Im Übrigen war das nur ein Flüchtigkeitsfehler, ich kenne mich sehr wohl mit der Binomialverteilung aus, siehe auch meine anderen Beiträge, also bitte keine solchen Belehrungen (für Dumme) Lehrer

Zitat:

Original von yeti777
PS. $\begin{eqnarray*} P(X>=40) = 1 - P(X<39) \end{eqnarray*}$

Das ist ja wohl auch falsch.

06.09.2006, 10:41

yeti777

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Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Original von yeti777
PS. $\begin{eqnarray*} P(X>=40) = 1 - P(X<39) \end{eqnarray*}$

Das ist ja wohl auch falsch.

Ja, du hast natürlich recht. Das müsste $\begin{eqnarray*} P(X>=40)=1-P(X<40) \end{eqnarray*}$ heissen. Ich habe den Fahler beim Schreiben meines letzten Beitrags bemerkt, habe ihn aber unter Beachtung der Boardregeln nicht korrigiert.

Gruss yeti

06.09.2006, 15:18

Ben Sisko

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Zitat:

Original von yeti777
Ich habe den Fahler beim Schreiben meines letzten Beitrags bemerkt, habe ihn aber unter Beachtung der Boardregeln nicht korrigiert.

Wenn du ihn sofort bemerkst und noch niemand geantwortet hat, kannst du ihn natürlich editieren.

Es soll nur vermieden werden, dass Antworten sinnlos in der Luft hängen, weil vorherige Beiträge editiert werden (oder sogar ganz weggelöscht).

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