Primitivwurzeln

24.11.2008, 01:05	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Primitivwurzeln Hallo, bei den folgenden 2 Aufgaben habe ich Probleme: a) Sei p kongruent 1 mod 4 prim und g Primitivwurzel modulo p Zu zeigen ist, dass auch -g Primitivwurzel modulo p ist Mein Lösungsversuch: p=4k+1 --> phi(p)=p-1=4k $\begin{eqnarray} g^{4k}=(g^k)^4 \equiv 1\ mod\ p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-g)^{4k}=g^{4k} \equiv 1\ mod\ p \end{eqnarray}$ b) Sei p kongruent 3 mod 4 prim Zu zeigen ist, dass g eine Primitivwurzel modulo p sein kann, -g aber niemals Hierzu habe ich leider noch keine Idee. Kann mir jemand helfen ? Gruß Björn
24.11.2008, 07:11	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Sowohl in a) als auch in b) mußt du dich noch um die Minimalität des Exponenten $\begin{eqnarray} p-1 = 4k \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} p-1 = 4k+2 \end{eqnarray}$ kümmern. Die Kongruenzen selbst sind ja nicht das Problem, da der Exponent in beiden Fällen gerade ist und somit das Vorzeichen vernichtet.
25.11.2008, 03:34	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir vielleicht noch einen Hinweis geben wie ich untersuchen kann, ob es sich bei einem Exponenten auch wirklich um den kleinsten handelt ? Ist bei a) 4k nicht eh der kleinste Exponent, da 4k+1,4k+2 und 4k+3 immer größer sind oder bin ich da auf der falschen Spur ? Gruß Björn
25.11.2008, 16:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Notation wird einfacher, wenn wir nicht mit ganzen Zahlen modulo $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ rechnen, sondern gleich im Körper $\begin{eqnarray} K = \mathbb{Z}_p = \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Aus den Kongruenzen werden dann Gleichungen. Da $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ungerade ist, gilt $\begin{eqnarray} 1 \neq -1 \end{eqnarray}$ (hiermit sind natürlich die Körperelemente gemeint). Das ist für das Folgende entscheidend. $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ erzeugt nun $\begin{eqnarray} K^{} \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} g^{p-1} = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g^r \neq 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0 < r < p-1 \end{eqnarray}$ (Minimalitätsbedingung) gilt. Jetzt betrachtet man das Element $\begin{eqnarray} a = g^{\frac{p-1}{2}} \end{eqnarray}$ (beachte die Ganzzahligkeit des Exponenten) Es gilt $\begin{eqnarray} a^2 = g^{p-1} = 1 \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} a=1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a=-1 \end{eqnarray}$ . Der erste Fall würde der Minimalitätsbedingung widersprechen. Es muß daher der zweite Fall eintreten: $\begin{eqnarray} g^{\frac{p-1}{2}} = -1 \end{eqnarray}$ Und jetzt berechne $\begin{eqnarray} (-g)^ {\frac{p-1}{2}} \end{eqnarray}$ für die Fälle a) $\begin{eqnarray} p = 4k+1 \end{eqnarray}$ bzw. b) $\begin{eqnarray} p = 4k+3 \end{eqnarray}$ . Welche Folgerungen kannst du aus den Ergebnissen über die Ordnung des Elementes $\begin{eqnarray} -g \end{eqnarray}$ in der Gruppe $\begin{eqnarray} K^{} \end{eqnarray}$ ziehen? Argumentiere sorgfältig.

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