Kreis & Sehnenbewegung

24.11.2008, 18:56

lania

Kreis & Sehnenbewegung

Hallo,

ich häng nun schon eine Weile an einer Aufgabe fest, die irgendwie nicht gelöst werden will Augenzwinkern

:

In einem Kreis dreht sich eine Sehne um einen ihrer Endpunkte P. Ein Punkt X teilt die Sehne stets so, dass das Produkt aus den Sehnenabschnitten konstant bleibt. Beschreiben Sie die Bewegung von X.

Ich hab mir überlegt, dass die Bewegung eigentlich in Form einer Ellipse erfolgen müsste. Weiter bin ich aber nicht gekommen.

Ich bitte um Hilfe Gott

Danke im Voraus

24.11.2008, 19:13

riwe

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RE: Kreis & Sehnenbewegung
möglicherweise der spezialfall einer ellipse smile

24.11.2008, 19:35

lania

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RE: Kreis & Sehnenbewegung
Ich versteh Deine Zeichnung leider nicht ganz. Kannst Du vielleicht nochmal erläutern, was Du genau damit meinst? Gibst es auch einen Weg das Ganze rechnerisch zu begründen?

24.11.2008, 20:15

riwe

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RE: Kreis & Sehnenbewegung

Zitat:

Original von lania
Ich versteh Deine Zeichnung leider nicht ganz. Kannst Du vielleicht nochmal erläutern, was Du genau damit meinst? Gibst es auch einen Weg das Ganze rechnerisch zu begründen?

was ist daran nicht zu verstehen:
das, was du eine ellipse nennst, ist halt ein kreis smile

(die 3 kreise stehen für 3 verschiedene werte des teilungsverhältnisses)

zum rechnen:
da solltest du einmal eine kostprobe deines weges geben
und andererseits: mit welchen mitteln soll denn das gezeigt werden verwirrt

24.11.2008, 20:23

lania

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RE: Kreis & Sehnenbewegung
Aber Deine Zeichnung kann ja nicht für alle Fälle gelten. Nehmen wir z.B. an, dass der Teilungskreis durch den Kreismittelpunkt verläuft, so werden die Sehnen jeweils genau in der Mitte geteilt. Das bedeutet demnach, dass in diesem Fall das Produkt der Sehnenabschnitte nicht konstant bleibt.

24.11.2008, 21:00

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@Werner

Ich bin ehrlich gesagt auch etwas verwirrt:

Zitat:

Original von lania
Ein Punkt X teilt die Sehne stets so, dass das Produkt aus den Sehnenabschnitten konstant bleibt.

Deine Skizze sieht eher so aus, als wäre da der Quotient der Sehnenabschnitte konstant. verwirrt

Aber vielleicht habe ich da auch gerade einen Blackout.

EDIT: Meines Erachtens ist die Lösungsmenge auch ein Kreis, aber einer mit demselben Mittelpunkt wie der Ausgangskreis. Die Konstanz des Produktes der Sehnenabschnitte lässt sich da mit dem Sekantensatz begründen.

24.11.2008, 22:04

riwe

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@arthur,
du hast wie immer recht.
man sollte halt nicht 2 sachen - neben dem häuslbauen - zugleich machen und lesen können.

entschuldigung für die verwirrung

24.11.2008, 22:48

lania

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Danke für die Hilfe ihr beiden smile

31.01.2009, 00:55

Banat

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RE: Kreis & Sehnenbewegung
Ganz einfach eine zweite Sehne einzeichnen, die deine Sehne in einem Punkt
X schneidet.
Nun kannst Du deine Sehne um den Punkt P drehen.
Dabei bekommst du unendlich viele Punkte au der neuen Sehne.
Diese Punkte werden deine alte Sehne so teilen daß, das Prudukt der iimmer
wieder neu etstandenen Sehnenabschnitte stets GLEICH ist.
(SEHNENSATZ)
Dein Punkt X beschreibt ganz einfach eine Gerade entlang der neu eingezeichneten Sehne.

alles klar? Ein Gast

31.01.2009, 01:42

Zellerli

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Wie wäre es mal, wenn du aufs Datum achten würdest? Und auch mal die Aussagen des Hilfesuchenden lesen würdest?

Das Problem ist bereits gelöst und außerdem 2 Monate alt Augenzwinkern

31.01.2009, 10:08

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@Zellerli

Na, nicht so schroff, es kann jeder seine Meinung zum Problem äußern, und so sehr alt ist der Thread ja nun auch wieder nicht. Augenzwinkern

Allerdings ist die Schlußfolgerung

Zitat:

Original von Banat
Dein Punkt X beschreibt ganz einfach eine Gerade entlang der neu eingezeichneten Sehne.

ganz einfach falsch. Der Fehler liegt darin begründet, dass von der falschen Annahme ausgegangen wird, dass bei der Bewegung der alten Sehne
der gemäß Aufgabenstellung (Produktkonstanz!) definierte Teilungspunkt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auf der einmalig festgelegten neuen Sehne verbleibt - das stimmt einfach nicht. unglücklich

Ich nehme den Faden von meinem letzten Beitrag vom November 2008 nochmal auf: Der große Kreis habe Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , und die Sehne $\begin{eqnarray*} PQ \end{eqnarray*}$ mit festem Endpunkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ werde durch einen Punkt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ so geteilt, dass das Sehnenabschnittsprodukt

$\begin{eqnarray*} \overline{PX} \cdot \overline{QX} =: c \end{eqnarray*}$

während der Sehnenbewegung konstant ist.

[attach]9717[/attach]

Dann kann man gemäß Sekanten-Tangentensatz (siehe Skizze) ganz einfach folgern

$\begin{eqnarray*} \overline{MX}^2 = \overline{MT}^2 = r^2-\overline{PT}^2 \stackrel{!}{=} r^2-\overline{PX} \cdot \overline{PX'} = r^2-\overline{PX} \cdot \overline{QX} = r^2-c \end{eqnarray*}$ ,

d.h. der Punkt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ hat jeweils denselben Abstand $\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2-c} \end{eqnarray*}$ zum Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ des Ausgangskreises. Was nichts weiter heißt, als dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ während der Sehnenbewegung auf einem Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2-c} \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ verbleibt.

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