Aussagen für Unterräume beweisen

25.11.2008, 16:47

katatonie

Aussagen für Unterräume beweisen

Sei V ein K-VR mit Dimension mindestens zwei.

Folgende Aussagen sind zu beweisen bzw. zu widerlegen:

Für alle Unterräume $\begin{eqnarray*} U_1, U_2, U_3 \end{eqnarray*}$ von V gilt:

1.) $\begin{eqnarray*} (U_1+U_3) \cap (U_2+U_3) \end{eqnarray*}$ ist Unterraum von $\begin{eqnarray*} (U_1 \cap U_2) + U_3 \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} (U_1 \cap U_3)+(U_2 \cap U_3) \end{eqnarray*}$ ist Unterraum von $\begin{eqnarray*} (U_1+U_2) \cap U_3 \end{eqnarray*}$

Welche Bedingungen gegeben sein müssen, damit ein Raum ein Unterraum ist, weiß ich.
Aber wie ich das hier beweisen soll, weiß ich nicht...es sieht irgendwie nach den typischen Axiomen/Umformungen aus.

Kann mir dabei jemand helfen?

25.11.2008, 17:00

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur 1)

Nehmen wir mal an es sei $\begin{eqnarray*} V = \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_1,U_2,U_3 \end{eqnarray*}$ seien paarweise verschiedene Ursprungsgeraden.

Nun werte mal die Ausdrücke in 1) aus.

25.11.2008, 20:48

katatonie

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ausdrücke auswerten?

Bei 1.) ists doch quasi $\begin{eqnarray*} (U_1 \cap U_2) + U_3 \end{eqnarray*}$ wieder ein Vektorraum und zu beweisen ist, dass $\begin{eqnarray*} (U_1+U_3) \cap (U_2+U_3) \end{eqnarray*}$ mit den Verknüpfungen von $\begin{eqnarray*} (U_1 \cap U_2) + U_3 \end{eqnarray*}$ auch wieder selbst ein Vektorraum ist.

Dazu gibt es doch eigentlich 3 Eigenschaften, oder?

Muss ich die jetzt an $\begin{eqnarray*} (U_1+U_3) \cap (U_2+U_3) \end{eqnarray*}$ überprüfen? Und woher weiß ich, welche Verknüpfungen $\begin{eqnarray*} (U_1 \cap U_2) + U_3 \end{eqnarray*}$ hat?

Es tut mir leid, wenn ich viele Fragen zu dieser wahrsch. einfachen Aufgabe stelle, aber ich möchte es natürlich verstehen...also verstehen, was ich tun muss und v.a. warum.
Die 2.) sollte ja ähnlich ablaufen.

25.11.2008, 23:09

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal solltest du die Aufgabe richtig lesen. Du sollst die Aussagen nicht unbedingt beweisen, sondern überlegen, ob sie wahr sind und dann ggf. beweisen oder widerlegen.

Zitat:

Original von tmo
Zur 1)

Nehmen wir mal an es sei $\begin{eqnarray*} V = \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_1,U_2,U_3 \end{eqnarray*}$ seien paarweise verschiedene Ursprungsgeraden.

Wenn man davon ausgeht ist $\begin{eqnarray*} (U_1+U_3) \cap (U_2+U_3) = \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .
Genauso kann man sich überlegen, dass $\begin{eqnarray*} (U_1 \cap U_2) + U_3 = U_3 \end{eqnarray*}$ ist.

Kann $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ denn ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ sein? Was war nochmal $\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ ?

25.11.2008, 23:50

katatonie

Auf diesen Beitrag antworten »

Also sagst du $\begin{eqnarray*} V=(U_1+U_3) \cap (U_2+U_3) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} V=R^2 \end{eqnarray*}$

deshalb $\begin{eqnarray*} R^2=(U_1+U_3) \cap (U_2+U_3) \end{eqnarray*}$

Aber wie kann $\begin{eqnarray*} (U_1 \cap U_2) + U_3 = U_3 \end{eqnarray*}$ sein?

$\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ ist ein Unterraum von V; wenn $\begin{eqnarray*} V=R^2 \end{eqnarray*}$ gilt, dann kann $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ kein Unterraum von $\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ sein, oder?

26.11.2008, 14:08

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von katatonie
Also sagst du $\begin{eqnarray*} V=(U_1+U_3) \cap (U_2+U_3) \end{eqnarray*}$

Das sage ich nicht, das hab ich mir überlegt (bzw. es mir hergeleitet), weil ich vorher folgendes angenommen habe:

Zitat:

Original von katatonie
$\begin{eqnarray*} V=R^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von katatonie
Aber wie kann $\begin{eqnarray*} (U_1 \cap U_2) + U_3 = U_3 \end{eqnarray*}$ sein?

Was ist denn $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ voneinander verschiedene Ursprungsgeraden sind? Das kann man sich doch schön anschaulich vorstellen. Genau deshalb habe ich ja mal $\begin{eqnarray*} V = \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ als Beispiel genommen. Erstens weil man es sich dann schön vorstellen kann und zweitens weil ja ein einziges Gegenbeispiel reicht, wenn man die Aussage widerlegen will.

Zitat:

Original von katatonie
$\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ ist ein Unterraum von V; wenn $\begin{eqnarray*} V=R^2 \end{eqnarray*}$ gilt, dann kann $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ kein Unterraum von $\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ sein, oder?

Richtig, denn ein Unterraum eines Vektorraumes muss immer Teilmenge dieses Vektorraumes sein. Das ist hier aber gar nicht der Fall.

26.11.2008, 14:15

katatonie

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo

Was ist denn $\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ voneinander verschiedene Ursprungsgeraden sind?

"0" ?

Ich habe allerdings immer noch nicht so richtig verstanden, wozu ich das jetzt verwenden soll.

27.11.2008, 18:16

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ ist richtig.

Ich habe $\begin{eqnarray*} V,U_1,U_2,U_3 \end{eqnarray*}$ so gewählt, dass $\begin{eqnarray*} (U_1+U_3) \cap (U_2+U_3) \end{eqnarray*}$ kein Unterraum von $\begin{eqnarray*} (U_1 \cap U_2) + U_3 \end{eqnarray*}$ ist.

Was folgt daraus bzgl. des Wahrheitsgehalt der Aussage in 1) ?

27.11.2008, 18:31

katatonie

Auf diesen Beitrag antworten »

Dass es kein Unterraum ist, oder?

27.11.2008, 18:44

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
Was folgt daraus bzgl. des Wahrheitsgehalt der Aussage in 1) ?

wahr oder falsch?

27.11.2008, 18:51

katatonie

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist kein Unterraum, also falsch.

27.11.2008, 18:57

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, also wurde die Aussage widerlegt. Na dann mal an die 2).
Was muss ein Unterraum denn für Kriterien erfüllen?

27.11.2008, 19:17

katatonie

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, er muss 0 enthalten und natürlich selbst ein Vektorraum sein (mit den Verknüpfungen des Raumes).

Wenn a und b Element des UR sind, dann muss a+b auch ein Element sein.

Neue Frage »

Antworten »

Aussagen für Unterräume beweisen

Verwandte Themen