Lineare Abbildungen

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energyfull Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen
hi leute sitze an einer aufgabe bei der ich nicht weiterkomme:

die formale ableitung eines Polynoms P(X) = ist definiert als P´(X)= . sei nun der Untervektorraum aller Polynome vom Grad über einem Körper K. Abbildung:

f: , P(X) -> -P´(X²-1)

also ich soll verifizieren, dass diese abbildung linear ist und basen von und wählen und bezüglich dieser basen die matrix f bestimmen.

bis jetzt weiss ich für linear, dass ich beweisen muss das diese aussagen gelten nur ich weiss nicht wie ich das machen soll und auf diese aufgabe anwenden soll:

1)f(x+y)= f(x)+f(y)
2) f() = f(x)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Nehmen wir die Monom-Basis:





Wie sehen dann die Bilder der Basispolynome unter der Abbildung f aus?
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

also meinen sie jetzt z.b. so:

f(1)=1
f(x)= x²-1
f(x²)=
f(x³) =
f() =

??
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die Urbilder sind richtig. Aber auch die Bilder? Du hast doch geschrieben, dass die auf eine Ableitung P' abgebildet werden. Nur eben nicht in der Art



sondern



Es wäre also interessant herauszufinden, was sich hinter den Ausdruck verbirgt. Augenzwinkern
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

wie soll ich das denn jetzt so machen,
können sie mir ein beispiel geben
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

In dem du die Definition verwendest. Wie ist P(x) definiert, wie P'(x). Was folgt dann für P'(x^2-1)?

Dabei sollte aus der Darstellung klar sein, dass x nur für die verwendete Variable steht und nicht für das Basispolynom x welches ich in der Monom-Basis gewählt habe.
 
 
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe jetzt gar nichts mehr
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dich eben mit der Frage auseinandersetzen, was P'(x^2-1) bedeutet im Gegensatz zu P'(x). Zum Einstieg in das Thema versuche doch einmal die Aufgabe für folgende Abbildung zu lösen

g: P(x) -> P'(x)

Wie sehen dann die Bilder der Monom-Basis aus? Vergleiche deine obige Defintion von P und P'
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
sitze immernoch an dieser aufgabe und habe es ncht geschafft,

das sind doch die bilder oder nicht habe das so ausgerechnet

f(x²)=(x²-1)

weiter weiss ich ncht wie das geht
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Was ist denn P'(x) in der Summenschreibweise? Nun ersetzte x durch (x²-1)
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich x durch x²-1:

ersetze kommt doch dann beispielweise f(x²-1)³ raus.

ich verstehe immer noch nicht warum dass dann nicht die bilder sind,

ohne einen beispiel schaffe ich das glaub ich nicht

unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen
Zitat:
Original von energyfull


.


Dann ergibt sich doch:










Nun die Bilder der Monombasis:







energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

spielt das eine rolle das vor dem P´(x²-1) ein - steht.

ok wenn wir nun die bilder haben, wie zeigen wir dann das die abbildung linear sind
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
spielt das eine rolle das vor dem P´(x²-1) ein - steht.


Wo steht da ein Minus.

Zitat:
ok wenn wir nun die bilder haben, wie zeigen wir dann das die abbildung linear sind


Vielleicht kommt da auch mal von dir eine Idee?
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

ganz oben in meinem ersten beitrag

-P´ steht da
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das hab ich in dem "Gekritzel" dann wohl nicht gesehen. Dann machen wir eben vor alles noch ein Minus. Augenzwinkern





Nun die Bilder der Monombasis:







energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

also wir haben jetzt die blder der monombasen unter der abbildung f.

muss ich die jtzt nicht in der basis von V darstellen,

wie kann ich das machen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mulipliziere es aus, die Basis des Bildraums hatte ich dir bereits angegeben.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

so nachdem ausmultiplizieren steht dann da:

also

f(1)=0
f(x)=-1
f(x²)= -2x² +2
f(x³)=
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nun kannst du ja mal die Abbildungmatrix bzgl. der Beiden Monombasen aufstellen.

Auf was wird denn der Nullvektor abgebildet?

Auf was werden Vielfache von Vektoren abgebildet?
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich das so machen:





das hier mit dem multiplizieren:




???
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. In die Matrix schreiben wir doch nur die Kooffizienten, aber nicht die Basisvektoren.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

also dann bilden wir doch die matrix so:

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist denn da nun die Matrix?









Nun vergeben wir "Koordinaten". Also was gibt man ein?



Wie sieht die Matrix aus?


etc
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

die matrix sieht dann so aus:


tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht nun doch schon besser aus.

Nun muss noch die Linearität der abbildung gezeigt werden.
kako Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von energyfull
die matrix sieht dann so aus:


Ganz stimmt die Matrix aber noch nicht. Die Matrix muss 5 Zeilen haben.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »




->




kann das nicht beweisen mit der linearität:

und welche zeile fehlt denn da??
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mach das nun mal selber...










Wir notieren in den Spalten die Koordinaten bzgl. der Monombasis in aufsteigender Potenz.

energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

ja bis dahin verstehe ich das ja mit der matrixbildung, aber jetzt kommt der eigentliche teil:

ich hatte in meinem ersten beitrag gesagt was erfüllt werden muss für lineariät aber mein problem war es ja das zu anwenden
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nun nutze doch, dass du eine Abbildungsmatrix hast, um die Forderungen zu überprüfen.



du kannst es natürlich auch mit den x-sen ausschreiben.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

bin etas zu blöd für diese aufgabe
hat man jetzt so die linearität bewiesen,
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nur einen Teil davon. Du hast doch am Anfang schon gesagt, was du noch Prüfen musst. Vielfache und Summen. 0 auf 0 folgt aber aus diesen, und deswegen habe ich das mal vorgerechnet.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

also ich muss überprüfen das gilt:


und wenn ich jetzt die werte aus unserer matrix einsetze z.b.



und das für alle macht man das so,

ich habe bis jetzt noch nie die linearität bewiesen und in der vorlesung hatten ir das auch nicht
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
also ich muss überprüfen das gilt:


Ja, oder du splittest es auf. Eins mach ich noch, dann ist Schluss für heute. Auch mal die Boardsuche benutzen. Ich nenne nun die Koordinaten eben k.




Nun noch die Summe.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

ok das versuche ich jetzt danke,

und habe noch eine frage bzgl. dieser aufgabe , ich soll basen von wählen und die marix von f bezüglich dieser basen bestimmen.

haben wir das nicht schon gemacht???
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das haben wir schon gemacht.
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

hmm ok danke, noch eine kleine frage, das was sie da gemacht haben ist doch:



und ich zeige noch das mit der addition

ok wohlübersehen, da steht ja ich soll die summe machen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das habe ich gezeigt, das andere bleibt für dich. Augenzwinkern
energyfull Auf diesen Beitrag antworten »

und zum abschluss:

f(x+y)= f(x)+f(y)




= *

können sie mir noch sagen ob ich es richtig gemacht habe bitte
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