Unabhängigkeit von ZV

Neue Frage »

Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängigkeit von ZV
Guten Abend,

eine Aufgabe: Sei Primzahl und X, Y unabhängige Zufallsvariablen, die gleichverteilt sind auf der Menge . Für seien Zufallsvariblen.

i) Zeige, dass die Zufallsvariablen Z paarweise unabhängig sind
ii) Wenn wir die Werte zweier Zufallsvariablen Z kennen, so kenen wir von allen Zufallsvariablen Z die Werte.

Kann mir jemand weiterhelfen?

zu i) habe ich mir folgendes überlegt: Ich wähle mir zwei Zufallsvariablen und möchte deren unabhängigkeit zeigen, dh.

Leider komme ich jetzt nicht mehr weiter, wenn ich das so umformen könnte dass nur noch Ausdrücke mit X und Y vorkommen könnte ich deren Unabhängigkeit ausnutzen.


EDIT: Aufgabenstellung korrigiert.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir niemand weiterhelfen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher, dass du keine Voraussetzung vergessen hast?

Ich halte die Aussage z.B. für für falsch - bei Bedarf liefere ich ein Gegenbeispiel. Wenn ich das richtig überblicke, sollte eine Primzahl sein...
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Uups da hast du natürlich Recht. K muss eine Primzahl sein.
Ich habe mir das ganze auch schon für K=3 überlegt um mal ein Gefühl dafür zu bekommen. Aber ich verstehe nicht ganz, was hinter dieser Aufgabe steckt.

Ist mein Ansatz bei der a) richtig und wie kann ich dann weitermachen?
Die b) ist mir ebenfalls nicht so ganz klar. Warum kennt man alle Werte?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Gleich noch etwas, bevor wir wirklich ernsthaft anfangen können. Sollte es nicht heißen "Gleichverteilung auf " statt auf ? Ansonsten trifft folgendes Gegenbeispiel zu:


Betrachten wir . Dann sind gleichverteilt auf , insbesondere ist dann

Für ergibt dann dein wegen und :








und somit , also keine Unabhängigkeit.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Auch da muss ich dir Recht geben. Die Aufgabe habe ich in Englisch und ich war wohl mehr mit dem Übersetzen beschäftigt als die Angabe korrekt abzutippen. Tut mir leid. Die 0 gehört natürlich dazu und ich bessere das mal aus.

Ich würde gerne richtig loslegen Augenzwinkern Stimmt der Ansatz aus der a) von mir? Wie kann ich da weitermachen?
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du scheinst das "modulo" zu ignorieren - böser Fehler, denn das ist entscheidend...
----------------------------------

Zum Nachweis der Unabhängigkeit ist



zu zeigen, und zwar für all mit .


Erstmal zur gemeinsamen Wkt:

Du musst mit Zahlentheoriekenntnissen nachweisen, dass



genau eine Lösung hat - dabei ist entscheidend, dass Primzahl ist. Daraus folgt dann unmittelbar, dass



ist. Dann musst du nur noch zeigen, was ebenso einfach ist ( Möglichkeiten für , und für jedes dieser dann genau ein mit ). Der Rest ist natürlich genau dasselbe.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, das hilft mir für meine weiteren Überlegungen schoneinmal weiter, allerdings habe ich noch eine Frage zu:

Zitat:
Original von Arthur Dent

Du musst mit Zahlentheoriekenntnissen nachweisen, dass



genau eine Lösung hat - dabei ist entscheidend, dass Primzahl ist.


Was meinst du hier mit genau einer Lösung X, Y ? Wenn ich z.b. K= 3 wähle und dann X= 0 und Y=1, dann gilt: X+1*Y=1 und für X=0 und Y=2 gilt: 0+2*2=1 verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Dass zu gegebenen die Werte eindeutig sind, ist klar.

Nein, hier geht es doch um die Umkehrung: Dass auch bei festgelegten die Werte eindeutig sind!!! Das ist dann Aufgabenstellung b), ist aber auch schon bei der Berechnung von a) relevant. Wenn man so will, sollte man also erstmal b) betrachten, dann erst a).
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mir mal ein paar Gedanken gemacht und komme zu Folgendes:

a) Ich habe mir überlegt zu verifizieren, dass ist. Nach Definiton von kann diese ZV nur Werte in der Menge annehmen. Und jeder dieser Werte wird angenommen, da K nach Voraussetzung eine Primzahl ist. Daraus folgere ich jetzt die Behauptung, dass gilt. Kann ich das so machen?
Nun zum anderen Fall: Hier muss ich zeigen, dass Hierzu brauch ich das bereits von dir Notierte. Ich habe das für ein paar Beispiele nachgerechnet und mir ist klar um was es jetzt konkret geht, allerdings reichen meine zahlentheoretischen Fähigkeiten nicht dafür aus, dass zu lösen? Hast du vielleicht noch ein paar Tips worunter ich da mal googlen könnte? Kongruenzen haben wir nur für eine Variable x gelöst und nie für zwei Variablen.

Danke und Gruß
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht ja um :

Aus folgt , ebenso folgt aus dann .

Subtrahiert man das voneinander, ergibt sich



Das ist dann nur noch eine Kongruenz für die eine Variable - und die beherrschst du doch, oder?
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Arthur Dent,

ist die Argumentation in meinem vorherigen Post korrekt gewesen und kann man das so machen?


Nun zu deinem letzten Beitrag:
Bei dieser Kongruenz folgt doch die Eindeutigkeit von Y genau daraus, dass K eine Primzahl ist. und sind Zahlen aus der Menge . Mit der Eindeutigkeit von Y ist dann auch X eindeutig. Damit kann man dann alle Zufallsvariablen bestimmen und das war gerade die Beh. der b).

Kann man das alles so stehen lassen, oder würdest du Punkte abziehen? Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
ist die Argumentation in meinem vorherigen Post korrekt gewesen und kann man das so machen?

Die Tatsache, dass alle Werte angenommen werden können, ist kein ausreichender Beweis dafür, dass alle diese Werte jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit angenommen werden. unglücklich


Zitat:
Original von Fletcher
Bei dieser Kongruenz folgt doch die Eindeutigkeit von Y genau daraus, dass K eine Primzahl ist. und sind Zahlen aus der Menge .

Das stimmt nicht ganz: Richtig wäre

für , denn "Division durch 0" wäre nicht so gut...

Außerdem ist , aber das beeinflusst nicht den Rest der Argumentation, der ist Ok.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Die Tatsache, dass alle Werte angenommen werden können, ist kein ausreichender Beweis dafür, dass alle diese Werte jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit angenommen werden. unglücklich


Okay das verstehe ich. Muss da noch ins Spiel kommen, dass die Summe zweier gleichverteilter ZV wieder gleichverteilt ist?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich reicht es, wenn man sich auf den Nachweis von



konzentriert - die Randverteilungen fallen dann als leichte Folgerungen mit ab:



und analog

.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis, aber was genau versteht man denn unter Randverteilungen?

Soweit sind wir in der Vorlesung noch nicht gekommen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Randverteilungen (zumindest bei zweidimensionalen Zufallsvektoren) sind die Verteilungen der Einzelkomponenten - hier in dem Fall also die Einzelverteilungen von bzw. .

Ich werde wohl dazu übergehen müssen, nur noch Formeln zu schreiben, denn ständig nerven die Leute wegen der von mir eigentlich gut gemeinten redundanten Angabe der Begriffe. Augenzwinkern
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Nach dieser Vorlesungswoche hätte ich es vielleicht schon gewusst, was Randverteilungen sind. Aus diesem Grund kannst du ruhig weiterhin die Begriffe mit angeben Augenzwinkern

Zugegebenermaßen war die Aufgabe im Nachhinein gar nicht so schwer wie ich dachte, allerdings finde ich zu Beginn immer kaum einen Zugang und mit den richtigen Denkanstößen und Beispielen verstehe ich es. Ist das normal oder was kann ich dagegen tun? Meist liegen die Aufgaben und die Vorlesung schon sehr weit auseinander.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das war eine Aufgabe, bei der mehr als sonst gebietsübergreifendes Denken gefordert war:

Stochastik & Zahlentheorie

Da ist es erfahrungsgemäß oft so, dass viele große Schwierigkeiten haben.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »