Kompaktheit: Äquivalenzklasse + Quot.-Top.

Neue Frage »

Duedi Auf diesen Beitrag antworten »
Kompaktheit: Äquivalenzklasse + Quot.-Top.
Hallo!
Mir fehlt grad der zündende Gedanke:

Auf ohne definieren Sie die folgende Äquivalenzrelation:
.

Zeigen Sie, dass der Raum der Äquivalenzklassen , versehen mit der Quotiententopologie, kompakt ist.

Ich habe zuerst mal den Raum der Äquivalenzklassen aufgestellt:



Dann habe ich eine Abbildung konstruiert (um später die Quotiententopologie definieren zu können):

.

Ein Beispiel:

Jetzt erstelle ich die Topologie des Raumes X: Als Basis benutze ich die ganz normale euklidsche Norm.

( sind offene Kugeln mit Radius r um den Punkt x).

Und die Topologie erstelle ich über die Basis, somit:
, wobei J eine beliebige Indexmenge ist.

Damit ist die Quotiententopologie

Jetzt muss ich also zeigen, dass kompakt ist, dass also gilt:

, wobei n endlich ist. (X/R hat eine endliche Teilüberdeckung). Mein Problem ist jetzt, wie ich das zeigen soll:
Wenn man sich den Raum der Äquivalenzklassen aufmalt, erhält man ein Geradenbüschel von Ursprungsgeraden
(Jeder Punkt auf so einer Geraden ist unter der Relation äquivalent zu einem Anderen darauf).
Es gibt unendlich viele solcher Geraden, wie kann ich sie also mit einer endlichen Überdeckung beschreiben?

P. S.: Wie kann ich diese Fraktursymbole für die Topologie und deren Basis schreiben (in LaTex)?

PP. S.: Die LaTex-Frage hat sich erledigt.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duedi
Jetzt muss ich also zeigen, dass kompakt ist, dass also gilt:

, wobei n endlich ist. (X/R hat eine endliche Teilüberdeckung).

Zunächst schreibst du bitte nochmal korrekt die Definition von Kompaktheit auf. Das, was du geschrieben hast, musst du nämlich nicht zeigen.

Ich würde hier nicht direkt über die Quotiententopologie dieses Raums, sondern einen kleinen Umweg gehen. Du hast richtig erkannt, dass der Quotientenraum (der sogenannte "projektive Raum der Dimension 1" oder "die projektive Gerade") gerade durch die Menge der Geraden durch den Nullpunkt, ausgestattet mit der Quotiententopologie, gegeben ist.

Nun kann man dies aber auch so charakterisieren: Jede Gerade durch den Nullpunkt hat genau zwei Schnittpunkte mit dem Einheitskreis . Wenn du deine Äquivalenzrelation auf einschränkst, was dann bedeutet, dass sie nur noch aus besteht, bekommst du also die gleiche Quotientenmenge und anschaulich gesehen hat der auch die gleiche Quotiententopologie. Zeige, dass dies wirklich so ist, dass also homöomorph zu deinem ursprünglichen Raum ist.

Dann ist die Arbeit im Prinzip gemacht - aber warum bist du dann fertig?

edit (in Bezug auf Abakus' Frage): Ich gehe natürlich davon aus, dass mit der Teilraumtopologie der euklidischen Topologie des ausgestattet sei - so wie es üblich ist.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompaktheit: Äquivalenzklasse + Quot.-Top.
Zitat:
Original von Duedi
Auf ohne definieren Sie die folgende Äquivalenzrelation:
.

Zeigen Sie, dass der Raum der Äquivalenzklassen , versehen mit der Quotiententopologie, kompakt ist.


Du meinst vermutlich:

Für die Definition der Quotiententopologie brauchst du noch eine Topologie auf dann. Ist da nichts gegeben? Oder gehe ich da von falschen Voraussetzungen aus?


Zitat:
Jetzt muss ich also zeigen, dass kompakt ist, dass also gilt:

, wobei n endlich ist. (X/R hat eine endliche Teilüberdeckung).


Du musst zeigen, dass jede Überdeckung bereits eine endliche Überdeckung enthält. Das ist was anderes.

Grüße Abakus smile

EDIT: Max war schneller mit fast ähnlichen Ideen Augenzwinkern
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, Danke das kann mich schon mal weiterbringen. smile

Als Topologie auf X ist erstmal nichts gegeben, ich bin von Euklid ausgegangen.
Ich meinte tatsächlich , kannte aber "\setminus" nicht.

Die Definition der Kompaktheit eines topologischen Raumes ist: Jede offene Überdeckung von X hat einer endliche Teilüberdeckung.

Ich wusste allerdings bis jetzt nicht, dass das einen Unterschied zu meiner "Definition" hat. Also neuer Versuch:

z.z.: Jede offene Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung:

Korrekt?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Was du oben geschrieben hast, ist folgendes: Es gibt eine endliche offene Überdeckung von . Das ist immer (!) der Fall, man muss ja nur wählen und schon hat man eine solche.

Was du geschriebe hast, ist jetzt im Prinzip richtig. Du solltest den Backslash vor dem "U_n" wegnehmen, damit er es ordentlich anzeigen kann.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Dann ist die Arbeit im Prinzip gemacht - aber warum bist du dann fertig?


Ich weiß noch nicht genau, wie ich das formulieren soll, aber dadurch, dass ich so kein "unendliches" lambda habe, sondern eine überschaubare Menge von 2 äquivalenten Elementen, vereinfacht sich die Sache deutlich.
 
 
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Hm richtig, mich hat nur gestört, dass ja unendlich viele Elemente hat, der Begriff "endlich" ist mir noch nicht so ganz klar, genauso wie "offen" geschockt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Machen wir es mal ganz allgemein: Ist ein topologischer Raum und eine Äquivalenzrelation auf , so ist die Quotiententopologie genau so definiert, dass die kanonische Projektion was für eine Eigenschaft hat?

edit: Das 'endlich' sagt nur aus, dass es endlich viele offene Mengen aus der Überdeckung gibt, die zusammen den ganzen Raum überdecken. Die offenen Mengen selbst müssen dabei nicht offen sein.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Sie ist umkehrbar?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist sie fast nie. Was für eine Eigenschaft von Abbildungen interessieren einem denn in der Topologie am meisten?

Übrigens: Eine offene Menge ist einfach eine Menge, die in der Topologie eines Raums enthalten ist. Und die Topologie muss dabei einfach nur bestimmte Eigenschaften erfüllen. Da kann man sich dann auch nicht immer etwas drunter vorstellen.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das habe ich schon gemerkt, dass die Vorstellung da nicht immer richtig ist. Nun sehr wichtig ist ist der Begriff der Stetigkeit, deswegen nehme ich mal an, dass das der signifikante Begriff ist. Allerdings hatten wir so definiert:

. Das impliziert doch Umkehrbarkeit?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Warum impliziert das Umkehrbarkeit?
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Weil sonst meines Erachtens nicht definiert wäre.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, das ist ein Urbild. Ist eine Abbildung und eine Menge, so ist

.

Das sind einfach diejenigen , die nach abgebildet werden. Das ist auch definiert, falls nicht injektiv ist. Das ist für jede Abbildung definiert. Das sind aber grundlegende Definitionen aus dem ersten Semester. Und wenn man in der Topologie Stetigkeit definiert, dann meistens auch darüber, dass Urbilder offener Mengen offen sind. Sowas sollte also auch da vorkommen.

Ich denke, du solltest dich erstmal noch etwas mit den Grundlagen beschäftigen, bevor du dich daran machst, solche Aufgaben zu lösen.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompaktheit: Äquivalenzklasse + Quot.-Top.
Also um nochmal zusammenzufassen, was dein "Arbeitsauftrag" an mich ist:

1) Definiere eine Relation

2) Damit kann ich eine Abbildung aufstellen

3) Wobei sich eine Topologie ergibt: .

Nun noch eine Zwischenfrage zu 3): Ist eine mögliche Topologie von X/R' dann nicht ?

4) Zeige die Kompaktheit des Raumes

5) Bilde einen Homöomorphismus zwischen und , und die Sache ist erledigt

So? Oder muss ich bei allen Punkten jeweils durch ersetzen (bis auf das letzte in Punkt 5)?

Das mit den Grundlagen im ersten Semester ist wohl richtig, ich bin allerdings noch im ersten Semester und den Begriff des Urbildes hatten wir, soweit ich das weiß, noch nicht in der Form gemacht. Unser Prof hat die Topologie während der Ana I einfach nach der Konvergenz von Reihen reingeschoben.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Noch einen Nachtrag zu meinem letzten Edit (damit du es liest Augenzwinkern ):
Wir haben z. B. die Stetigkeit nur über F-Stetigkeit und T-Stetigkeit definiert, nicht durch -
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das gehört eigentlich in eine eigene Topologie-Vorlesung.

Anmerkungen: Ja, da muss überall anstelle von stehen. Detaillierter noch:

1) Die Äquivalenzrelation soll auf definiert sein.
2) geht von nach .
3) Da hast du geschrieben:

Zitat:
Original von Duedi
3) Wobei sich eine Topologie ergibt: .

Ja, es ergibt sich eine Topologie, aber was du hingeschrieben hast, ist Mist. Es gibt auch andere offene Mengen in als Kugeln! Außerdem geht es hier um die Topologie auf und die ist so definiert, dass eine Teilmenge von offen ist, falls es eine offene Menge gibt mit . Es gilt also:

.

Zitat:
Original von Duedi
Nun noch eine Zwischenfrage zu 3): Ist eine mögliche Topologie von X/R' dann nicht ?

Es gibt natürlich ganz viele Topologien auf . Allerdings werden die dir bei diesem Problem nichts bringen. Die Quotiententopologie ist diejenige, die dir bei diesem Problem weiterhilft und mit der auch die gewünschte Homöomorphie gilt.
Was du angegeben hast, ist übrigens keine Topologie, da die leere Menge nicht drin liegt.

Zitat:
Original von Duedi
4) Zeige die Kompaktheit des Raumes

Nein, zeige die von . Das ist genau der Teil, der die Antwort auf die Frage darstellt, warum man mit der Homöomorphie fertig ist. Es sollte auch mit der einfachste dieser Schritte sein. Du weißt, dass stetig ist. Was machen denn stetige Abbildungen mit kompakten Mengen?

Zitat:
Original von Duedi
5) Bilde einen Homöomorphismus zwischen , und die Sache ist erledigt

Hier muss es wieder heißen: Finde einen Homöomorphismus zwischen und .



Was du mir mit der nicht vorgekommenen --Definition sagen willst, verstehe ich nicht so ganz.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen Dank für diese ausführliche Antwort. Ich meinte im Übrigen das Epsilon-Deltakriterium , das meines Wissens in Analysis die gängige Methode ist, Stetigkeit nachzuweisen. Ein bißchen problematisch ist, dass wir den Begriff des Homöomorphismus noch nicht definiert haben, er stand nur in einer kleinen Anmerkung auf dem darauf folgenden Übungsblatt. Auch was mit stetigen Abbildungen von kompakten Mengen passiert, hatten wir noch nicht, aber ich denke ich werde es einfach mal mit deiner Methode versuchen, die mir sehr elegant erscheint.
Ich wollte dir noch einmal für deine Geduld danken Freude
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem. Dann sag ich es dir einfach schon mal: Ist eine stetige Abbildung topologischer Räume und eine kompakte Teilmenge, dann ist das Bild (als Teilmenge von ) ebenfalls kompakt.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine letzte Frage: Wie sieht die Topologie des aus, die du mir vorschlägst? Ich werde aus dem, was du mir davor hingeschrieben hast, nicht schlau.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Die Topologie von ist die Teilraumtopologie, wenn man als Teilmenge von aufasst. Stell dir das so vor: Nimm dir eine offene Menge im . Dann betrachtest du nur die Punkte dieser Menge, die auf dem Kreis liegen. Und das ist dann deine offene Menge in . Und so kriegst du auch alle offenen Mengen in .
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Teilraumtopologie - wieder ein neues Wort gelernt Big Laugh
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »