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29.11.2008, 15:18	Surfer	Auf diesen Beitrag antworten »
mod Guten Tag miteinander! Ich hätte zwei Fragen: 1.) Wie stellt man das an, wenn man z.B. die beiden letzten Zuffern der Zahl 3273^527 herausfinden will? (nur Interessensfrage, so etwas ähnliches kam kürzlich in einer Wer wird Millionär Frage :P) 2.) (seriösere Frage ) Wie kann man das System folgender linearer Kongruenz berechnen? $\begin{eqnarray} x \equiv 3 (mod 8) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \equiv (mod12) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \equiv (mod 15) \end{eqnarray}$ Vielen Dank für eure Antworten!
29.11.2008, 18:04	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mod 1) Du rechnest modulo 100, also reicht 73^527 aus. Nach dem kleinen Fermat ist $\begin{eqnarray} 73^{40}\equiv 1 \mod 100 \end{eqnarray}$ , also sind die letzten beiden Stellen auch die letzten beiden von 73^7 und die kannst Du leicht ausrechnen. Was wurde denn eigentlich bei WWM gefragt? 2) Chinesischer Restsatz
29.11.2008, 20:37	Surfer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mod hihi die Frage lautete, wie man am einfachsten die letzten beiden ziffern dieser Zahl herausfindet..ich glaube, der Mann hat's gewusst habe gerade noch gesehen, dass meine Angaben ja gar nicht vollständig sind: $\begin{eqnarray} x \equiv 3 (mod 8) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \equiv 7 (mod12) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \equiv 4 (mod 15) \end{eqnarray}$ Ich habe nun ein M = 81215 = 1440. M_1 = 180 M_2 = 120 M_3 = 96 Nun sollte man mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus ein e_1, e_2 und e_3 berechnen können, aber wie? Der nächst-folgende Schritt wäre ja dann, ein x zu finden - auch dort verstehe ich das System nicht zu 100% Vielen Dank!
29.11.2008, 20:56	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mod 8, 12 und 15 sind ja auch nicht teilerfremd und Du kannst den Restsatz nicht anwenden. Schau mal auf der Seite unter dem Punkt Direktes Lösen von simultanen Kongruenzen ganzer Zahlen nach. Da steht was man tun kann. (Weiter oben wird dort auch erklärt, dass Dein System auch wirklich eine Lösung besitzt)
30.11.2008, 00:00	Surfer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mod Vielen Dank! Also das heisst, dass ich für 8, 12, 15 den ggT finden muss. Der wäre also = 1. Es ist dann auch noch die Rede von einem y und z - wie sind die gwählt, bzw. wie kann man die bestimmen? Ich habe ja bei meinem Bsp. 3 Kongruenzen - muss ich da alle 3 miteinander oder zuerst die ersten beiden, dann das Ergebnis noch mit dem letzten? Vielen Dank für die Hilfe!
30.11.2008, 19:09	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mod Betrachte zuerst nur $\begin{eqnarray} x\equiv 3(8) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\equiv 7(12) \end{eqnarray}$ Mit dem Algorithmus von der Wikipediaseite ergibt sich: d=ggT(8,12)=4=-18+112, also y=-1, z=1, n=8, m=12, a=3, b=7 und wenn wir das einsetzen, sind die beiden obigen Kongruenzen äquivalent zu $\begin{eqnarray} x\equiv -5(24) \end{eqnarray}$ Jetzt machst Du das gleiche mit $\begin{eqnarray} x\equiv 19(24) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\equiv 4(15) \end{eqnarray}$ Wieder mit dem euklidischen Algorithmus oder durch scharfes Hinsehen sieht man, dass ggT(24,15)=3=224-315 u.s.w. edit: Grafik angehängt
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30.11.2008, 22:57	Surfer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mod SUUUUUPER! hey vielen Dank! Ich konnte alle 6 Aufgaben lösen! ...bis auf die Bonus-Aufgabe - vielleicht hast du mir hier auch einen Tipp? : $\begin{eqnarray} 4x \equiv 12 (mod 8) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3x \equiv 5 (mod 7) \end{eqnarray}$ Hier ist es ja speziell, dass es sich nicht mehr "nur" um 1x handelt, sondern 4x bzw. 3*x Vielenvielen Dank!!
30.11.2008, 23:52	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kommt schnell durch (logisches) einsetzen darauf. Ich hab nur 2mal einsetzen müssen.
01.12.2008, 00:09	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mod Man kann es aber auch ausrechnen: 3 besitzt modulo 7 ein multiplikativ Inverses, nämlich 5 und so ist $\begin{eqnarray} 3x\equiv 5(7) \Leftrightarrow 5\cdot3\cdot x\equiv 5\cdot 5(7) \Leftrightarrow x\equiv 4(7) \Leftrightarrow 4x\equiv 6(7) \end{eqnarray}$ Nun kann man 4x durch y substituieren und geht dann wie oben vor.
01.12.2008, 01:55	Surfer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mod Ich wollte noch fragen, warum du oben plötzlich auf 19 kommst. Und ob das Ergebnis stimmt zur ersten Aufgabe: x == -237 (mod120)
01.12.2008, 02:09	Surfer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mod und zur letzten Aufgabe habe ich noch die Frage, was der ggT von 8 und 7 ist (56?) - wenn ja, was ist dann y und z? Vielen herzlichen Dank und gute Nacht!
01.12.2008, 11:11	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mod 19 und -5 sind modulo 24 das gleiche. Im allgemeinen verwendet man modulo n nur die Zahlen $\begin{eqnarray} 0\leq i\leq n-1 \end{eqnarray}$ . ggT von 8 und 7? Wenn es diesen hier gäbe, würde ich die Frage im Grundschulbereich stellen! Schulstoff!
01.12.2008, 15:06	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mod Das Ergebnis zur ersten Aufgabe stimmt nicht, denn $\begin{eqnarray} x\equiv -237(120) \end{eqnarray}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} x\equiv 3(120) \end{eqnarray}$ und 3 ist bestimmt keine Lösung der Kongruenzen. Bei solchen Aufgaben empfiehlt es sich IMMER eine Probe zu machen. Das ist wirklich kein großer Aufwand.

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