Berechnung des Parabelsegmentinhaltes(integralrechnung) |
| 30.08.2006, 19:51 | marc87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Berechnung des Parabelsegmentinhaltes(integralrechnung) im prinzip geht es hier wohl um die inhaltsbestimmung eines parabel ausschnittes.(integralrechnung) dazu wird ober- und untersumme berechnet.das ganze gegen unendlich um einen möglichst genau wert zu bekommen..aber jetzt mal zur aufgabe.. Berechnen Sie Un und On für die Funktion f(x)=x+1; I=[0;1] Welcher grenzwert ergibt sie wenn n gegen unedlich geht? Benötigte Summenformel: 1+2+...+n=n(n+1)/2 Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen... |
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| 30.08.2006, 19:53 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie lautet denn dein Ansatz? Den Flächeninhalt kannst du auch elementargeometrisch berechnen (zur Kontrolle). Gruß, therisen |
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| 30.08.2006, 20:00 | marc87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ähm ansatz wär in etwa so..aber ohne ()² On=1/n*[(1/n)²+(2/n)²+...+(n-1/n)²+1²] ... ... ..... 1/6*n/n*n+1/n*2n+1/n und dann gegen unendlich |
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| 30.08.2006, 20:37 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Teilt man das Intervall äquidistant in n Teile auf, so erhält man für . geht analog. Gruß, therisen |
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| 30.08.2006, 21:06 | marc87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
erst mal vielen dank..doch leider versteh ich deine schritte nicht..wir machen so etwas ausführlicher( für dumm like me :wink 
wie wär das ganze analog? einfach -1? wofür steht k? wenn du es mir nicht ausfürhlich erklären möchtest, hast du vielleicht eine allgemeine fomel, damit ich es verstehe...ich danke dir im voraus |
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| 30.08.2006, 21:17 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was meinst du da mit -1? Klingt falsch 
Zu dem k: LIes dir mal das durch: http://de.wikipedia.org/wiki/Summenzeich...m_Summenzeichen Wenn du Fragen hast, nur zu, aber bitte präzise formulieren 
Gruß, therisen |
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| 30.08.2006, 22:00 | marc87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn ich das ganze für Un mache, dachte ich es kommt anstelle der +1 die -1.da ja ein streifen weniger ist.Aber das wär warscheinlich zu einfach.. 
so wie ich das sehe ist der ganze ausdruck von dir stark zusammen gefasst.Was für mich noch ein wenig zu hoch ist..vielleicht kannst du mir einfach nur den ersten ausdruck erklären, das wäre super von dir... 
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| 30.08.2006, 22:01 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also so stark ist mein Ausdruck gar nicht zusammengefasst, das geht alles im Kopf
Sag mir doch mal genau, welchen Schritt du nicht verstehst, dann kann ich dir besser helfen (siehe oben). |
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| 30.08.2006, 22:22 | marc87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay eigentlich versteh ich fast alles nicht aber probieren wirs mal..der erste ausdruck, wie kommst du darauf [(1/n*f(k/n)]? warum fällt danach das f weg?und warum wird dann 1/n nach vorne gesetzt? |
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| 30.08.2006, 22:23 | Grandmaster519 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei einer linearen funktion ist die die Aufteiling in unendliche viele Rechtecke ansich überflüssig, es gibt zahlreiche andere wesentlich schnellere Möglichkeiten die Fläche bzw., in dem Fall das Integral,für z.b.: y=x-1 wäre das Integral ungleich der Fläche im Interval (0;1).... wenn man sich den Graphen veranschaulicht Vielleicht sollte man bei der Art einfachen Zahlenreihen auf die Einführung von Summenzeichen verzichten... für die Obersumme: F(b)=f(n/b)*b/n+f(2b/n)*b/n+...+f(b)*b/n <=> (n/b+1)*b/n+(2b/n+1)*b/n+...+2b²+1/n <=> (b/n)²*(1+2+3+4+...+n)+b Herleitungen für Summenformeln s(n) jeglicher Art, erhalten wir durch das Durchführen von k+1 GAUSSschritten, wenn k die Hochzahl von n einer beliebigen Summenformel ist, in diesem Fall k=1, also sind nur zwei GAUSSschritt nötig. (normalerweise k+2 aber da bei allen Summenformeln da n^0 glied wegfällt, nur k+1! Gesucht ist also s(n)=an²+bn+c , c=0 da 2*0 =0... ==> s(1)=1 s(2)=3 ==> folgender GAUSSschischer Algorithmus: 1 1 = 1 4 2 = 3 ==> 1 1 1 0 2 1 =>a=0,5 <=> b=0,5 => 0,5n²+0,5n =1+2+3...+n =0,5(n²+n) wenn man Summenformeln herleitet, um sie anschließend zu verrechnen und den Gesamtgrenzwert bildet, ist es häufig sinvoll sie in der Form ax^n+bx^n-1... also in Polynomform zu lassen. Dies soll lediglich das Prinzip der Integralrechnung verständlich machen, da die Summerformeln ein wichtiger bestandteil sind und waren... siehe Newton, Leibnitz... Einsetzen: b²/n²*(0,5n²+0,5n)+b= 0,5b²+ 0,5nb²/n +b lim x->... 0,5b²+b=F(b) Dies lässt sich auch durch vollständige Induktion beweisen, in der Form s(n) <==> F(b) und ist mit der geometrischen Zusammensetzung identisch. Dieser etwas komplexere Weg mit Herleitung der Summenformel soll ein etwas tiefergehendes Verständnis ermöglichen. |
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| 30.08.2006, 22:32 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das erste ist nichts anderes als die Obersumme. Diese lautet ja .wobei das Intervall in n äquidistante Teile zerlegt wurde. Dabei gilt Nach Wahl der Zerlegung ist (jedes Rechteck hat die Breite 1/n, da ja n Teile). Da in unserem Fall streng monoton wächst, ist das Supremum dieser stets am Ende jedes Intervalls , also . Schreibe die Summe einfach mal aus, dann siehst du, dass ich nur ausgeklammert habe
Gruß, therisen |
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| 30.08.2006, 22:33 | grandmaster519 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der GAUSSsche Alghrithmus ist nicht schlecht zu erkennen sehe ich grade, soll heissen: 1) 1+1=1 4+2=3 2) 1+1=1 0+2=1 daraus folgen dann die PArameter: für Untersumme: f(0b/n)*b/n+f(b/n)*b/n+f(2b/n)*b/n da die 1=f(0), in nb/n = b untergeht sind beide wege identisch für die Summenformel um - 1 versetzt, macht aber keinen Unterschied.... |
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| 30.08.2006, 22:47 | marc87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
könnt ihr mir sagen was verändert werden muss um die untersumme zu erhalten? |
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| 30.08.2006, 22:55 | Grandmaster519 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist nicht mein Tag heute irgendwie =), ich meinte natürlich k Gausschritte nicht k+1 wie man erkennen kann =) Für sagen wir2²+3²+...+n²=?... da k=2 auch 2 Gausschritte für die Summenformel nötig: s(1)=1 s(2)=5 s(3)= 15 1+1+1=1 8+4+2=5 27+9+3=15 Einfaches lineares Gleichungssystem welches ein Polynom dritten grades ohne absolutes Glied -wie immer bei Summenformeln- darstellt. 2 Gaussschritte und man hat die Summenformel in Polynomdarstellung... Kann jaat jeder der Lust hat hausprobieren ob die Formel auch stimmt... wollte nur nochmal zeigen warum die Hochzahl k von n in der der zu addierenden Zahlenreihe, auch die Anzahl der nötigen Gaussschritte ist. |
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| 30.08.2006, 22:59 | Grandmaster519 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Garnichts, Unter- und Obersumme sind Äquivalent du must nur zeigen das du mit f(0b/n) * b/n + anfängst............. und mit + f(n-1)b/n)*b/n (statt f(b)*b/n auzfhörst... durch das Ende fehlt dir ein b/n das du durch den anfang mit 0 statt mit eins wieder erhälst.... also b= Inverwallsgrenze=1 |
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| 30.08.2006, 23:19 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht immer. Im Übrigen rate ich dir, den Formeleditor zu nutzen, dann kann man deine sehr undeutlichen Beiträge besser lesen
Für die Untersumme gilt: . Die Berechnung von sowie die oben weg gelassenen Zwischenschritte solltest du nun hinkriegen. Gruß, therisen |
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| 30.08.2006, 23:25 | Grandmaster519 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also erstens habe ich das Gefühl das meine Beitrage deutlich verständlicher sind als deine und zweitens galt meine Antwort auch nicht allen möglichen Fällen sondern speziell diesem Fall. Jemand der mit einer solchen Aufgabe Probleme hat, versteht doch niemals die Darstellung mit Summenzeichen. |
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