Basis und Dimension von U geschnitten V und andere Fragen

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Gast1 Auf diesen Beitrag antworten »
Basis und Dimension von U geschnitten V und andere Fragen
Hallo!

Ich habe Fragen zu folgener Aufgabe:

Es sind folgende Vektoren gegeben
v_1 = v_2 = v_3 = v_4 = v_5=

alle Element aus R^4

und U1=span(v1,v2,v3), U2=span(v4,v5).
Bestimmen sie jeweils die Dimension und eine Basis von
U1, V:=U1 geschnitten U2 und W:= U1+U2.

Ich habe bereits versucht eine Basis von U1 zu bestimmen indem ich die Matrix aus den Spaltenvektoren v1,v2,v3 in die Zeilenstufenform gebracht habe und dann die Basis abgelesen habe. Die Matrix sah dann so aus:

und in Zeilenstufenform:


Daraus habe ich dann die Basisvektoren b_1= b_2= b_3= abgelesen.

Meine erste Frage: Ist das so richtig??

Meine 2. Frage: Was ist U1 geschnitten U2? Mir ist klar, dass die Menge A geschnitten B nur die Elemente enthält, die in A und in B enthalten sind, aber ich weiß nicht wie das bei Vektoren gehen soll, vor allem weil in diesem Fall ja auch noch U1 und U2 span von Vektoren sind!!

Meine 3. Frage: Wie bestimme ich die Dimension? Die ist ja entweder n, also indiesem Fall 4 (oder?) oder , wenn keine endliche Basis existiert. Woher weiß ich dass eine Basis endlich ist?

Ich habe wirklich keine Ahnung und wäre für Eure Hilfe sehr dankbar!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis und Dimension von U geschnitten V und andere Fragen
Zitat:
Original von Gast1
Ich habe bereits versucht eine Basis von U1 zu bestimmen indem ich die Matrix aus den Spaltenvektoren v1,v2,v3 in die Zeilenstufenform gebracht habe und dann die Basis abgelesen habe.

Du hättest die Vektoren als Zeilen in die Matrix eintragen müssen. Dann auf Zeilenstufenform bringen.
Gast1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Da war ich mir auch nicht sicher!
ich habe jetzt als Basisvektoren b_1=(3,1,7,3) und b_2=(0,-6,-4,-4) so ist es doch richtig, oder? sind das jetzt zeilenvektoren oder spaltenvektoren? Also ich hab sie in der Zeile abgelesen, aber vielleicht muss man sie ja transponieren, weil ich ja auch die gegebenen Spaltenvektoren transponiert habe und diese dann als Zeilenvektoren in die Matrix gesetzt habe!

Könnt ihr mir auch bei meinen anderen Fragen weiterhelfen??

Danke schonmal im Vorraus!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast1
ich habe jetzt als Basisvektoren b_1=(3,1,7,3) und b_2=(0,-6,-4,-4) so ist es doch richtig, oder?

Könnte sein. Hab's nicht nachgerechnet.

Zitat:
Original von Gast1
sind das jetzt zeilenvektoren oder spaltenvektoren? Also ich hab sie in der Zeile abgelesen, aber vielleicht muss man sie ja transponieren, weil ich ja auch die gegebenen Spaltenvektoren transponiert habe und diese dann als Zeilenvektoren in die Matrix gesetzt habe!

Ja, du nimmst die Zeilen und schreibt sie als (Spalten-)Vektoren.

Bei U1 geschnitten U2 mußt du dieses Gleichungssystem lösen:

MMel Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich gar nicht beachten, dass U1=span(v_1, v_2, v_3) ist??
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Doch schon. Das ist in dem Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung verpackt.
 
 
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

Achsooo!
Und wenn ich das jetzt löse, dann bekomme ich ja Werte für die lambdas raus, aber daraus kann ich ja keine Matrix machen, sodass ich die Basis bestimmen kann.
Aber kann ich nicht einfach die Vektoren mit ihren Lambdas multiplizieren, und aus diesen neuen Vektoren die Matrix aufstellen, die dann wieder in die Zeilenstufenform bringen und dann die Basis bestimmen??
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MMel
Aber kann ich nicht einfach die Vektoren mit ihren Lambdas multiplizieren, und aus diesen neuen Vektoren die Matrix aufstellen, die dann wieder in die Zeilenstufenform bringen und dann die Basis bestimmen??

So würde ich das machen.
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

Problem ist nur:
Ich bekomme für die Lambdas nur Werte in Abhängigkeit von den anderen Lambdas heraus und wenn ich die mit den Vektoren multipliziere und in eine Matrix packe hab ich doch lauter Lambdas in der Matrix .....oder?
Hää jetzt steh ich glaub ich total aufm Schlauch!?! verwirrt
Hilfe..ich weiß nicht mehr weiter
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die lambdas bilden selber einen Unterrraum, von dem du die Basis nehmen kannst.
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

okay, also wenn ich rauskriege:




dann stelle ich diese drei gleichungen nach 0 um und baue daraus eine Neue matrix:



Richtig??

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja. Wir brauchen die transponierte Matrix:



Ursprünglich müßten es 4 Gleichungen gewesen sein. Möglicherweise hast du eine eliminiert.
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok, ganz lieben dank!
Und wie geht das jetzt mit U1 + U2? Muss ich die einzelnen Vektoren addieren? Nee, oder? Dann beständen U1 und U2 ja jeweils nur aus einem Vektor.... verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Erzeugendensystem von U1+U2 sind gemeinschaftlich alle Vektoren, die bislang schon die Unterräume U1 bzw. U2 aufspannten. Davon brauchst du dann eine Basis.
MMel Auf diesen Beitrag antworten »

Ok!
Danke, ich glaub jetzt komme ich klar!
Aber ich hab noch eine Frage:
Wie würde ich denn den Schnitt von U1 und U2 bilden, wenn sie nicht span{...} wären?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann man allgemeingültig nicht beantworten. Am prinzipiellen Verfahren ändert sich aber nichts.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

@ Durchschnitt

Wenn ich Matrix der Lambdas bilde, komme ich auf die Dimension 4 verwirrt



mfg
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